2021-2022学年 苏科版数学九年级上册2.2圆的对称性（中档题）同步练习（word版、含解析）

2.2圆的对称性（中档题）
一．选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1，CD＝6，则AE的长度为（　　）
A．10
B．9
C．5
D．4
2．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　）
A．2
B．2
C．2
D．4
3．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（　　）
A．﹣2
B．﹣2
C．﹣8
D．﹣7
4．如图，⊙O的直径CD＝8，弦AB⊥CD，垂足为M，若OM：MC＝3：1，则AB的长是（　　）
A．
B．
C．3
D．6
5．如图，半径为5的⊙O中，有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB＝CD＝8，则OE的长为（　　）
A．3
B．
C．2
D．3
6．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．1
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（　　）
A．8
B．2
C．3
D．4
8．已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（　　）
A．6
B．2
C．6或2
D．以上说法都不对
9．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列不符合条件的OP的值是（　　）
A．4
B．3
C．3.5
D．2.5
10．如图，将弧AB沿弦AB翻折，恰过圆心O点，交弦AC于D，若AD＝1，DC＝2，那么AB2的值是（　　）
A．7
B．6
C．5
D．4
11．如图，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝4，BC＝10，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
二．填空题
12．如图，在⊙O中，若＝＝，则AC与2CD的大小关系是：AC　
　2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）
13．如图，在半径为R的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D为的中点，AC与BD交于点E，若点E是BD的中点，则AC的长为　
　．
14．如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上任意一点，CF⊥AE于F，则线段FG的长度的最小值为　
　．
15．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF的关系是　
　（“相等”或“不等”）．
16．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为　
　．
17．如图，⊙O的半径OA＝8，以点A为圆心，AO的半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝　
　．
18．⊙O的半径为5，弦AB＝8，弦CD＝6，AB∥CD，则AC＝　
　．
19．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为　
　．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝　
　．
21如图，已知⊙O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP＝　
　．
22．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有　
　个．
23．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝35°，则∠AOE＝　
　°．
24．如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若OC＝12，则线段CE、BD的长度差是　
　．
三．解答题
25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
26．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由；
27．如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，AE＝BF，请找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．
28．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．
29．如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有　
　条．
30．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，∠DEB＝60°，求CD的长．
31．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：DF＝DE；
（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
32．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，M是的中点，N是的中点，弦MN分别交AB、AC于点P、D．
（1）求证：AP＝AD；
（2）连接PO，当AP＝3，OP＝，⊙O的半径为5，求MP的长．
33．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径．
34．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．
（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；
（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．
35．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
36．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．
37．如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．
（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为　
　．
（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长．
38．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且DB＝DC，求证：AD平分∠CAE．
2.2圆的对称性（中档题）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1，CD＝6，则AE的长度为（　　）
A．10
B．9
C．5
D．4
【分析】设OC＝OB＝r，在Rt△OCE中，根据OC2＝EC2+OE2，可得r2＝33+（r﹣1）2，求出r，即可解决问题．
【解答】解：设OC＝OB＝r，
∵OB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝3，
在Rt△OCE中，OC2＝EC2+OE2，
∴r2＝33+（r﹣1）2，
∴r＝5，
∴OA＝OB＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣1＝9，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
2．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　）
A．2
B．2
C．2
D．4
【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（　　）
A．﹣2
B．﹣2
C．﹣8
D．﹣7
【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．
【解答】解：连接AC，
由题意得，BC＝OB+OC＝9，
∵直线L通过P点且与AB垂直，
∴直线L是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC＝9，
在Rt△AOC中，AO＝＝2，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．
4．（2020秋?灵山县期末）如图，⊙O的直径CD＝8，弦AB⊥CD，垂足为M，若OM：MC＝3：1，则AB的长是（　　）
A．
B．
C．3
D．6
【分析】先根据CD＝10cm求出OC的长，故可得出OM的长，连接OA，由垂径定理可得出AM＝AB，在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM的长，进而可得出AB的长．
【解答】解：∵⊙O的直径CD＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵OM：MC＝3：1，
∴CM＝1，
∴OM＝OC﹣CM＝3，
连接OA，
∵AB⊥CD，
∴AM＝AB，
在Rt△AOM中，
∵OA＝4，OM＝3，
∴AM＝＝＝，
∴AB＝2AM＝2．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
5．（2020秋?昆明期末）如图，半径为5的⊙O中，有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB＝CD＝8，则OE的长为（　　）
A．3
B．
C．2
D．3
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出BM＝AM＝4，DN＝CN＝4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMEN是正方形，即可解决问题．
【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．
∴AM＝BM＝4，CN＝DN＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OM＝＝＝3，ON＝＝＝3，
∴OM＝ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形OMEN是正方形，
∴OE＝OM＝3，
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
6．（2020秋?朝阳区期末）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．1
【分析】连接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可．
【解答】解：连接AB．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，
∴AB＝＝＝，
∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴AC＝CP，PD＝DB，
∴CD＝AB＝，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题．
7．（2020秋?龙泉驿区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（　　）
A．8
B．2
C．3
D．4
【分析】如图，连接OD，利用勾股定理求出OE，再利用勾股定理求出AD即可．
【解答】解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（2021?江夏区校级模拟）已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（　　）
A．6
B．2
C．6或2
D．以上说法都不对
【分析】如图，分CD＝8和AB＝8这两种情况，利用垂径定理和勾股定理分别求解可得．
【解答】解：如图，
①若CD＝8，
则CF＝CD＝4，
∵OC＝OA＝5，
∴OF＝3，
∵EF＝1，
∴OE＝2，
则AE＝，
∴AB＝2AE＝2；
②若AB＝8，
则AE＝AB＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OE＝3，
∵EF＝1，
∴OF＝4，
则CF＝3，
∴CD＝2CF＝6；
综上，另一弦长为6或2，
故选：C．
【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
9．（2021?安阳县模拟）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列不符合条件的OP的值是（　　）
A．4
B．3
C．3.5
D．2.5
【分析】连接OB，作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理，求出OP的取值范围即可判断；
【解答】解：连接OB，作OM⊥AB与M．
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝4，
在直角△OBM中，∵OB＝5，BM＝4，
∴OM＝＝＝3．
∴3≤OP＜5，
故选：D．
【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．
10．（2020?江岸区模拟）如图，将弧AB沿弦AB翻折，恰过圆心O点，交弦AC于D，若AD＝1，DC＝2，那么AB2的值是（　　）
A．7
B．6
C．5
D．4
【分析】过点O作OF⊥AB于F，过点B作BE⊥AC于E，连接OA、OB、BD、BC，先求出△CDB为等边三角形，再求出BE和DE的长，求出AE，然后由勾股定理即可求解．
【解答】解：过点O作OF⊥AB于F，过点B作BE⊥AC于E，连接OA、OB、BD、BC，如图所示：
∵OF＝OA，
∴∠AOF＝∠BOF＝60°，
∴∠ADB＝∠AOB＝120°，∠ACB＝∠AOB＝60°，
∴∠CDB＝∠ACB＝60°，
∴△CDB为等边三角形，
∵CD＝2，
∴DE＝1，BE＝，
∴AB2＝AE2+BE2＝（1+1）2+（）2＝7，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质与判定，圆周角定理以及垂径定理等知识；能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
11．（2020?东胜区一模）如图，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝4，BC＝10，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】延长AO交BC于D，过点O作BC的垂线，设垂足为E，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，设AB的长为x，由此可表示出OD、BD和DE的长；在Rt△ODE中，根据∠ODE的度数，可得出OD＝2DE，进而可求出x的值．
【解答】解：延长AO交BC于D，过点O作OE⊥BC于E，如图所示：
设AB的长为x，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADB＝60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD＝AD＝AB＝x；
∵OA＝4，BC＝10，
∴BE＝BC＝5，DE＝x﹣5，OD＝x﹣4，
又∵∠ADB＝60°，
∴DE＝OD，
∴x﹣5＝（x﹣4），
解得：x＝6．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用．解答此题时，通过作辅助线将半径OB置于直角三角形OBE中，从而利用勾股定理求得．
二．填空题
12．（2020秋?顺义区期末）如图，在⊙O中，若＝＝，则AC与2CD的大小关系是：AC　＜　2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】如图，连接AB、BC，根据题意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三边关系得到AB+BC＞AC得到：AC＜2CD．
【解答】解：如图，连接AB、BC，
在⊙O中，若＝＝，
∴AB＝BC＝CD，
在△ABC中，AB+BC＞AC．
∴AC＜2CD．
故答案是：＜．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到AB+BC＞AC．
13．（2020秋?自贡期末）如图，在半径为R的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D为的中点，AC与BD交于点E，若点E是BD的中点，则AC的长为　R　．
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝，利用勾股定理即可求得AC．
【解答】解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中,
,
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝R，
∴OF＝，
∴BC＝，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝R，
故选答案为：R．
【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
14．（2020秋?槐荫区期末）如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上任意一点，CF⊥AE于F，则线段FG的长度的最小值为　2﹣2　．
【分析】连接AC，过点G作GM⊥AC于M，连接AG、MF、GF，由垂径定理得OA＝OB＝AB，易证∠GCA＝∠GAC，求出sin∠OAG＝，OA＝2，得∠OAG＝30°，AB＝4，再由含30°角直角三角形的性质得AC＝2OA＝4，MG＝AG＝2，然后由∠AFC＝90°，得点F在以AC为直径的⊙M上，由直角三角形的性质得出MF＝AC＝2，当点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，即可得出结果．
【解答】解：连接AC，过点G作GM⊥AC于M，连接AG、MF、GF，如图所示：
∵G（0，2），
∴OG＝2，GO⊥AB，
∴OA＝OB＝AB，
∵⊙G半径为4，
∴AG＝CG＝4，
∴∠GCA＝∠GAC，
在Rt△OAG中，sin∠OAG＝＝＝，OA＝＝2，
∴∠OAG＝30°，AB＝2OA＝4，
∴∠AGO＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC＝60°，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴OA＝AC，
∴AC＝2OA＝4，MG＝AG＝×4＝2，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
∵GM⊥AC，
∴AM＝CM，
∴MF＝AC＝2，
当点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，
最小值为：FM﹣MG＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、含30°角直角三角形的性质以及锐角三角函数定义等知识；熟练掌握垂径定理和直角三角形的性质是解题的关键．
15．（2020秋?原州区期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF的关系是　相等　（“相等”或“不等”）．
【分析】证明Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），可得OE＝OF．
【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝EB，CF＝DF，
∵AB＝CD，
∴AE＝CF，
∵OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，AE＝CF，
∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），
∴OE＝OF．
故答案为：相等．
【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．（2021?泗洪县一模）如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为　　．
【分析】先根据⊙O的直径AB＝12求出OB的长，再根据BP：AP＝1：5得出BP的长，进而得出OP的长，连接OC，根据勾股定理求出PC的长，再根据垂径定理即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的直径AB＝12，
∴OB＝AB＝6，
∵BP：AP＝1：5，
∴BP＝AB＝×12＝2，
∴OP＝OB﹣BP＝6﹣2＝4，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2PC，∠OPC＝90°，
∴PC＝＝＝2，
∴CD＝2PC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．（2020?广水市模拟）如图，⊙O的半径OA＝8，以点A为圆心，AO的半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝　8　．
【分析】根据题意得出△OAB是等边三角形，∠AOB＝60°，由OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，得出OA⊥BC，BC＝2BD，根据三角函数求出BD＝OB?sin60°，即可得出BC．
【解答】解：连接OB、AB，如图所示：
则OA＝OB＝AB＝8，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，
∴OA⊥BC，
∴∠BDO＝90°，BC＝2BD，
∴BD＝OB?sin60°＝8×＝4，
∴BC＝2×4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数；由相交两圆的性质得出直角三角形是解决问题的关键．
18．（2020?涪城区校级自主招生）⊙O的半径为5，弦AB＝8，弦CD＝6，AB∥CD，则AC＝　1或7　．
【分析】由于弦AB、CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴由勾股定理得：EO＝3，OF＝4，
∴EF＝OF﹣OE＝1；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴EO＝3，OF＝4，
∴EF＝OF+OE＝7．
故答案为：1或7．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
19．（2020秋?南岗区期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为　2　．
【分析】连接BE，先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值，易得AE＝2r，连接BE，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，由三角形中位线定理得到BE＝2OC＝6，然后在Rt△CBE中由勾股定理可求出CE．
【解答】解：连接BE，如图所示：
∵OD⊥AB，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝2r＝10；
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
20．（2020?静安区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝　　．
【分析】根据AB是⊙O的直径，OF⊥CD，和垂径定理可得CF＝DF，再根据30度角所对直角边等于斜边一半，和勾股定理即可求出EF的长，进而可得CD的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，OF⊥CD，
根据垂径定理可知：
CF＝DF，
∵∠CEA＝30°，
∴∠OEF＝30°，
∴OE＝2，EF＝，
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣，
∴CD＝2DF＝10﹣2．
故答案为：10﹣2．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
21．（2019秋?临安区期末）如图，已知⊙O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP＝　6　．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决．
【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，连接OB、OD，如右图所示，
则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，
又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，
∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，
∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，
同理可得，OF＝6，
∴EP＝OF＝6，
∴OP＝＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（2020?浙江自主招生）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有　3　个．
【分析】求出线段CD的最小值，及线段CD的最大值，从而可判断弦CD长的所有可能的整数值．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，
∴点B的坐标为（0，﹣4），
又∵点P的坐标为（0，﹣7），
∴BP＝3，
①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，
连接BC，
在Rt△BCP中，CP＝＝4；
故CD＝2CP＝8，
②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD＝直径AE＝10；
所以，8≤CD≤10，
所以符合的弦有4条，整数值是8（一条弦），9（两条弦），10（一条弦），
综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查了垂径定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂直弦的直径平分弦，本题需要讨论两个极值点，有一定难度．
23．（2020秋?长葛市期中）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝35°，则∠AOE＝　75　°．
【分析】由＝＝，根据弧与圆心角的关系，可得∠BOC＝∠DOE＝∠COD＝35°，继而求得答案．
【解答】解：∵＝＝，
∴∠BOC＝∠DOE＝∠COD＝35°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOC﹣∠COD﹣∠DOE＝75°．
故答案为：75．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．注意在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
24．（2020?浙江自主招生）如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若OC＝12，则线段CE、BD的长度差是　　．
【分析】设DE的中点为M，连接OM，则OM⊥DE，在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB的长，利用三角形的面积公式求出OM的长，在Rt△OCM中，利用勾股定理求出CM的长，进而可得出BM的长，由CE﹣BD＝（EM﹣CM）﹣（DM﹣BM）＝BM﹣CM即可得出结论．
【解答】解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OM⊥DE．
∵在Rt△AOB中，OA＝20，AB＝OC＝12，
∴OB＝＝＝16，
∴OM＝＝＝，
在Rt△OCM中，
CM＝＝＝，
∵BM＝BC﹣CM＝20﹣＝，
∴CE﹣BD＝（EM﹣CM）﹣（DM﹣BM）＝BM﹣CM＝﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理进行解答是解答此题的关键．
三．解答题
25．（2020秋?拱墅区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
【分析】（1）这部分证明∠AEO＝∠ACB＝90°，可得结论．
（2）利用勾股定理求出半径r，再求出OE，利用三角形的中位线定理可得结论．
【解答】（1）证明：∵AD＝DC，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝∠ACB，
∴OD∥BC．
（2）解：∵OD⊥AC，
∴AE＝EC＝5，
设OA＝OD＝r，
在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝52+（r﹣4）2，
∴r＝，
∴OE＝r＝DE＝﹣4＝，
∵AE﹣EC，AO＝OB，
∴BC＝2OE＝．
【点评】本题考查垂径定理，平行线的判定，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．（2020秋?江门期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由；
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，
∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44（m2），
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
27．（2020秋?莆田期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，AE＝BF，请找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，根据垂径定理得到OE＝OF即可．
【解答】解：OE＝OF
理由如下：过点O作OH⊥AB于点H，
∵OH过圆心，OH⊥AB
∴AH＝BH，
又∵AE＝BF
∴AH﹣AE＝BH﹣BE
即EH＝FH，
∵EH＝FH，OH⊥EF
∴OH垂直平分EF，
∴OE＝OF．
【点评】本题主要考查了垂径定理，关键是根据圆的性质，垂径定理等知识的综合应用及推理论证能力．
28．（2020秋?雁塔区校级期中）如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．
【分析】（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；
（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵＝，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：连接OA，如图2所示：
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝6，
设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝（x+3）2，
解得：x＝4.5，
∴OM＝4.5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
29．（2020秋?兴化市月考）如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有　4　条．
【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB＝24，即可得出答案；
②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，
则弦AB即为所求；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，
连接OA，如图2所示：
∵OP⊥AB，
∴AP＝BP＝＝＝12，
∴AB＝2AP＝24，
∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；
②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，
∴长度为25的弦有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，
故答案为：4．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
30．（2020秋?如皋市期中）如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，∠DEB＝60°，求CD的长．
【分析】作OP⊥CD于P，连接OD，由垂径定理得CP＝PD，连接OD，根据直角三角形的性质求出PD，即可得出答案．
【解答】解：作OP⊥CD于P，连接OD，如图所示：
则CP＝PD＝CD，
∵AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
在Rt△OPE中，∠DEB＝60°，
∴∠POE＝30°，
∴PE＝OE＝1cm，OP＝PE＝cm，
∴PD＝＝＝（cm），
∴CD＝2PD＝2cm．
【点评】本题考查的是垂径定理、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
31．（2020?淮南二模）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：DF＝DE；
（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接AD，通过证得△CAD≌△BAD（SAS），得出∠ACD＝∠ABD，进而根据ASA证得△CED≌△BFD（ASA），即可证得结论；
（2）根据圆内接四边形的性质证得∠ABD＝90°，从而证得AD是直径，根据勾股定理求得ED，进而求得AB，然后根据勾股定理求得AD，从而求得半径．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵点D是的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
在△CAD和△BAD中，
，
∴△CAD≌△BAD（SAS），
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠DCE＝∠DBF，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DF＝DE；
（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠DBF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CD＝BD＝6，CE＝8，
∴DE＝＝10，
∴EB＝10+6＝16，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，
解得x＝12，
∴AB＝12，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
∴AD＝＝6，
∴⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理的应用以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握和灵活应用性质定理是解题的关键．
32．（2020?武汉模拟）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，M是的中点，N是的中点，弦MN分别交AB、AC于点P、D．
（1）求证：AP＝AD；
（2）连接PO，当AP＝3，OP＝，⊙O的半径为5，求MP的长．
【分析】（1）连接AM，AN．只要证明∠APD＝∠ADP即可．
（2）连AO，OM交AB于E，设PE＝x，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：连AM，AN，
∵＝，＝，
∴∠BAM＝∠ANM，∠AMN＝∠CAN，
∵∠APD＝∠AMN+∠BAM，∠ADP＝∠CAN+∠ANM，
∴∠APD＝∠ADP，
∴AP＝AD．
（2
）解：连AO，OM交AB于E，设PE＝x，
∵＝，
∴OM⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∵OE2＝OA2﹣AE2＝OP2﹣PE2
∴52﹣（x+3）2＝（）2﹣x2，
∴x＝1，
∴AE＝4，OE＝3，ME＝2，
∴MP＝＝＝．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
33．（2019秋?北京期末）如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OPD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）画出弦CD，如图．
依据：垂直于弦的直径平分弦．
（2）如图，连接OD，
∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，
∴∠OPD＝90°，PD＝CD，
∵CD＝8，
∴PD＝4．
设⊙O的半径为r，则OD＝r，OP＝OA﹣AP＝r﹣2，
在Rt△ODP中，∠OPD＝90°，
∴OD2＝OP2+PD2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
即⊙O的半径为5．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
34．（2020?涪城区模拟）如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．
（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；
（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．
【分析】（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．利用勾股定理构建方程组解决问题即可．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．证明△ACH是等腰直角三角形，四边形EFHC是矩形，求出EF即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CEF＝∠BFO＝90°
∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，
根据勾股定理可得：，
解得（舍弃）或，
∴BF＝4，AB＝2BF＝8．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
∵OB⊥OC，
∴∠A＝∠BOC＝45°，
∵AH⊥CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵AC＝CH，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，
∴四边形EFHC是矩形，
∴CH＝EF，
在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，
OE＝＝＝2，
∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，
∴∠FOB＝∠ECO，
∵OB＝OC，
∴△OFB≌△CEO（AAS），
∴OF＝EC＝，
∴CH＝EF＝3，
∴AC＝EF＝6．
【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
35．（2020秋?路北区期中）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
【分析】（1）已知AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，则△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质知，∠1＝∠2，进而解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）连接OB、OC，
∵AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8，
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题．
36．（2020?温州模拟）如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．
【分析】（1）连接ACAC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，证出∠BAC＝∠BCE；由C是弧BD的中点，得到∠DBC＝∠BAC，延长∠BCE＝∠DBC，即可得到结论；
CF＝BF．
（2）连接OC交BD于G，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，由勾股定理得出BD＝＝8，由垂径定理得出OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，证出OG是△ABD的中位线，得出OG＝AD＝3，求出CG＝OC﹣OG＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵C是弧BD的中点，
∴∠DBC＝∠BAC，
在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，
∴∠BCE＝∠BAC，
又C是弧BD的中点，
∴∠DBC＝∠CDB，
∴∠BCE＝∠DBC，
∴CF＝BF．
（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：
∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝＝8，
∵C是弧BD的中点，
∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AD＝3，
∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
37．（2020秋?海淀区校级月考）如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．
（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为　50°　．
（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长．
【分析】（1）连接OC，利用三角形的内角和定理求出∠B，再利用等腰三角形的性质求出∠BOC即可．
（2）作OH⊥BC于H，利用面积法求出OH，再利用勾股定理求出BH，利用垂径定理BC＝2BH即可解决问题．
【解答】解：（1）连接OC．
∵∠AOB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴弧BC的度数为50°，
故答案为50°．
（2）如图，作OH⊥BC于H．
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵S△AOB＝?OB?OA＝?AB?OH，
∴OH＝＝，
∴BH＝＝＝，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∴BC＝2BH＝．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
38．（2020秋?泰兴市校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且DB＝DC，求证：AD平分∠CAE．
【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质解决问题即可．
【解答】证明：∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠EAD+∠BAD＝180°，∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴AD平分∠CAE．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
第1页（共1页）