函
数章末检测2
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝x＋1
B．y＝－x2
C．y＝
D．y＝x|x|
解析：选D 函数y＝x＋1为非奇非偶函数，函数y＝－x2为偶函数，y＝和y＝x|x|是奇函数，但y＝不是增函数，故选D.
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x2＋x－2，则f(0)＋f(1)＝( )
A．1
B．3
C．－3
D．－1
解析：选A 由于函数f(x)为奇函数，故f(1)＝－f(－1)＝－(2－1－2)＝1，f(0)＝0，所以f(0)＋f(1)＝1.故选A.
3．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内( )
A．至少有一个实根
B．至多有一个实根
C．没有实根
D．有唯一实根
解析：选D f(x)＝－x－x3在[a，b]上单调递减，且f(a)·f(b)<0，所以f(x)＝0在[a，b]内有唯一解．
4．函数f(x)＝|x－1|与g(x)＝x(x－2)的单调递增区间分别为( )
A．[1，＋∞)，[1，＋∞)
B．(－∞，1]，(1，＋∞)
C．(1，＋∞)，(－∞，1]
D．(－∞，＋∞)，[1，＋∞)
解析：选A f(x)＝|x－1|＝故f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
故g(x)在[1，＋∞)上单调递增．
5.已知函数y＝kx＋b(k≠0)的图像如图所示，则一元二次方程x2＋x＋k－1＝0的根的情况是( )
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
解析：选C 由图像可得k＜0.对于方程x2＋x＋k－1＝0，Δ＝b2－4ac＝12－4×1×(k－1)＝5－4k，∵k＜0，∴－4k＞0，∴Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．
6．已知函数f(x)＝x3＋(a＞0)的最小值为8，则实数a＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：选B 由x－a≥0，得x≥a，故函数的定义域为[a，＋∞)．因为函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝a3＝8，解得a＝2.故选B.
7．直角梯形OABC被直线x＝t截得的左边的面积S＝f(t)的图像大致是( )
解析：选C 由题中图像知，S＝所以选C.
8．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则函数f(x)的值域为( )
A．[－6，－2]∪(2，＋∞)
B．[－6，－2]∪(8，＋∞)
C．[－6，＋∞)
D．(2，＋∞)
解析：选A 当x＜g(x)，即x＜x2－2，即x＞2或x＜－1时，f(x)＝g(x)＋x＋4＝x2－2＋x＋4＝x2＋x＋2＝＋，则f(x)＞f(－1)＝2，此时值域为(2，＋∞)；当x≥g(x)，即－1≤x≤2时，f(x)＝g(x)－4＝x2－2－4＝x2－6，则f(x)的最小值为f(0)＝－6，最大值为f(2)＝－2，此时值域为[－6，－2]．综上，函数f(x)的值域为[－6，－2]∪(2，＋∞)．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．关于函数f(x)＝的结论正确的是( )
A．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞)
B．单调增区间是(－∞，1]
C．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2]
D．单调增区间是[－1，1]
解析：选CD 由－x2＋2x＋3≥0可得，x2－2x－3≤0，
可得，－1≤x≤3，即函数的定义域[－1，3]，
由二次函数的性质可知，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4∈[0，4]，∴函数的值域[0，2]，
结合二次函数的性质可知，函数在[－1，1]上单调递增．在[1，3]上单调递减．故选C、D.
10．已知狄利克雷函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的值域为[0，1]
B．f(x)定义域为R
C．f(x＋1)＝f(x)
D．f(x)是奇函数
解析：选BC 根据分段函数的定义域为每段函数的并集可知，函数的定义域为全体有理数与无理数的并集即R，故函数的定义域为R，值域为{1，0}，
当x为有理数时，x＋1也为有理数，则f(x＋1)＝f(x)＝1，
当x为无理数时，x＋1也为无理数，则f(x＋1)＝f(x)＝0，从而有f(x＋1)＝f(x)，不满足f(－x)＝－f(x)，故选B、C.
11．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2
km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y
km与时间x
min的关系，下列结论正确的是( )
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60
min
B．甲从家到公园的时间是30
min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
解析：选BD 在A中，甲在公园休息的时间是10
min，所以只走了50
min，A错误；由题中图像知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确；故选B、D.
12．已知定义域为R的函数f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，则( )
A．f(－2)>f(3)
B．f(－2)>f(5)
C．f(－3)>f(5)
D．f(－3)>f(6)
解析：选BD ∵y＝f(x＋1)为偶函数，
∴f(－x＋1)＝f(x＋1)．
∴f(－2)＝f(4)，f(－3)＝f(5)．又知f(x)在(1，＋∞)上为减函数，
∴f(－2)
f(5)，f(－3)＝f(5)>f(6)．故选B、D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点为，则f(1)＝________．
解析：因为函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点为，所以是方程2x2－ax＋3＝0的一个根，则2×－a＋3＝0，解得a＝5，所以f(x)＝2x2－5x＋3，则f(1)＝2－5＋3＝0.
答案：0
14．f(＋1)＝x＋3，则f(x)＝________．
解析：由题可设＋1＝t，∴x＝(t－1)2，t≥1，
∴f(t)＝(t－1)2＋3，∴f(x)＝(x－1)2＋3(x≥1)．
答案：(x－1)2＋3(x≥1)
15．定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)的图像关于x＝0对称，则f(－1)与f(3)的大小关系是________．
解析：由于函数f(x＋2)的图像关于x＝0对称，所以函数f(x)的图像关于x＝2对称，所以f(3)＝f(1)．又f(x)在(－∞，2)上是增函数，且－1＜1，所以f(－1)＜f(1)，即f(－1)＜f(3)．
答案：f(－1)＜f(3)
16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，则f(a)与f(b)的大小关系为________；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，则实数m的取值范围为________．
解析：(1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．
答案：(1)f(a)>f(b) (2)(－∞，4]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，其定义域是{x|x≠0，x∈R}，关于原点对称，
又∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)．∴此函数是奇函数．
18．(本小题满分12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式；
(2)若f(x)＝，求实数x的值．
解：(1)根据图像可知f(4)＝0，则f(f(4))＝f(0)＝1.
设线段对应的方程为y＝kx＋b(－1≤x≤0)．
将点(0，1)和点(－1，0)代入可得b＝1，k＝1，即y＝x＋1(－1≤x≤0)．
当x>0时，设y＝ax2＋bx＋c.
因为图像过点(0，0)，(4，0)，(2，－1)，代入可得y＝x2－x.
所以f(x)＝
(2)当x＋1＝时，x＝－，符合题意；
当x2－x＝时，解得x＝2＋或x＝2－(舍去)．
故x的值为－或2＋.
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解：(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1，由f(x)≥0恒成立，知a>0且Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，
∴a＝1，从而f(x)＝x2＋2x＋1，
∴F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，
∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1.
∵g(x)在[－2，2]上是单调函数，∴－≤－2或－≥2，解得k≤－2或k≥6.即实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)，函数f(x)是偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，而f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x2＋.
任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x1)))－eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x2)))＝(x1＋x2)(x1－x2)＋＝(x1－x2)，
由于x1≥2，x2≥2，且x1，∴f(x1)21．(本小题满分12分)2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2
500万元，每生产x百辆新能源汽车需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，每辆车的售价为5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．(注：利润＝销售额－成本)
(1)求2020年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)当2020年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
解：(1)当0＜x＜40时，L(x)＝5×100x－10x2－100x－2
500＝－10x2＋400x－2
500；
当x≥40时，L(x)＝5×100x－501x－＋4
500－2
500＝2
000－，
所以L(x)＝
(2)当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1
500，
所以L(x)max＝L(20)＝1
500；
当x≥40时，L(x)＝2
000－≤2
000－2
＝2
000－200＝1
800，
当且仅当x＝，即x＝100时等号成立，
故L(x)max＝L(100)＝1
800＞1
500，
所以当2020年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1
800万元．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋mx＋m－1(a≠0)．
(1)若f(－1)＝0，判断函数f(x)的零点个数；
(2)若对任意实数m，函数f(x)恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；
(3)已知x1，x2∈R且x1解：(1)∵f(－1)＝0，∴a－m＋m－1＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x2＋mx＋m－1.
Δ＝m2－4(m－1)＝(m－2)2.
当m＝2时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点；
当m≠2时，Δ>0，函数f(x)有两个零点．
(2)已知a≠0，则Δ1＝m2－4a(m－1)>0对于m∈R恒成立，即m2－4am＋4a>0恒成立，
∴Δ2＝16a2－16a<0，解得0即实数a的取值范围为(0，1)．
(3)证明：设g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，
则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x1)－f(x2)]，
g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x2)－f(x1)]．
∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2<0，
∴g(x)＝0在区间(x1，x2)上有实数根．
即方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]在区间(x1，x2)上有实数根．函
数
章末检测 2
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝x＋1
B．y＝－x2
C．y＝
D．y＝x|x|
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x2＋x－2，则f(0)＋f(1)＝( )
A．1
B．3
C．－3
D．－1
3．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内( )
A．至少有一个实根
B．至多有一个实根
C．没有实根
D．有唯一实根
4．函数f(x)＝|x－1|与g(x)＝x(x－2)的单调递增区间分别为( )
A．[1，＋∞)，[1，＋∞)
B．(－∞，1]，(1，＋∞)
C．(1，＋∞)，(－∞，1]
D．(－∞，＋∞)，[1，＋∞)
5.已知函数y＝kx＋b(k≠0)的图像如图所示，则一元二次方程x2＋x＋k－1＝0的根的情况是( )
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
6．已知函数f(x)＝x3＋(a＞0)的最小值为8，则实数a＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
7．直角梯形OABC被直线x＝t截得的左边的面积S＝f(t)的图像大致是( )
8．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则函数f(x)的值域为( )
A．[－6，－2]∪(2，＋∞)
B．[－6，－2]∪(8，＋∞)
C．[－6，＋∞)
D．(2，＋∞)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．关于函数f(x)＝的结论正确的是( )
A．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞)
B．单调增区间是(－∞，1]
C．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2]
D．单调增区间是[－1，1]
10．已知狄利克雷函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的值域为[0，1]
B．f(x)定义域为R
C．f(x＋1)＝f(x)
D．f(x)是奇函数
11．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2
km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y
km与时间x
min的关系，下列结论正确的是( )
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60
min
B．甲从家到公园的时间是30
min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
12．已知定义域为R的函数f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，则( )
A．f(－2)>f(3)
B．f(－2)>f(5)
C．f(－3)>f(5)
D．f(－3)>f(6)
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点为，则f(1)＝________．
14．f(＋1)＝x＋3，则f(x)＝________．
15．定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)的图像关于x＝0对称，则f(－1)与f(3)的大小关系是________．
16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，则f(a)与f(b)的大小关系为________；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，则实数m的取值范围为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
18．(本小题满分12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式；
(2)若f(x)＝，求实数x的值．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．
21．(本小题满分12分)2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2
500万元，每生产x百辆新能源汽车需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，每辆车的售价为5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．(注：利润＝销售额－成本)
(1)求2020年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)当2020年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋mx＋m－1(a≠0)．
(1)若f(－1)＝0，判断函数f(x)的零点个数；
(2)若对任意实数m，函数f(x)恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；
(3)已知x1，x2∈R且x1