2021年新教材高中数学 4.4.1 对数函数的概念练习 （word含解析）

对数函数的概念
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．(多选)下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝x2　　　 B．y＝x
C．y＝log(x＋1)x D．y＝logπx
2．设函数f(x)＝则f(f(10))的值为(　　)
A．lg 101　 B．1　　　
C．2　 D．0
3．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
4．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
5．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物引入一年后的数量为180只，则15年后它们发展到(　　)
A．300只 B．400只
C．600只 D．720只
二、填空题
6．函数y＝(3x－a)的定义域是，则a＝________.
7．已知函数f(x)＝log3x，则f＋f(15)＝________.
8．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，则f(27)＝________.
三、解答题
9．若函数y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
10．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
提升练
1．与函数y＝10lg(x－1)是同一个函数的是(　　)
A．y＝2 B．y＝|x－1|
C．y＝x－1 D．y＝
2．(多选)设集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中正确的是(　　)
A．A∪B＝B B．B?A
C．A∩B＝A D．A∩B＝B
3．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 020)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________．
4．若函数f(x)＝loga(x－1)＋8(a>0且a≠1)的图象过点M(2，m)，则m＝________.当幂函数g(x)的图象过M点时，g(x)的解析式为________．
拓展
设函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋a)的定义域为M.
(1)若1?M,2∈M，求实数a的取值范围；
(2)若M＝R，求实数a的取值范围．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．(多选)下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝x2　　　 B．y＝x
C．y＝log(x＋1)x D．y＝logπx
BD　[BD是对数函数．]
2．设函数f(x)＝则f(f(10))的值为(　　)
A．lg 101　 B．1　　　
C．2　 D．0
C　[f(f(10))＝f(lg 10)＝f(1)＝12＋1＝2.]
3．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
C　[要使函数有意义，则解得x＞2且x≠3，故选C.]
4．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
C　[∵对数运算律中有logaM＋logaN＝loga(MN)，
∴f(x)＝log2x满足题目要求．]
5．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物引入一年后的数量为180只，则15年后它们发展到(　　)
A．300只 B．400只
C．600只 D．720只
D　[由题意可知alog2(1＋1)＝180，∴a＝180，∴y＝180log2(x＋1)，
∴当x＝15时，y＝180log2(15＋1)＝180log216＝180×4＝720.故选D.]
二、填空题
6．函数y＝(3x－a)的定义域是，则a＝________.
2　[由题意可知3x－a>0，即x>，
∴函数y＝(3x－a)的定义域是，
由题知函数y＝(3x－a)的定义域为，
∴＝，∴a＝2.]
7．已知函数f(x)＝log3x，则f＋f(15)＝________.
3　[f ＋f(15)＝log3＋log315＝log327＝3.]
8．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，则f(27)＝________.
3　[∵f(x)是对数函数，∴
解得m＝2.
∴f(x)＝log3x，∴f(27)＝log327＝3.]
三、解答题
9．若函数y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
[解]　(1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，
所以函数的定义域为{x|x>－2}．
10．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
[解]　(1)M＝lg A－lg A0＝lg ＝lg
＝lg 104＝4，
即这次地震的震级为4.
(2)由题意得：
∴lg A8－lg A5＝3，
即lg ＝3，∴＝103＝1 000，
即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍．
提升练
1．与函数y＝10lg(x－1)是同一个函数的是(　　)
A．y＝2 B．y＝|x－1|
C．y＝x－1 D．y＝
A　[y＝10lg(x－1)＝x－1(x＞1)，而y＝2＝x－1(x＞1)，故选A.]
2．(多选)设集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中正确的是(　　)
A．A∪B＝B B．B?A
C．A∩B＝A D．A∩B＝B
AC　[由题意可知A＝(0，＋∞)，B＝R，∴A?B，即A∪B＝B，A∩B＝A，故选AC.]
3．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 020)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________．
16　[∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2x3…x2 020)2
＝2loga(x1x2x3…x2 020)＝2×8＝16.]
4．若函数f(x)＝loga(x－1)＋8(a>0且a≠1)的图象过点M(2，m)，则m＝________.当幂函数g(x)的图象过M点时，g(x)的解析式为________．
8　g(x)＝x3　[由题意可知m＝loga(2－1)＋8＝8，∴M(2,8)．
设g(x)＝xα，则g(2)＝2α＝8，∴α＝3.
∴g(x)＝x3.]
拓展
设函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋a)的定义域为M.
(1)若1?M,2∈M，求实数a的取值范围；
(2)若M＝R，求实数a的取值范围．
[解]　(1)由题意M＝{x|ax2＋2x＋a>0}．
由1?M,2∈M可得
化简得解得－所以a的取值范围为.
(2)由M＝R可得ax2＋2x＋a>0恒成立．
当a＝0时，不等式可化为2x>0，解得x>0，显然不合题意；
当a≠0时，由二次函数的图象可知Δ＝22－4×a×a<0，且a>0，即化简得解得a>1.
所以a的取值范围为(1，＋∞).