2021-2022学年九年级数学苏科版上册1.3一元二次方程的根与系数的关系常考热点专题训练(word解析版)

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《1.3一元二次方程的根与系数的关系》
常考热点专题训练（附答案）
一、选择题
1．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（　　）
A．2020
B．2019
C．2029
D．2028
2．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣3a）x+a＝0的两个实数根互为倒数，则a的值为（　　）
A．﹣3
B．0
C．1
D．﹣3
或
0
3．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根中只有一个为0，则下列说法正确的是（　　）
A．b≠0，c≠0
B．b＝0，c≠0
C．b≠0，c＝0
D．b＝0，c＝0
4．已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）的值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的根，则该方程的另一个根是（　　）
A．3
B．﹣3
C．1
D．﹣1
6．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）
A．﹣1
B．﹣4
C．﹣4或1
D．﹣1或4
7．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（　　）
A．3
B．﹣3
C．
D．﹣
8．关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（　　）
A．当k＝时，方程的两根互为相反数
B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则k≠0且k≤
D．若方程有实数根，则k≤
二、填空题
9．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　
　．
10．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　
　．
11．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程　
　．
12．等腰△ABC中，BC＝8，若AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的根，则m的值等于　
　．
13．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于　
　．
14．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数a有
　
　个．
15．已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k＝　
　．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是　
　．
三、解答题
17．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
18．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
19．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．
20．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么?ABCD的周长是多少？
21．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．
22．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）当k为何值时，△ABC是直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．
参考答案
1．解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028．
故选：D．
2．解：∵关于x的一元二次方程x2+（a2﹣3a）x+a＝0的两个实数根互为倒数，
∴x1?x2＝a＝1．
故选：C．
3．解：方程有一个根是0，即把x＝0代入方程，方程成立．
得到c＝0；
则方程变成ax2+bx＝0，即x（ax+b）＝0，
则方程的根是0或﹣，
因为两根中只有一个为0，
则得到﹣≠0，即b≠0
故关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根中只有一个为0，正确的条件是b≠0，c＝0．
故选：C．
4．解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，α+β＝﹣2021，αβ＝1，
∴（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）
＝（1+2021α+α2+2α）（1+2021β+β2+2β）
＝4αβ＝4，
故选：D．
5．解：设方程的另一个根为x1，
根据题意得：x1+3＝2，
解得：x1＝﹣1．
故选：D．
6．解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α?β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α?β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
7．解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，
所以＝．
故选：B．
8．解：若k＝0，则此方程为﹣x+1＝0，所以方程有实数根为x＝1，则B错误；
若k≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4k2＝﹣4k+1≥0，
∴k≤且k≠0；
综上所述k的取值范围是k≤．
故A错误，C错误，D正确．
故选：D．
9．解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，
则原式＝m2+2m+m+n
＝m2+2m+（m+n）
＝2021﹣2
＝2019．
故答案为：2019．
10．解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，
∴a+b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣7＝9，
∴c＝3
11．解：根据题意得2×3＝c，
1+5＝﹣b，
解得b＝﹣6，c＝6，
所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．
故答案为x2﹣6x+6＝0．
12．解：当AB＝BC＝8，把x＝8代入方程得64﹣80+m＝0，解得m＝16，
此时方程为x2﹣10x+16＝0，解得x1＝8，x2＝2；
当AB＝AC，则AB+AC＝10，所以AB＝AC＝5，则m＝5×5＝25．
故答案为25或16．
13．解：∵x2﹣3x﹣1＝0，
a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
设这两个实数根分别为x1与x2，
则x1+x2＝3；
又∵x2﹣x+3＝0，
a＝1，b＝﹣1，c＝3，
∴b2﹣4ac＝﹣11＜0，
∴此方程没有实数根．
∴一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于3．
故答案为：3．
14．解：①当a＝1时，x＝1；
②当a≠1时，原式可以整理为：[（a﹣1）x+a+1]（x﹣1）＝0，
易知x＝1是方程的一个整数根，
再由1+x＝且x是整数，知1﹣a＝±1或±2，
∴a＝﹣1，0，2，3；由①、②得符合条件的整数a有5个．
故答案为：5．
15．解：设方程的两根分别为x1，x2，
∵x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，
∴x1+x2，＝﹣（k2﹣4）＝0，解得k＝±2，
当k＝2，方程变为：x2+1＝0，△＝﹣4＜0，方程没有实数根，所以k＝2舍去；
当k＝﹣2，方程变为：x2﹣3＝0，△＝12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k＝﹣2．
故答案为﹣2．
16．解：依题意得：，
解得3＜m≤5．
故答案是：3＜m≤5．
17．解：（1）根据题意得：
△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0．
（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝12，
∴﹣2x1x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
18．（Ⅰ）证明：△＝（m+2）2﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（Ⅱ）解方程得，x＝，
x1＝，x2＝1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m＝1或2，m＝2不合题意，
∴m＝1．
19．解：（1）由题意得：△≥0且m﹣2≠0，
∴（2m+1）2﹣4m（m﹣2）≥0
解得m≥﹣且m≠2
（2）由题意得有两种情况：
①当x1＝x2，则Δ＝0，所以m＝﹣，x1＝x2＝﹣×＝．
②当x1＝﹣x2时，则x1+x2＝0．，所以m＝﹣，
因为m≥﹣且m≠2，所以此时方程无解．
综上所述，m＝﹣，x1＝x2＝．
20．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴菱形ABCD的边长是．
（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝．
将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，
∴方程的另一根AD＝1÷2＝，
∴?ABCD的周长是2×（2+）＝5．
21．解：（1）根据题意得△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，
x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝28，
∴m2+5﹣2（m+1）+1＝28，
整理得m2﹣2m﹣24＝0，解得m1＝6，m2＝﹣4，
而m≥2，
∴m的值为6；
（2）∵x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，而等腰△ABC的一边长为7，
当7是腰时，x＝7必是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；
当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；
若x1＝x2，则m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则3+3＜7，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
综上所述，这个三角形的周长为17．
22．解：（1）解方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
得x1＝k+1，x2＝k+2．
∵k+1＜k+2，
∴△ABC是直角三角形时，斜边长不可能是k+1．
①如果（k+1）2+52＝（k+2）2，且k+2＞5，那么△ABC是直角三角形，
解得k＝11，符合题意；
②如果（k+1）2+（k+2）2＝52，且k+2＜5，那么△ABC是直角三角形，
解得k＝2，符合题意；
综上所述，当k为11或2时，△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC是等腰三角形，
∴当AB＝AC时，Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）＝0，
解得k不存在；
当AB＝BC时，即AB＝5，
∴5+AC＝2k+3，5AC＝k2+3k+2，
解得k＝3或4，
∴AC＝4或6；
当BC＝AC时，即AC＝5，同理求得AB＝4或6；
∴△ABC的周长为14或16．