(共24张PPT)
28.2.2应用举例(一)
人教版
九年级下册
回顾旧知
在直角三角形中，除直角外，由已知两元素
(必有一边)
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1.
解直角三角形
(1)
三边之间的关系：
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2.
解直角三角形的依据
(2)
两锐角之间的关系：
∠A＋∠B＝
90?；
(3)
边角之间的关系：
tanA＝
sinA＝
a
c
cosA＝
Ａ
Ｃ
Ｂ
a
b
c
b
c
a
b
情景导入
我们平时观察物体时，视线相对于水平线来说有哪几种情况？
三种：重叠、向上和向下．
今天我们就来学习与圆和俯角、仰角有关的解直角三角形问题.
典例精析
例1
2012
年
6
月
18
日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343
km
的圆形轨道上运行，如图.
当组合体运行到地球表面
P
点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与
P
点的距离是多少(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)？
思考
在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．
典例精析
解：在图中，FQ
是⊙O
的切线，△FOQ
是直角三角形．
∵ cosα
==
≈
0.9491
∴ α≈18.36°．
∴的长为
当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.
探究新知
【讨论】从前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？
【方法点拨】
一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．
归纳总结
注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.
解直角三角形的应用：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；
(3)得到数学问题答案；
(4)得到实际问题答案.
练一练
如图是一个匀速旋转的摩天轮示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80m，最低点C离地面6m，旋转一周所用的时间为6min，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问：经过2min后，小明离地面的高度是多少米？
练一练
解：过E作EG垂直于CO的延长线于点G，∠COE=×360°=120°，∴∠GOE=60°.
∴OG=OE·cos∠GOE=20（m）
∴小明离地面的高度是OG+OC+CD=20+40+6=66（m）.
探究新知
思考
你能概括出仰角、俯角的概念吗？
归纳小结
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．
典例精析
例2
热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为
60°，热气球与楼的水平距离为120
m，这栋楼有多高（结果取整数）？
（1）从热气球看一栋楼顶部的仰角为
30°→
α=30°．
（2）从热气球看一栋楼底部的俯角为
60°→
β=60°．
（3）热气球与高楼的水平距离为120
m→
AD=120
m，AD⊥BC．
典例精析
解：如图，α=30°，β=60°，AD=120．
∵ tanα=，tanβ=．
∴ BD=AD·tanα=120×tan
30°
=120×，
CD=AD·tanβ=120×tan
60°
=120×=．
∴ BC=BD+CD=+．
=≈277（m）．
因此，这栋楼高约为277m.
练一练
如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5
m.那么该塔有多高?(结果精确到1
m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?
D′
A
B′
B
D
C′
C
练一练
解：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，
D′C′=50m.
∴
∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m
，设AB′=x
m.
∵tan∠D’AB’=∠C’AB’=
D′
A
B′
B
D
C′
C
课堂练习
1.如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为(
)
B
D
C
A
A.
100米
B.
50米
C.
米
D.
50米
B
课堂练习
2.数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：
从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，
AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两棵
树距离的有(
)
A.
0组
B.
1组
C.
2组
D.
3组
D
课堂练习
3.如图，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=30m，拱形的半径R=30m，则拱形的弧长等于
m.
20π
4.
如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为
m(结果用带根号的数的形式表示).
课堂练习
5.某校课外活动小组在距离湖面7
m高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P′的俯角为53°（P′为P关于湖面的对称点）．请你算出这个热气球P距湖面的高度PC约为多少米？
解：设过点A的水平线交PP′于点D，则DC=AB=7，设AD=x.
则PD=AD·tan37°≈x.P′D=AD·tan53°≈x.
∵P′、P关于直线BC对称，
∴PC=P′C.即PD+DC=P′D-DC.
板书设计
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1.
将实际问题抽象为数学问题；
2.
根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3.
得到数学问题的答案；
4.
得到实际问题的答案.
作业布置
1.课后练习题1,2题；
2.完成练习册本课时的习题。
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28.2.2应用举例(一)教学设计
课题
应用举例(一)
单元
28
学科
数学
年级
九
学习
目标
【知识与技能】
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，并利用解直角三角形方法来解决问题.
【过程与方法】
将实际问题转化为解直角三角形问题过程中，培养学生的转化能力，增强分析问题和解决问题的能力.
【情感态度】
进一步增强学生数学应用意识，感知数学来源于生活又服务于生活的辩证关系.
重点
学会将实际问题转化为解直角三角形问题，并能综合运用所学知识来解决这些应用问题.
难点
将实际问题抽象为数学模型.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
回顾旧知
1.
解直角三角形
2.
解直角三角形的依据
提问：
我们平时观察物体时，视线相对于水平线来说有哪几种情况？
学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论
帮助学生获取
正确认知.
讲授新课
例1
2012年6月i8日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343
km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面犘点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）？
在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．
分析与解
从组合体上能直接看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点.如图，⊙O表示地球，点F表示组合体的位置FQ是⊙O的切线，则Q点是从组合体上观测地球时的最远点，的长就是地球上两点P、Q之间的距离，这时可利用
得到α≈18.36°，故的长为，而观测到的最远点与P点的距离约为2051km.需引起学生注意的是，P、Q两点的距离指的长度而不是线段PQ的长.
解直角三角形的应用：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；
(3)得到数学问题答案；
(4)得到实际问题答案.
学生自主探究，得出结论
教师可分别参与讨论，帮助学生获取正确认知.
典例精析
例2
热气球的探测器显示，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数）
先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法.
能用所学知识解决问题，也可增强学生的学习兴趣。
课堂练习
1.如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为(
)
A.
100米
B.
50米
C.
米
D.
50米
2.数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，
AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两棵树距离的有(
)
A.
0组
B.
1组
C.
2组
D.
3组
3.如图，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=30m，拱形的半径R=30m，则拱形的弧长等于
m.
4.
如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为
m(结果用带根号的数的形式表示).
5.某校课外活动小组在距离湖面7
m高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P′的俯角为53°（P′为P关于湖面的对称点）．请你算出这个热气球P距湖面的高度PC约为多少米？
学生自主完成习题，老师订正
让学生巩固已学知识，加深对知识的理解与运用.
课堂小结
1.知识回顾.
2.谈谈这节课你有哪些收获？
教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识
让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1.
将实际问题抽象为数学问题；
2.
根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
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精品试卷·第
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