2021-2022学年苏科版八年级数学上册2.2轴对称图形的性质 同步强化训练(word解析版)

2021-2022学期苏科版八年级数学上《2.2轴对称图形的性质》同步强化训练
（时间：60分钟
满分：100分）
一．选择题(每小题2分
共30分)
1．下列手机屏幕的解锁图案是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，点A，B在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C在图中共有（　　）
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
第2题图
第3题图
第4题图
3．如图，已知两个全等的直角三角形纸片的直角边分别为a、b（a≠b），将这两个三角形的一组等边重合，拼合成一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
4．如图所示，把直角三角形纸片沿过顶点B的直线（BE交CA于E）折叠，直角顶点C落在斜边AB上，如果折叠后得等腰△EBA，那么结论中：①∠A=30°；②点C与AB的中点重合；③点E到AB的距离等于CE的长，正确的个数是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，不能与图中阴影部分构成轴对称图形的是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
6．图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（　　）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）
7．如图，是3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，如果再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形的标号不可能的是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形的个数有（不包含△ABC本身）（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
9．如图，方格纸上有2条线段，请你再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，最多能画（　　）条线段．
A．1
B．2
C．3
D．4
第9题图
第11题图
第13题图
第14题图
第15题图
10．如图所给的轴对称图形中，只用平移可以使对称轴两边图形重合的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．无数个
12．下列各时刻是轴对称图形的为（　　）
A．
B．
C．
D．
13．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（　　）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
14．如图，点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，B、B′关于AD对称，且BB′交AD于F，交AC于E，连接FC、AB′，下列说法：①∠BAD＝30°；②∠BFC＝135°；③AF＝2B′C；④S△AFE＝S△FCE，正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
15．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二．填空题(每小题2分
共30分)
16..如图所示．将△ABC沿直线DE折叠后，使点A与点C重合，已知BC=6，△BCD的周长为15，则AB=_______．
第16题图
第17题图
17、如图a是长方形纸带，∠DEF=18°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是__________．
18．将长方形ABCD纸片按如图所示方式折叠，使得∠A'EB′＝50°，其中EF，EG为折痕，则∠AEF+∠BEG＝　
　度．
第18题图
第19题图
第20题图
第21题图
19．如图，△ABC中，∠BAC＝75°，BC＝7，△ABC的面积为14，D为
BC边上一动点（不与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为　
　．
20．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α度数为_______．
21．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A、∠1、∠2之间的数量关系是_________．
22．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证∠1为_______°．
第22题图
第23题图
第25题图
第26题图
23．如图，正方形ABCD的边长为5cm，则图中阴影部分的面积为______cm2．
24.．如图①是3×3的小方格构成的正方形ABCD，若将其中的两个小方格涂黑，使得涂黑后的整个ABCD图案（含阴影）是轴对称图形，且规定沿正方形ABCD对称轴翻折能重合的图案都视为同一种，比如图②中四幅图就视为同一种，则得到不同的图案共有_____种．
25．如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为________．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=26°，则∠CDE=　　．
27．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=_______
第27题图
第268题图
第29题图
第30题图
28．如图，在△ABC中，AB=AC，AB+BC=8．将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB、AC交于点D、F，连接BF，则△BCF的周长是________
29．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=　　°．
如图，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1=∠2；
②△ANC≌△AMB；③CD=DN．其中正确的结论是　　．（填序号）
三．解答题（40分）
31．（6分）如图，直线ll，l2交于点O，点P关于ll，l2的对称点分别为P1、P2．
（1）若ll，l2相交所成的锐角∠AOB=60°，则∠P1OP2=_______；
（2）若OP=3，P1P2=5，求△P1OP2的周长．
32．（6分）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，点D是BC边上一动点（与点B，C不重合），点E与点D关于直线AC对称，连结AE，过点B作BF⊥ED的延长线于点F．
（1）依题意补全图形；（2）当AE=BD时，用等式表示线段DE与BF之间的数量关系，并证明．
33．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH
（1）求∠BPD的大小；（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；
（3）证明：∠BAP＝∠CAH．
34．（7分）如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．
35.（12分）操作探究：数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=1，AB=CD=5．然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：
探究：
（1）若∠1=70°，∠MKN=________°；
（2）改变折痕MN位置，△MNK始终是________三角形，请说明理由；
应用：
（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN的面积最小值为，此时∠1的大小可以为　
　°
（4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积的最大值．请你求出这个最大值．
教师样卷
一．选择题(每小题2分
共30分)
1．下列手机屏幕的解锁图案是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C．解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是成轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．
2．如图，点A，B在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C在图中共有（　　）
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
【答案】D
解：如图所示，这样的格点C在图中共有10个，故选：D．
第2题图
第3题图
第4题图
3．如图，已知两个全等的直角三角形纸片的直角边分别为a、b（a≠b），将这两个三角形的一组等边重合，拼合成一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【答案】B．解：如图所示：将这两个三角形的一组等边重合，拼合成一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有4个．故选：B．
4．如图所示，把直角三角形纸片沿过顶点B的直线（BE交CA于E）折叠，直角顶点C落在斜边AB上，如果折叠后得等腰△EBA，那么结论中：①∠A=30°；②点C与AB的中点重合；③点E到AB的距离等于CE的长，正确的个数是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D．解：∵把直角三角形纸片沿过顶点B的直线（BE交CA于E）折叠，直角顶点C落在斜边AB上，折叠后得等腰△EBA，∴∠A=∠EBA，∠CBE=∠EBA，∴∠A=∠CBE=∠EBA，∵∠C=90°，∴∠A+∠CBE+∠EBA=90°，∴∠A=∠CBE=∠EBA=30°，故①选项正确；∵∠A=∠EBA，∠EDB=90°，∴AD=BD，故②选项正确；∵∠C=∠EDB=90°，∠CBE=∠EBD=30°，∴EC=ED（角平分线上的点到角的两边距离相等），∴点E到AB的距离等于CE的长，故③选项正确，故正确的有3个．故选：D．
5．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，不能与图中阴影部分构成轴对称图形的是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】D．解：选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，不能与图中阴影部分构成轴对称图形的是：④．故选：D．
第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
6．图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（　　）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）
【答案】A
．解：∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，∴通过轴对称得到的是（1）．故选：A．
7．如图，是3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，如果再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形的标号不可能的是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
．解：如图，涂黑标号是2、3、4的小正方形所得图案是一个轴对称图形．所以，不可能的标号是1号．故选：A．
8．如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形的个数有（不包含△ABC本身）（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B．解：由图可得两个中点及这两个中点所对的大正方形的顶点所组成的图形都满足条件．如图所示，符合题意的有3个三角形．故选：B．
9．如图，方格纸上有2条线段，请你再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，最多能画（　　）条线段．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D．解：如图所示，共有4条线段．故选：D．
第9题图
第11题图
第13题图
第14题图
第15题图
10．如图所给的轴对称图形中，只用平移可以使对称轴两边图形重合的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
解：观察图形，第一个是由旋转或对折得到，第二个是由平移得到，第三个是旋转由得到，第四个是由平移得到．故选：B．
11．小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．无数个
【答案】C．解：如图所示：正方形ABCD可以向上、下、向右以及沿AC所在直线，沿BD所在直线平移，所组成的两个正方形组成轴对称图形．故选：C．
12．下列各时刻是轴对称图形的为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B．解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选：B．
13．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（　　）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
【答案】D．解：如图所示：
与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有8个，故选：D．
14．如图，点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，B、B′关于AD对称，且BB′交AD于F，交AC于E，连接FC、AB′，下列说法：①∠BAD＝30°；②∠BFC＝135°；③AF＝2B′C；④S△AFE＝S△FCE，正确的个数是（　B　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
15．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　B　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
二．填空题(每小题2分
共30分)
16..如图所示．将△ABC沿直线DE折叠后，使点A与点C重合，已知BC=6，△BCD的周长为15，则AB=_______．
【答案】9、解：∵△ABC沿直线DE折叠后，使点A与点C重合，∴AD=CD，∵BC=6，△BCD的周长为15，∴CD+BD=AB=15﹣6=9．故答案为：9．
第16题图
第17题图
17、如图a是长方形纸带，∠DEF=18°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是__________．
【答案】126°、解：∵AD∥BC，∠DEF=18°，∴∠BFE=∠DEF=18°，∴∠EFC=162°（图a），∴∠BFC=162°﹣18°=144°（图b），∴∠CFE=144°﹣18°=126°（图c）．故答案为：126°．
18．将长方形ABCD纸片按如图所示方式折叠，使得∠A'EB′＝50°，其中EF，EG为折痕，则∠AEF+∠BEG＝　
　度．
【答案】65
第18题图
第19题图
第20题图
第21题图
19．如图，△ABC中，∠BAC＝75°，BC＝7，△ABC的面积为14，D为
BC边上一动点（不与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为　
　．
【答案】4
20．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α度数为_______．
【答案】80°解：∵∠1：∠2：∠3=28：5：3，∴设∠1=28x，∠2=5x，∠3=3x，由∠1+∠2+∠3=180°得：28x+5x+3x=180°，解得x=5，故∠1=28×5=140°，∠2=5×5=25°，∠3=3×5=15°，∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，∴∠DCA=∠E=∠3=15°，∠2=∠EBA=∠D=25°，∠4=∠EBA+
E=25°+15°=40°，∠5=∠2+∠3=25°+15°=40°，故∠EAC=∠4+∠5=40°+40°=80°，
在△EGF与△CAF中，∠E=∠DCA，∠DFE=∠CFA，∴△EGF∽△CAF，∴∠EGF=∠EAC=80°．∴∠α=∠EGF=80°，故答案为：80°．
21．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A、∠1、∠2之间的数量关系是_________．
【答案】∠1+∠2=2∠A．．解：连接AA′．则△A′ED即为折叠前的三角形，由折叠的性质知：∠DAE=∠DA′E．由三角形的外角性质知：∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠DAA′+∠DA′A；则∠1+∠2=∠DAE+∠DA′E=2∠DAE，即∠1+∠2=2∠A．故答案是：∠1+∠2=2∠A．
22．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证∠1为　
　°．
【答案】60°
解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，∴∠2=60°，
∵∠1=∠2，∴∠1=60°．
第22题图
第23题图
第25题图
第26题图
23．如图，正方形ABCD的边长为5cm，则图中阴影部分的面积为______cm2．
【答案】12.5
解：由题意得：S阴影=×5×5=12.5（cm2）．故阴影部分的面积为12.5cm2．故答案为：12.5．
24.．如图①是3×3的小方格构成的正方形ABCD，若将其中的两个小方格涂黑，使得涂黑后的整个ABCD图案（含阴影）是轴对称图形，且规定沿正方形ABCD对称轴翻折能重合的图案都视为同一种，比如图②中四幅图就视为同一种，则得到不同的图案共有_____种．
【答案】6．解：得到的不同图案有：
共6种．故答案为：6．
25．如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为________．
【答案】25°．解：如图，∵△ABC沿EF翻折，∴∠BEF=∠B′EF，∠CFE=∠C′FE，∴180°﹣∠AEF=∠1+∠AEF，180°﹣∠AFE=∠2+∠AFE，∵∠1=95°，∴∠AEF=（180°﹣95°）=42.5°，∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣42.5°=77.5°，∴180°﹣77.5=∠2+77.5°，∴∠2=25°．故答案为25°．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=26°，则∠CDE=　　．
【答案】71°【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=26°，∴∠B=64°，
∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ECD=45°，∠CED=∠B=64°，∴∠CDE=180°﹣∠ECD﹣∠CED=71°，故答案为：71°．　
27．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=_______
【答案】10°解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，∵∠CA'D是△A'BD的外角，
∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．．
第27题图
第268题图
第29题图
第30题图
28．如图，在△ABC中，AB=AC，AB+BC=8．将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB、AC交于点D、F，连接BF，则△BCF的周长是________
【答案】8
【解答】：∵将△ABC折叠，使得点A落在点B处，∴AF=BF，∵AB=AC，AB+BC=8，
∴△BCF的周长是：BC+CF+BF=BC+CF+AF=BC+AC=BC+AB=8．　
29．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=　40　°．
【答案】40
【解答】：矩形纸片ABCD中，AD∥BC，∵∠CEF=70°，∴∠EFG=∠CEF=70°，
∴∠EFD=180°﹣70°=110°，根据折叠的性质，∠EFD′=∠EFD=110°，∴∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，=110°﹣70°，=40°．
如图，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1=∠2；
②△ANC≌△AMB；③CD=DN．其中正确的结论是　　．（填序号）
【答案】①②
【解答】：①∵Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，∴∠MAD=∠NAD，∠EAD=∠FAD，∴∠EAD﹣∠MAD=∠FAD﹣∠NAD，即：∠1=∠2，故正确；②∵Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，∴∠B=∠C，AC=AB，在△ANC与△AMB中，，∴△ANC≌△AMB，故正确；③易得：CD=BD，但在三角形DNB中，DN不一定等于BD，故错误．
故答案为：①②．
三．解答题（40分）
31．（6分）如图，直线ll，l2交于点O，点P关于ll，l2的对称点分别为P1、P2．
（1）若ll，l2相交所成的锐角∠AOB=60°，则∠P1OP2=_______；
（2）若OP=3，P1P2=5，求△P1OP2的周长．
解：（1）∵P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，∴∠P1OA=∠AOP，∠P2OB=∠POB，
∴∠P1OP2=2（∠AOP+∠POB）=2∠AOB=2×60°=120°；故答案为：120°；
（2）∵P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，∴OP1=OP=OP2=3，∵P1P2=5，
∴△P1OP2的周长=OP1+OP2+P1P2=3+3+5=11．
32．（6分）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，点D是BC边上一动点（与点B，C不重合），点E与点D关于直线AC对称，连结AE，过点B作BF⊥ED的延长线于点F．
（1）依题意补全图形；（2）当AE=BD时，用等式表示线段DE与BF之间的数量关系，并证明．
解：（1）依题意补全图形如图所示：
（2）结论：DE=2BF．理由：连接AD，设DE交AC于H．∵点E、D关于AC对称，∴AC垂直平分DE．∴AE=AD．∵AE=BD，∴AD=DB．∴∠DAB=∠ABC=45°．∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠BDF=90°．∵BF⊥ED，AC⊥ED，∴∠F=∠AHD=90°．∴∠DBF+∠BDF=90°．∴∠DBF=∠ADH．∴△ADH≌△DBF∴DH=BF又∵DH=EH，∴DE=2BF．
33．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH
（1）求∠BPD的大小；（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；
（3）证明：∠BAP＝∠CAH．
解：（1）∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，∴∠APC＝15°+45°＝60°，∵点C关于直线PA的对称点为D，∴PD＝PC，AD＝AC，∴△ADP≌△ACP，∴∠APC＝∠APD＝60°，∴∠BPD＝180°﹣120°＝60°；
（2）直线BD，AH平行．理由：∵BC＝3BP，∴BP＝PC＝PD，如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，∴∠BEP＝60°，∴∠BDE＝∠BEP＝30°，∴∠DBP＝90°，即BD⊥BC．又∵△APC的PC边上的高为AH，∴AH⊥BC，
∴BD∥AH；
（3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．∵∠APC＝∠APD，即点A在∠DPC的平分线上，∴AH＝AF．∵∠CBD＝90°，∠ABC＝45°，∴∠GBA＝∠CBA＝45°，即点A在∠GBC的平分线上，∴AG＝AH，∴AG＝AF，∴点A在∠GDP的平分线上．
又∵∠BDP＝30°，∴∠GDP＝150°，∴∠ADP＝×150°＝75°，∴∠C＝∠ADP＝75°，∴Rt△ACH中，∠CAH＝15°，∴∠BAP＝∠CAH．
34．（7分）如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．
解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°．又∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠EDC+∠DEC＝∠ACB，∴∠BAD+∠DAC＝∠EDC+∠DEC．∵DE＝DA，
∴∠DAC＝∠DEC，∴∠BAD＝∠EDC．
（2）猜想：DM＝AM．理由如下：∵点M、E关于直线BC对称，∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM．又由（1）知∠BAD＝∠EDC，∴∠MDC＝∠BAD．∵∠ADC＝∠BAD+∠B，即∠ADM+∠MDC＝∠BAD+∠B，∴∠ADM＝∠B＝60°．又∵DA＝DE＝DM，∴△ADM是等边三角形，∴DM＝AM．
35.（12分）操作探究：数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=1，AB=CD=5．然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：
探究：
（1）若∠1=70°，∠MKN=________°；
（2）改变折痕MN位置，△MNK始终是________三角形，请说明理由；
应用：
（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN的面积最小值为，此时∠1的大小可以为　
　°
（4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积的最大值．请你求出这个最大值．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AM∥DN．∴∠KNM=∠1．∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，∴∠MKN=40°．故答案为：40；
（2）等腰，理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠MND，∵将纸片沿MN折叠，∴∠1=∠KMN，∠MND=∠KMN，∴KM=KN；故答案为：等腰；
（3）如图2，当△KMN的面积最小值为时，KN=BC=1，故KN⊥B′M，∵∠NMB=∠KMN，∠KMB=90°，∴∠1=∠NMB=45°，故答案为：45°；
（4）分两种情况：情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．MK=MB=x，则AM=5﹣x．由勾股定理得12+（5﹣x）2=x2，解得x=2.6．∴MD=ND=2.6．S△MNK=S△MND=×1×2.6=1.3．
情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．MK=AK=CK=x，则DK=5﹣x．同理可得MK=NK=2.6．∵MD=1，∴S△MNK=×1×2.6=1.3．
△MNK的面积最大值为1.3．