2021年新教材高中数学 4.5.2 用二分法求方程的近似解练习 （word含解析）

用二分法求方程的近似解
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．下面关于二分法的叙述中，正确的是(　　)
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
2．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为(　　)
A．(1.25,1.5)　
B．(1,1.25)
C．(1.5,2)
D．不能确定
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437
5)≈0.162
f(1.406
25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是(　　)
A．1.25　
B．1.375　　　
C．1.42　
D．1.5
4．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)
A．(0,1)
B．(0,2)
C．(2,3)
D．(2,4)
5．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．[1,4]
B．[－2,1]
C．
D．
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
7．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687
5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)
8．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．
三、解答题
9．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079
4
0.191
8
－0.360
4
－0.998
9
由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．
10．已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1)．
参考数值：
x
1.187
5
1.125
1.25
1.312
5
1.375
1.5
2x
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83
提升练
1．(多选)下列函数中能用二分法求零点近似值的是(　　)
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝ln
x
2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　　)
A．0.68
B．0.72
C．0.7
D．0.6
3．已知函数f(x)＝ln(x＋2)＋2x－m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如表：
x
0
0.5
0.531
25
0.562
5
0.625
0.75
1
f(x)
－1.307
－0.084
－0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
由二分法，方程ln(x＋2)＋2x－m＝0的近似解(精确度0.05)可能是(　　)
A．0.625
B．－0.009
C．0.562
5
D．0.066
4．某同学在借助计算器求“方程lg
x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg
x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8，那么他再取的x的4个值依次是________．
拓展
已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．下面关于二分法的叙述中，正确的是(　　)
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
B　[用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故选项D错误，故选B.]
2．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为(　　)
A．(1.25,1.5)　
B．(1,1.25)
C．(1.5,2)
D．不能确定
A　[由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．]
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437
5)≈0.162
f(1.406
25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是(　　)
A．1.25　
B．1.375　　　
C．1.42　
D．1.5
C　[由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406
25,1.437
5)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.]
4．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)
A．(0,1)
B．(0,2)
C．(2,3)
D．(2,4)
B　[因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，
f(4)＝24＋12－7>0，
f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．]
5．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．[1,4]
B．[－2,1]
C．
D．
D　[∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
－1.625　[由题意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625.]
7．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687
5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)
0.687
5(答案不唯一)　[∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687
5)<0，
∴方程的解在(0.687
5,0.75)上，而|0.75－0.687
5|<0.1，
∴方程的一个近似解为0.687
5.]
8．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．
6　[第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，第3次取中点把焊点数减半为＝8，第4次取中点把焊点数减半为＝4，第5次取中点把焊点数减半为＝2，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6.]
三、解答题
9．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079
4
0.191
8
－0.360
4
－0.998
9
由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．
[解]　因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312
5，两个区间(1.25,1.312
5)和(1.312
5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062
5<0.1，因此1.312
5是一个近似解．
10．已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1)．
参考数值：
x
1.187
5
1.125
1.25
1.312
5
1.375
1.5
2x
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83
[解]　(1)令f(x)＝2x＋2x－5.
因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．
因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，
f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5的零点在(1,2)内．
(2)用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值符号
(1,2)
1.5
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25,1.375)
1.312
5
f(1.312
5)>0
(1.25,1.312
5)
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.312
5－1.25|＝0.062
5<0.1，所以函数的零点近似值为1.312
5，
即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312
5.
提升练
1．(多选)下列函数中能用二分法求零点近似值的是(　　)
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝ln
x
ABD　[对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．其余选项均可，故选ABD.]
2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　　)
A．0.68
B．0.72
C．0.7
D．0.6
C　[已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．]
3．已知函数f(x)＝ln(x＋2)＋2x－m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如表：
x
0
0.5
0.531
25
0.562
5
0.625
0.75
1
f(x)
－1.307
－0.084
－0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
由二分法，方程ln(x＋2)＋2x－m＝0的近似解(精确度0.05)可能是(　　)
A．0.625
B．－0.009
C．0.562
5
D．0.066
C　[设近似根为x0，函数f(x)＝ln(x＋2)＋2x－m在区间(－2，＋∞)递增，
因为f(0.531
25)<0，f(0.562
5)>0，所以x0∈(0.531
25,0.562
5)，因为0.562
5－0.531
25＝0.031
25<0.05，所以方程的近似解可取为0.562
5，故选C.]
4．某同学在借助计算器求“方程lg
x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg
x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8，那么他再取的x的4个值依次是________．
1.5,1.75,1.875,1.812
5　[第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812
5)．]
拓展
已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．
[证明]　∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，
则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在区间[0,1]内选取二等分点，
则f
＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根.