2021年新教材高中数学 4.5.1 函数的零点与方程的解练习 （word含解析）

函数的零点与方程的解
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
－5
2
8
12
－5
－10
则函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有(　　)
A．1个　
B．2个　　　
C．3个　
D．4个
2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)
A．(1，＋∞)
B．
C．
D．
3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A．，0
B．－2,0
C．
D．0
4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点(　　)
A．至多有一个
B．有一个或两个
C．有且仅有一个
D．一个也没有
5．若aA．(b，c)和(c，＋∞)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(a，b)和(b，c)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
二、填空题
6．函数f(x)＝的零点是________．
7．设x0是方程ln
x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
8．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2－2x(x≥0)，则函数f(x)的零点有________个．
三、解答题
9．判断函数f(x)＝ln
x＋x2－3的零点的个数．
10．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．
提升练
1．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是(　　)
A．a>0
B．a≤0
C．a≥0
D．a<0
2．函数f(x)＝|x2－4x|－a恰好有四个不同零点，则a的值可以是(　　)
A．a>4
B．4
C．0D．0
3．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．
4．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的零点为________；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，则b的取值范围为_______．
拓展
关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时：
(1)方程有一个正解和一个负解；
(2)方程的两个解都大于1.
参考答案：
基础练
一、选择题
1．若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
－5
2
8
12
－5
－10
则函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有(　　)
A．1个　
B．2个　　　
C．3个　
D．4个
B　[结合题意可知f(1)·f(2)<0，f(4)·f(5)<0，故f(x)在[1,6]上至少有2个零点．]
2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)
A．(1，＋∞)
B．
C．
D．
B　[由f(x)＝2x－，得
f
＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，
∴f
·f(1)<0.
∴零点所在区间为.]
3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A．，0
B．－2,0
C．
D．0
D　[当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D.]
4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点(　　)
A．至多有一个
B．有一个或两个
C．有且仅有一个
D．一个也没有
C　[若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．]
5．若aA．(b，c)和(c，＋∞)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(a，b)和(b，c)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
C　[∵a∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，
f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
∴f(x)的零点分别位于(a，b)和(b，c)内．]
二、填空题
6．函数f(x)＝的零点是________．
1　[令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln
x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.]
7．设x0是方程ln
x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
2　[令f(x)＝ln
x＋x－4，
且f(x)在(0，＋∞)上递增，
∵f(2)＝ln
2＋2－4<0，f(3)＝ln
3－1>0，
∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.]
8．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2－2x(x≥0)，则函数f(x)的零点有________个．
3　[当x≥0时，由f(x)＝0得x＝0或x＝2；
又f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝0.
故f(x)在R上的零点有3个．]
三、解答题
9．判断函数f(x)＝ln
x＋x2－3的零点的个数．
[解]　法一(图象法)：函数对应的方程为ln
x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln
x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln
x的图象只有一个交点，从而ln
x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln
x＋x2－3有一个零点．
法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln
1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln
2＋22－3＝ln
2＋1>0，
∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln
x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
10．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．
[解]　(1)－1和－3是函数f(x)的两个零点，故－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根．
则
解得k＝－2.
(2)函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根．
∴
则－4≤k≤－，且α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k2－10k－6在－4≤k≤－上单调递减，∴α2＋β2在区间上的最大值是18，最小值是.
提升练
1．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是(　　)
A．a>0
B．a≤0
C．a≥0
D．a<0
B　[由题意可知方程x2＋a＝0有解，∴a≤0，故选B.]
2．函数f(x)＝|x2－4x|－a恰好有四个不同零点，则a的值可以是(　　)
A．a>4
B．4
C．0D．0
C　[由|x2－4x|－a＝0得
得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.]
3．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．
a＜b＜c　[画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.]
4．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的零点为________；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，则b的取值范围为_______．
(1)1和3　(2)(4，＋∞)　[(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．]
拓展
关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时：
(1)方程有一个正解和一个负解；
(2)方程的两个解都大于1.
[解]　令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1.
(1)当方程有一个正解和一个负解时，f(x)对应的草图可能如图①，②所示．
　　　　　
　图①　　　　　　　　图②
因此f(x)＝0有一个正解和一个负解等价于或解得0所以当0(2)当方程的两个解都大于1时，f(x)对应的草图可能如图③，④所示．
　　　　
　　图③　　　　　　　图④
因此f(x)＝0的两个解都大于1等价于或解得a∈?.
所以不存在实数a使方程的两个解都大于1