2021年新教材高中数学 4.3.2 对数的运算练习 （word含解析）

对数的运算
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．＝(　　)
A．　
B．2　　　
C．　
D．
2．已知3a＝2，则log38－2log36＝(　　)
A．a－2
B．5a－2
C．3a－(1＋a)2
D．3a－a2－1
3．若lg
x－lg
y＝a，则lg3－lg3等于(　　)
A．3a
B．a
C．a
D．
4．(多选)若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(　　)
A．logax2＝2logax
B．logax2＝2loga|x|
C．loga(xy)＝logax＋logay
D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|
5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)
A．
B．10
C．20
D．100
二、填空题
6．lg
＋lg
＝________.
7．若logab·log3a＝4，则b＝________.
8．计算：log2·log3·log5＝________.
三、解答题
9．用lg
x，lg
y，lg
z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg.
10．计算：
(1)；
(2)lg
－lg
＋lg
－log92·log43.
提升练
1．已知2lg(x－2y)＝lg
x＋lg
y，则的值为(　　)
A．1
B．4
C．1或4
D．或4
2．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)
A．ab＋bc＝2ac
B．ab＋bc＝ac
C．＝＋
D．＝－
3．已知a2＝(a>0)，则a＝________.
4．已知函数f(x)＝aln
x＋blg
x＋2，且f＝4，则f(2
021)＝__________.
拓展
甲、乙两人解关于x的方程log2x＋b＋clogx2＝0，甲写错了常数b，得到根，；乙写错了常数c，得到根，64.求原方程的根．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．＝(　　)
A．　
B．2　　　
C．　
D．
B　[原式＝log39＝log332＝2log33＝2.]
2．已知3a＝2，则log38－2log36＝(　　)
A．a－2
B．5a－2
C．3a－(1＋a)2
D．3a－a2－1
A　[∵3a＝2，∴a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.]
3．若lg
x－lg
y＝a，则lg3－lg3等于(　　)
A．3a
B．a
C．a
D．
A　[∵lg
x－lg
y＝a，∴lg
3－lg
3＝3lg
－3lg
＝3lg
x－3lg
y＝3a.]
4．(多选)若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(　　)
A．logax2＝2logax
B．logax2＝2loga|x|
C．loga(xy)＝logax＋logay
D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|
AC　[∵xy>0，∴A中，若x<0，则不成立；C中，若x<0，y<0也不成立，故选AC.]
5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)
A．
B．10
C．20
D．100
A　[∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.又∵m＞0，∴m＝.故选A.]
二、填空题
6．lg
＋lg
＝________.
1　[lg
＋lg
＝lg
＝lg
10＝1.]
7．若logab·log3a＝4，则b＝________.
81　[∵logab·log3a＝4，∴·＝4，即lg
b＝4lg
3＝lg
34，∴b＝34＝81.]
8．计算：log2·log3·log5＝________.
－12　[原式＝··＝＝－12.]
三、解答题
9．用lg
x，lg
y，lg
z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg.
[解]　(1)lg(xyz)＝lg
x＋lg
y＋lg
z.
(2)lg＝lg(xy2)－lg
z＝lg
x＋2lg
y－lg
z.
(3)lg
＝lg
(xy3)－lg
＝lg
x＋3lg
y－lg
z.
(4)lg
＝lg
－lg
(y2z)
＝lg
x－2lg
y－lg
z.
10．计算：
(1)；
(2)lg
－lg
＋lg
－log92·log43.
[解]　(1)原式＝＝＝1.
(2)法一：原式＝lg
＋lg
－×
＝lg－×
＝lg
1－＝－.
法二：原式＝(lg
1－lg
2)－(lg
5－lg
8)＋(lg
5－lg
4)－×＝－lg
2＋lg
8－lg
4－×＝－(lg
2＋lg
4)＋lg
8－＝－lg(2×4)＋lg
8－＝－.
提升练
1．已知2lg(x－2y)＝lg
x＋lg
y，则的值为(　　)
A．1
B．4
C．1或4
D．或4
B　[由对数的运算性质可得，lg(x－2y)2＝lg(xy)，
所以(x－2y)2＝xy，即x2－5xy＋4y2＝0，
所以(x－y)(x－4y)＝0，
所以＝1或＝4，
又x－2y>0，x>0，y>0，所以>2，所以＝4.]
2．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)
A．ab＋bc＝2ac
B．ab＋bc＝ac
C．＝＋
D．＝－
AD　[由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>0)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，
对于选项A，由ab＋bc＝2ac，可得＋＝2，因为＋＝＋＝＋＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误；
对于选项C，＋＝＋＝2logk4＋logk6＝logk96，＝＝2logk9＝logk81，故≠＋，即C错误；
对于选项D，－＝－＝2logk6－logk4＝logk9，＝＝logk9，故＝－，即D正确．]
3．已知a2＝(a>0)，则a＝________.
2　[由a2＝(a>0)得a＝，所以＝2＝2.]
4．已知函数f(x)＝aln
x＋blg
x＋2，且f＝4，则f(2
021)＝__________.
0　[∵f
＝aln
＋blg
＋2
＝－aln
2
021－blg
2
021＋2＝4，
∴aln
2
021＋blg
2
021＝－2.
f(2
021)＝aln
2
021＋blg
2
021＋2
＝－2＋2＝0.]
拓展
甲、乙两人解关于x的方程log2x＋b＋clogx2＝0，甲写错了常数b，得到根，；乙写错了常数c，得到根，64.求原方程的根．
[解]　原方程可变形为(log2x)2＋blog2x＋c＝0，
∵甲写错了常数b，得到的根为和，
∴c＝log2×log2＝6.
∵乙写错了常数c，得到的根为和64，
∴b＝－＝－(－1＋6)＝－5.
故原方程等价为(log2x)2－5log2x＋6＝0，
即(log2x－2)(log2x－3)＝0，
∴log2x＝2或log2x＝3，即x＝4或x＝8.