江苏省常州市2021-2022学年九年级数学苏科版上册 2.2圆的对称性（夯实基础） （word版含解析）

2.2圆的对称性（夯实基础）
一．选择题（共12小题）
1．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（　　）
A．8cm
B．10cm
C．16cm
D．20cm
2．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）
A．
B．3
C．3
D．4
3．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）
A．8
B．12
C．16
D．2
4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）
A．25m
B．24m
C．30m
D．60m
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
5．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（　　）
A．Q点在上，且＞
B．Q点在上，且＜
C．Q点在上，且＞
D．Q点在上，且＜
6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（　　）
A．3cm
B．cm
C．2.5cm
D．cm
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（　　）
A．
B．2
C．2
D．8
8．如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（　　）
A．
B．
C．
D．
9．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（　　）
A．1
B．7
C．4或3
D．7或1
10．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（　　）
A．或2
B．或2
C．或2
D．或2
11．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM：MD＝5：8，则⊙O的周长为（　　）
A．26π
B．13π
C．
D．
第7题
第8题
第11题
第12题
第13题
12．如图，已知⊙O的半径OB为3，且CD⊥AB，∠D＝15°．则OE的长为（　　）
A．
B．
C．
D．3
二．填空题（共12小题）
13．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是　
　寸．
14．在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝　
　．
15．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为　
　cm．
16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为　
　．
17．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为　
　．
18．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是　
　cm．
19．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，若CD＝6，BE＝1，则⊙O的直径为　
　．
第16题
第17题
第19题
第20题
第21题
第22题
20．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是　
　cm．
21．如图，把一只篮球放在高为16cm的长方体纸盒中，发现篮球的一部分露出盒，其截面如图所示．若量得EF＝24cm，则该篮球的半径为　
　cm．
22．如图平面直角坐标系中，⊙O的半径5?，弦AB的长为4，过点O做OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是　
　．
23．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度
CD为2m，水面宽AB为8m，则输水管的半径为　
　m．
24．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，以点C为圆心，
CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为　
　．
三．解答题（共16小题）
25．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
26．如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE＝．
（1）求弦AB的长；
（2）求∠CAB的度数．
27．如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥MN，点C在线段AB上，OC＝AC＝2，BC＝4，求⊙O的半径．
28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AD，过点O作OF⊥AD于F，若CD＝6，BE＝1，求△AOF的面积．
29．如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC等于弧BC，D、E分别是OA、OB的中点，CD与CE相等吗？为什么？
30．如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC＝BD．
31．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．
（1）若AB＝6，求DE的长；
（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．
32．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）证明：点E是OB的中点；
（2）若AE＝8，求CD的长．
33．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．
34．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小：以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是多少寸？
35．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24m，点O是所在圆的圆心，⊙O的半径为13m，求桥拱的高度．（弧的中点到弦的距离）
36．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝8，求OP的长．
37．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB＝6，求CD的长．
38．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．
39．已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC＝BD．
40．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，求半径OC的长．
2.2圆的对称性（夯实基础）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（　　）
A．8cm
B．10cm
C．16cm
D．20cm
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）
A．
B．3
C．3
D．4
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．
【解答】解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
3．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）
A．8
B．12
C．16
D．2
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5，
∴OC＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝＝＝8，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）
A．25m
B．24m
C．30m
D．60m
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
5．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（　　）
A．Q点在上，且＞
B．Q点在上，且＜
C．Q点在上，且＞
D．Q点在上，且＜
【分析】连接AD，OB，OC，根据题意得到∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，由圆周角定理得到∠E＝AOC＝67.5°，求得∠ABC＝112.5°＜130°，取的中点F，连接OF，得到∠ABF＝123.25°＜130°，于是得到结论．
【解答】解：连接AD，OB，OC，
∵＝180°，且＝，＝，
∴∠BOC＝∠DOC＝45°，
在圆周上取一点E连接AE，CE，
∴∠E＝AOC＝67.5°，
∴∠ABC＝112.5°＜130°，
取的中点F，连接OF，
则∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝90°+22.5°＝112.5°，
∴∠ABF＝∠ABO+∠OBF＝45°+（180°﹣22.5°）＝123.75°＜130°，
∴Q点在上，且＜，
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（　　）
A．3cm
B．cm
C．2.5cm
D．cm
【分析】根据垂径定理得出AB的长，进而利用中位线定理得出OF即可．
【解答】解：连接AB，OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即AB＝，
∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，
∴BF＝FC，
∴OF＝．
故选：D．
【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（　　）
A．
B．2
C．2
D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，
∴∠POH＝60°，
∴OH＝OP＝1，
在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，
∴CH＝＝，
∴CD＝2CH＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
8．如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．
【解答】解：设OA与BC相交于D点．
∵AB＝OA＝OB＝6
∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD＝＝3
所以BC＝6．
故选：A．
【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．
9．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（　　）
A．1
B．7
C．4或3
D．7或1
【分析】连接OC、OA，作直线OF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，根据垂径定理求出CF，AE，根据勾股定理求出OE、OF，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，连接OA，OC．作直线OF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
根据勾股定理，得
OE＝＝3，OF＝＝4，
所以当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF﹣OE＝1，
当AB和CD在圆心的异侧时，则EF＝OF+OE＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情况．
10．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（　　）
A．或2
B．或2
C．或2
D．或2
【分析】过B作直径，连接AC交BO于E，如图①，根据已知条件得到BD＝×2×3＝2，如图②，BD＝×2×3＝4，求得OD＝1，OE＝2，DE＝1，连接OD，根据勾股定理得到结论，
【解答】解：过B作直径，连接AC交BO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×2×3＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝，
∴边CD＝＝；
如图②，BD＝×2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝＝2，
∴边CD＝＝＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
11．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM：MD＝5：8，则⊙O的周长为（　　）
A．26π
B．13π
C．
D．
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM＝AB＝6，设OM＝5x，DM＝8x，得到OA＝OD＝13x，根据勾股定理得到OA＝×13，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM＝AB＝6，
∵OM：MD＝5：8，
∴设OM＝5x，DM＝8x，
∴OA＝OD＝13x，
∴AM＝12x＝6，
∴x＝，
∴OA＝×13，
∴⊙O的周长＝2OA?π＝13π，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
12．如图，已知⊙O的半径OB为3，且CD⊥AB，∠D＝15°．则OE的长为（　　）
A．
B．
C．
D．3
【分析】连接OA，先根据圆O的直径为6求出OA的长，再由CD⊥AB得出∠AEO＝90°，由圆周角定理求出∠AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵圆O的直径为6，
∴OA＝3．
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝90°．
∵∠D＝15°，
∴∠AOE＝30°，
∴OE＝OA?cos30°＝3×＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
二．填空题（共12小题）
13．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是　26　寸．
【分析】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r寸，则OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
【解答】解：由题意可知OE⊥AB，
∵OE为⊙O半径，
∴尺＝5寸，
设半径OA＝OE＝r寸，
∵ED＝1，
∴OD＝r﹣1，
则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，
解得：r＝13，
∴木材直径为26寸；
故答案为：26．
【点评】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．
14．在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝　或或　．
【分析】如图1，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE＝1，同理可得OF＝1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到PA＝PC＝1，根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OD、OB，
则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，
如图1，
在Rt△OBE中，∵OB＝，BE＝2，
∴OE＝＝1，
同理可得OF＝1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
∴PE＝PF＝1，
∴PA＝PC＝1，
∴S△APC＝＝；
如图2，
同理：S△APC＝＝；
如图3，
同理：S△APC＝＝；
故答案为：或或．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
15．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为　1或7　cm．
【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE＝BE＝4，CF＝DF＝3，则利用勾股定理可计算出OE＝3，OF＝4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当点O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE．
【解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝4cm，CF＝DF＝CD＝3cm，
在Rt△OAE中，OE＝＝＝3cm，
在Rt△OCF中，OF＝＝＝4cm，
当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；
当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；
综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故答案为1或7．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为　3　．
【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．
【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，
∵直径AB＝10，
∴OC＝5，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
17．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为　30°　．
【分析】想办法证明△AOC是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC．
∵AB是直径，＝＝，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°．
故答案为30°
【点评】本题考查等弧所对的圆心角相等的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是　2或14　cm．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AE＝8cm，CF＝6cm，
∵OA＝OC＝10cm，
∴EO＝6cm，OF＝8cm，
∴EF＝OF﹣OE＝2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AF＝8cm，CE＝6cm，
∵OA＝OC＝10cm，
∴OF＝6cm，OE＝8cm，
∴EF＝OF+OE＝14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
19．
如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，若CD＝6，BE＝1，则⊙O的直径为　10　．
【分析】首先连接OD，并设OD＝x，然后在△ODE中，由勾股定理，求出OD的长，即可求出⊙O的直径为多少．
【解答】解：如图，连接OD，设OD＝x，，
∵AB是⊙O的直径，而且CD⊥AB于E，
∴DE＝CE＝6÷2＝3，
在Rt△ODE中，
x2＝（x﹣1）2+32，
解得x＝5，
∵5×2＝10，
∴⊙O的直径为10．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是求出OD的长度是多少．
20．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是　5　cm．
【分析】根据题意得到MN＝BC，当正方形纸片卷成一个圆柱时，EF卷成一个圆，线段卷成圆上一段弧，该段弧所对的圆心角为×360°，要求圆柱上M，N两点间的距离即求弦MN的长．
【解答】解：根据题意得：EF＝AD＝BC，MN＝2EM＝EF，
把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段EF形成一直径为10cm的圆，线段EF为圆上的一段弧．
所对的圆心角为：×360°＝120°，
所以圆柱上M，N两点间的距离为：2×5×sin60°＝5cm．
故答案为：5．
【点评】此题实质考查了圆上弦的计算，需要先找出圆心角再根据弦长公式计算，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
21．如图，把一只篮球放在高为16cm的长方体纸盒中，发现篮球的一部分露出盒，其截面如图所示．若量得EF＝24cm，则该篮球的半径为　12.5　cm．
【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝16﹣x，MF＝12，在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝16cm，
设OF＝xcm，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝16﹣x，MF＝12cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（16﹣x）2+122＝x2
解得：x＝12.5（cm），
故答案为：12.5．
【点评】本题主考查垂径定理、矩形的性质及勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．如图平面直角坐标系中，⊙O的半径5?，弦AB的长为4，过点O做OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是　6　．
【分析】连接OB，如图，利用垂径定理得到AC＝BC＝2，则利用勾股定理可计算出OC＝11，利用垂线段最短，当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，然后计算出OD的长，从而得到点D到AB的距离的最小值．
【解答】解：连接OB，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝2，
在Rt△OBC中，OC＝＝＝11，
当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，
∵OD＝＝5，
∴点D到AB的距离的最小值为11﹣5＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
23．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面宽AB为8m，则输水管的半径为　5　m．
【分析】由垂径定理可知AC＝4m，设OA＝rm，则OC＝（r﹣1）m，在Rt△AOC中，再利用勾股定理即可求出r的值．
【解答】解：由题意得：OD⊥AB，
∴AC＝AB＝×8＝4（m），
设OA＝rm，则OC＝OD﹣CD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
即输水管的半径为5m，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
24．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为　　．
【分析】作CE⊥AB于E，根据勾股定理得到AB＝，利用三角形面积公式求出CE，根据勾股定理求出AE，根据垂径定理计算即可．
【解答】解：作CE⊥AB于E，
则AE＝AD，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝＝，
×AB×CE＝AC×BC，即×CE＝，
解得，CE＝，
AE＝＝，
则AD＝2AE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
三．解答题（共16小题）
25．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH＝DE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′＝，
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，圆弧型桥墩高4米．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，根据题意画出图形结合勾股定理得出是解题关键．
26．如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE＝．
（1）求弦AB的长；
（2）求∠CAB的度数．
【分析】（1）连接OB，先由垂径定理得OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，再由勾股定理求出BE＝，即可求解；
（2）先证△BOE是等腰直角三角形，得∠BOC＝45°，再由圆周角定理即可求解．
【解答】解：（1）连接OB，如图所示：
∵半径OC过弦AB的中点E，
∴OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，
∴BE＝＝＝，
∴AB＝2BE＝2；
（2）由（1）得：BE＝OE，OC⊥AB，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∴∠BOC＝45°，
∴∠CAB＝∠BOC＝22.5°．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
27．如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥MN，点C在线段AB上，OC＝AC＝2，BC＝4，求⊙O的半径．
【分析】连接OB，先由垂径定理得AD＝BD＝AB＝3，则CD＝AD﹣AC＝1，再由勾股定理求出OD＝，然后由勾股定理求出OB即可．
【解答】解：连接OB，设AB与MN交于点D，如图所示：
∵AC＝2，BC＝4，
∴AB＝AC+BC＝6，
∵AB⊥MN，
∴AD＝BD＝AB＝3，∠ODC＝∠ODB＝90°，
∴CD＝AD﹣AC＝1，
∴OD＝＝＝，
∴OB＝＝＝2，
即⊙O的半径为2．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AD，过点O作OF⊥AD于F，若CD＝6，BE＝1，求△AOF的面积．
【分析】连接OD，先由垂径定理得CE＝DE＝CD＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OD＝r，由勾股定理求出r＝5，则OE＝4，AE＝9，求出S△AED＝，S△OED＝6，则S△AOD＝S△AED﹣S△OED＝，即可解决问题．
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝3，
设⊙O的半径为r，
则OE＝r﹣1，OD＝r，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：（r﹣1）2+32＝r2，
解得：r＝5，
∴OE＝4，AE＝5+4＝9，
∴S△AED＝AE?DE＝×9×3＝，S△OED＝OE?DE＝×4×3＝6，
∴S△AOD＝S△AED﹣S△OED＝﹣6＝，
∵OF⊥AD，OA＝OD，
∴AF＝DF，
∴S△AOF＝S△AOD＝×＝．
【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
29．如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC等于弧BC，D、E分别是OA、OB的中点，CD与CE相等吗？为什么？
【分析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC＝∠BOC，又由D、E分别是半径OA、OB的中点，可得OD＝OE，利用SAS判定△DOC≌△EOC，继而证得结论．
【解答】解：CD＝CE，理由如下：
∵弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵OA＝OB，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD＝OE，
在△DOC和△EOC中，
，
∴△DOC≌△EOC（SAS），
∴CD＝CE．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
30．如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC＝BD．
【分析】过O作OE⊥AB于E，由垂径定理得出AE＝BE，CE＝DE，相减即可得出答案．
【解答】证明：
过O作OE⊥AB于E，
则OE⊥CD，
∵OE过O，
∴由垂径定理得：AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
即AC＝BD．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是作辅助线后得出AE＝BE，CE＝DE．
31．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．
（1）若AB＝6，求DE的长；
（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）根据垂径定理得到＝，则AC＝AB＝6，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到DE的长；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出∠C＝40°，然后利用ED＝EC得到∠CDE＝∠C＝40°．
【解答】解：（1）∵BC⊥OA，
∴＝，∠ADC＝90°，
∴AC＝AB＝6，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝AC＝3；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝100°，
∴∠C＝（180°﹣100°）＝40°，
∵点E为AC的中点，
∴ED＝EC，
∴∠CDE＝∠C＝40°．
【点评】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
32．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）证明：点E是OB的中点；
（2）若AE＝8，求CD的长．
【分析】（1）要证E是OB的中点，只要证OE＝OB＝OC，即证出∠OCE＝30°即可；
（2）在直角△ACE中，根据∠CAB＝30°就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图，
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴＝，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线段CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：∵△ACD是等边三角形，AB⊥CD，
∴∠CAE＝30°，
∴CE＝AE×tan30°＝8×＝，
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴CD＝2CE＝．
【点评】本题考查垂径定理、等边三角形的判定、线段垂直平分线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
33．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．
【分析】（1）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出＝即可；
（2）根据垂径定理，勾股定理求出ME，进而求出MB即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，
又∵点M是弧AC的中点，
∴＝，
∴+＝+，
即：＝，
∴MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，
在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，
∴ME＝＝＝，
∴MD＝MB＝2ME＝2．
【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理、勾股定理是正确计算的前提．
34．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小：以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是多少寸？
【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．
【解答】解：设⊙O的半径为r．
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝5，
在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有：r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
∴⊙O的直径为26寸．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
35．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24m，点O是所在圆的圆心，⊙O的半径为13m，求桥拱的高度．（弧的中点到弦的距离）
【分析】由垂径定理得AD＝BD＝×24＝12（m），设CD＝xm，则OD＝（13﹣x）m，在Rt△AOD中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图所示：过O作OD⊥AB交于C，垂足为D，
则AD＝BD＝×24＝12（m），
设CD＝xm，则OD＝（13﹣x）m，
根据勾股定理得：122+（13﹣x）2＝132，
解得：x＝8，
即桥拱的高度为8m．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
36．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝8，求OP的长．
【分析】（1）∠APO＝∠AOP得到AP＝AO；
（2）过O点作OH⊥AB于H，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，则可利用勾股定理可计算出OH＝3，然后在Rt△POH中利用勾股定理计算OP．
【解答】（1）证明：∵PG平分∠EPF，
∴∠DPO＝∠APO，
∵OA∥PE，
∴∠DPO＝∠AOP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴AP＝AO；
（2）解：过O点作OH⊥AB于H，如图，则AH＝BH＝AB＝4，
在Rt△AOH中，∵OA＝5，AH＝4，
∴OH＝＝3，
∵AP＝AO＝5，
∴PH＝PA+AH＝9，
在Rt△POH中，OP＝＝3．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的判定和勾股定理．
37．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB＝6，求CD的长．
【分析】（1）要证E是OB的中点，只要证OE＝OB＝OC，即证出∠OCE＝30°即可；
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图所示：
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，
即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB＝6，
∴OC＝AB＝3，
又∵BE＝OE，
∴OE＝，
∴CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝3．
【点评】本题考查垂径定理、等边三角形的判定、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
38．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．
【分析】证出△DCO是等腰直角三角形，得出DC＝CO，求出BO＝2AB，连接AO，得出AO＝5，再根据勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，
∴∠DCO＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴∠CDO＝45°，
∴CD＝CO，
∴BO＝BC+CO＝BC+CD，
∴BO＝2AB，
连接AO，如图：
∵MN＝10，
∴AO＝5，
在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，
即AB2+（2AB）2＝52，
解得：AB＝，
则正方形ABCD的边长为．
【点评】此题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是证出△DCO是等腰直角三角形，得出BO＝2AB，作出辅助线，利用勾股定理求解．
39．已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC＝BD．
【分析】连接OC、OD，根据已知条件，易证△OCM≌△ODN，根据全等三角形的性质可知，∠AOC＝∠BOD，根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可知，AC＝BD．
【解答】证明：连接OC、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AO＝BO，
∵M，N分别为AO、BO的中点，
∴OM＝ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°，
∴△OCM与△ODN都是直角三角形，
又∵OC＝OD，
∴△OCM≌△ODN（HL），
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，此定理应用非常广泛，为证明线段相等和角的相等提供了依据．
40．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，求半径OC的长．
【分析】过点O作OD⊥AB于D，连接OA，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝5，则DP＝1，设OA＝OC＝r，在Rt△AOD和Rt△OPD中，由勾股定理得r2﹣52＝（r﹣2）2﹣12，解得r＝7即可．
【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OA，如图所示：
则AD＝BD＝AB＝5，
∴DP＝BD﹣PB＝5﹣4＝1，
设OA＝OC＝r，
在Rt△AOD和Rt△OPD中，由勾股定理得：OD2＝OA2﹣AD2＝OP2﹣DP2，
即r2﹣52＝（r﹣2）2﹣12，
解得：r＝7，
即半径OC的长为7cm．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．