2021年新教材高中数学 4.4.2对数函数的图象和性质练习 （word含解析）

对数函数的图象和性质
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f
的值为(　　)
A．－log23
B．－log32
C．
D．
2．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是(　　)
A．(0,5)
B．(1,4)
C．(2,4)
D．(2,5)
3．函数f(x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．函数f(x)＝|x|的单调递增区间是(　　)
A．
B．(0,1]
C．(0，＋∞)
D．[1，＋∞)
5．已知loga>logb>0，则下列关系正确的是(　　)
A．0B．0C．1D．1二、填空题
6．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
7．若loga<1，则a的取值范围是________．
8．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.
三、解答题
9．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)10．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式loga(3x＋1)(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．
提升练
1．已知lg
a＋lg
b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是
(　　)
　　
A　
　　B　
　
　C　　　　D
2．(多选)已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)图象经过点(4,2)，则下列命题正确的有(　　)
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若x>1，则f(x)>0
D．若03．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则a，b，c的大小关系为________．
a>c>b　[∵a＝＝2log43.6＝log43.62，又函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上是增函数，3.62>3.6>3.2，
∴log43.62>log43.6>log43.2.∴a>c>b.]
4．已知函数f(x)＝f(f(－1))＝________；若直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
拓展
若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f
的值为(　　)
A．－log23
B．－log32
C．
D．
B　[由题意可知f(x)＝log3x，
所以f
＝log3＝－log32，故选B.]
2．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是(　　)
A．(0,5)
B．(1,4)
C．(2,4)
D．(2,5)
C　[令x－1＝1，即x＝2，则f(x)＝4.即函数图象恒过定点Q(2,4)．故选C.]
3．函数f(x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A　[∵f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如图所示，故选A.
]
4．函数f(x)＝|x|的单调递增区间是(　　)
A．
B．(0,1]
C．(0，＋∞)
D．[1，＋∞)
D　[f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
]
5．已知loga>logb>0，则下列关系正确的是(　　)
A．0B．0C．1D．1A　[由loga>0，logb>0，可知a，b∈(0,1)，
又loga>logb，作出图象如图所示，
结合图象易知a>b，∴0]
二、填空题
6．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
(1,2)　[由题意可知或
解得1∴实数a的取值范围是(1,2)．]
7．若loga<1，则a的取值范围是________．
∪(1，＋∞)　[原不等式等价于或
解得01，
故a的取值范围为∪(1，＋∞)．]
8．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.
4　[由题意可知f(x)＝logax在[a,2a]上单调递增，
∴f(x)max－f(x)min＝loga2a－logaa＝，
∴loga2＝，∴a＝2，∴a＝4.]
三、解答题
9．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)[解]　(1)作出函数f(x)＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，
即log3x＝log32，解得x＝2.
由图象知：
当0所以所求a的取值范围为010．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式loga(3x＋1)(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．
[解]　(1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0,1)．
(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)∴
即解得即不等式的解集为.
(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝＝5，解得a＝.
提升练
1．已知lg
a＋lg
b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是
(　　)
　　
A　
　　B　
　
　C　　　　D
B　[由lg
a＋lg
b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.
又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．]
2．(多选)已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)图象经过点(4,2)，则下列命题正确的有(　　)
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若x>1，则f(x)>0
D．若0ACD　[由题知2＝loga4，a＝2，故f(x)＝log2x.
函数为增函数，故A正确；
f(x)＝log2x不为偶函数，故B错误；
当x>1时，f(x)＝log2x>log21＝0成立，故C正确；
因为f(x)＝log2x往上凸，故若0则成立，故D正确．]
3．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则a，b，c的大小关系为________．
a>c>b　[∵a＝＝2log43.6＝log43.62，又函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上是增函数，3.62>3.6>3.2，
∴log43.62>log43.6>log43.2.∴a>c>b.]
4．已知函数f(x)＝f(f(－1))＝________；若直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
－1　(0,1]　[∵f(－1)＝3－1＝，∴f(f(－1))＝f
＝log3＝－1.
函数f(x)的图象如图所示，要使直线y＝a与f(x)的图象有两个不同的交点，则0]
拓展
若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　由x2－logmx<0，得x2要使x2∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm≥＝logmm，∴≤m，即≤m.
又0即实数m的取值范围是.