2021年新教材高中数学 4.2 指数函数练习 (word含解析)(2份打包)

文档属性

名称 2021年新教材高中数学 4.2 指数函数练习 (word含解析)(2份打包)
格式 zip
文件大小 115.8KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-09-18 19:24:18

文档简介

指数函数的概念、图象和性质
(建议用时:40分钟)
基础练
一、选择题
1.若函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数,则a的值是(  )
A.4  
B.1或3   
C.3  
D.1
2.函数f(x)=πx与g(x)=x的图象关于(  )
A.原点对称
B.x轴对称
C.y轴对称
D.直线y=-x对称
3.指数函数y=f(x)的图象经过点,那么f(4)f(2)等于(  )
A.8
B.16
C.32
D.64
4.已知函数f(x)=若f[f(-1)]=4,则a=(  )
A.
B.
C.1
D.2
5.我国2020年底的人口总数为M,人口的年平均自然增长率为p,到2030年底我国人口总数是(  )
A.M(1+p)8
B.M(1+p)9
C.M(1+p)10
D.M(1+p)11
二、填空题
6.函数f(x)=2·ax-1+1的图象恒过定点________.
7.某农场今年计划种甘蔗100
hm2,以后每年比前一年多种20%,那么从今年算起,第四年应种甘蔗________hm2.
8.某品牌笔记本电脑的成本不断降低,若每隔4年价格就降低,则现在价格为8
100元的笔记本电脑,12年后的价格将降为________元.
三、解答题
9.人工放射性核素碘-131可发射β射线治疗甲亢,已知该物质的半衰期为8天,即一定质量的碘-131经过8天之后剩留原来质量的一半.设质量为a的碘-131经过x天后剩留的质量为y,试写出y关于x的函数解析式.
10.设f(x)=3x,g(x)=x.
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的图象;
(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?
提升练
1.函数y=a-|x|(0A  
 
B    
C 
 
 D
2.(多选题)若a>1,-1A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.若方程|2x-1|=a有唯一实数解,则a的取值范围是________.
4.已知实数a,b满足等式a=b,给出下列五个关系式:①0拓展
已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的取值范围;
(2)若f(x)的图象如图②所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求m的范围.
参考答案:
基础练
一、选择题
1.若函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数,则a的值是(  )
A.4  
B.1或3   
C.3  
D.1
C [由题意得解得a=3,故选C.]
2.函数f(x)=πx与g(x)=x的图象关于(  )
A.原点对称
B.x轴对称
C.y轴对称
D.直线y=-x对称
C [设点(x,y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点,则点(-x,y)为g(x)=π-x=x的图象上的点.因为点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称,所以函数f(x)=πx与g(x)=x的图象关于y轴对称.]
3.指数函数y=f(x)的图象经过点,那么f(4)f(2)等于(  )
A.8
B.16
C.32
D.64
D [由指数函数y=f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点,可得a-2=,解得a=2,函数的解析式为y=2x,f(4)f(2)=24·22=64.]
4.已知函数f(x)=若f[f(-1)]=4,则a=(  )
A.
B.
C.1
D.2
D [由题得f[f(-1)]=f[2-(-1)]=f(2)=a2=4,又a>0,且a≠1,所以a=2,故选D.]
5.我国2020年底的人口总数为M,人口的年平均自然增长率为p,到2030年底我国人口总数是(  )
A.M(1+p)8
B.M(1+p)9
C.M(1+p)10
D.M(1+p)11
C [从2020到2030年一共增长了10次.]
二、填空题
6.函数f(x)=2·ax-1+1的图象恒过定点________.
(1,3) [令x-1=0,得x=1,f(1)=2×1+1=3,
所以f(x)的图象恒过定点(1,3).]
7.某农场今年计划种甘蔗100
hm2,以后每年比前一年多种20%,那么从今年算起,第四年应种甘蔗________hm2.
172.8 [因为今年计划种甘蔗100
hm2,以后每年比前一年多种20%,所以第二年种100(1+20%)hm2,
第三年种100(1+20%)2hm2,
第四年种100(1+20%)3=172.8hm2.]
8.某品牌笔记本电脑的成本不断降低,若每隔4年价格就降低,则现在价格为8
100元的笔记本电脑,12年后的价格将降为________元.
2
400 [12年后的价格可降为8
100×3=2
400元.]
三、解答题
9.人工放射性核素碘-131可发射β射线治疗甲亢,已知该物质的半衰期为8天,即一定质量的碘-131经过8天之后剩留原来质量的一半.设质量为a的碘-131经过x天后剩留的质量为y,试写出y关于x的函数解析式.
[解] 根据题意,物质的半衰期为8天,则每隔8天质量变为原来的一半,
则y=a,x∈N
.
10.设f(x)=3x,g(x)=x.
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的图象;
(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?
[解] (1)函数f(x),g(x)的图象如图所示:
(2)f(1)=31=3,g(-1)=-1=3,
f(π)=3π,g(-π)=-π=3π,
f(m)=3m,g(-m)=-m=3m.
从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,它们的图象关于y轴对称.
提升练
1.函数y=a-|x|(0A  
 
B    
C 
 
 D
A [y=a-|x|=|x|,易知函数为偶函数,∵01,故当x>0时,函数为增函数,当x<0时,函数为减函数,当x=0时,函数有最小值,最小值为1,且指数函数为凹函数,故选A.]
2.(多选题)若a>1,-1A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
ABC [∵a>1,且-1故函数y=ax+b的图象一定过第一、二、三象限.]
3.若方程|2x-1|=a有唯一实数解,则a的取值范围是________.
 [作出y=|2x-1|的图象,如图,要使直线y=a与图象的交点只有一个,所以a≥1或a=0.
]
4.已知实数a,b满足等式a=b,给出下列五个关系式:①0①②⑤ [作y=x与y=x的图象(图略).
当a=b=0时,a=b=1;
当a当a>b>0时,也可以使a=b.
故①②⑤都可能成立,不可能成立的关系式是③④.]
拓展
已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的取值范围;
(2)若f(x)的图象如图②所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求m的范围.
[解] (1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1),
又f(0)=1+b<0,所以b的取值范围为(-∞,-1).
(2)由图②可知,y=|f(x)|的图象如图所示.
由图象可知使|f(x)|=m有且仅有一解的m值为m=0或m≥3.指数函数的性质的应用
(建议用时:40分钟)
基础练
一、选择题
1.设a=40.9,b=80.48,c=-1.5,则(  )
A.c>a>b  
B.b>a>c
C.a>b>c
D.a>c>b
2.若2a+1<3-2a,则实数a的取值范围是(  )
A.(1,+∞)
B.
C.(-∞,1)
D.
3.若函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,则实数a的取值范围是(  )
A.
B.
C.∪(1,+∞)
D.
4.已知函数f(x)=3x-x,则f(x)(  )
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
5.函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是(  )
A.6  
B.1
C.3  
D.
二、填空题
6.已知a=,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系为________.
7.若函数f(x)=则函数f(x)的值域是________.
8.函数f(x)=1-x2的单调递增区间为________.
三、解答题
9.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)比较f(2)与f(b2+2)的大小;
(2)求函数g(x)=ax2-2x(x≥0)的值域.
10.已知f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2].
(1)设t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值与最小值;
(2)求f(x)的最大值与最小值.
提升练
1.(多选)若f(x)=3x+1,则(  )
A.f(x)在[-1,1]上单调递增
B.y=3x+1与y=x+1的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象过点(0,1)
D.f(x)的值域为[1,+∞)
2.(多选)关于函数f(x)=的说法中正确的是(  )
A.偶函数
B.奇函数
C.在(0,+∞)上是增函数
D.在(0,+∞)上是减函数
3.设函数y=,若函数在(-∞,1]上有意义,则实数a的取值范围是________.
拓展
已知函数f(x)=a-(x∈R).
(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在R上为增函数;
(2)是否存在实数a使f(x)为奇函数?证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.
参考答案:
基础练
一、选择题
1.设a=40.9,b=80.48,c=-1.5,则(  )
A.c>a>b  
B.b>a>c
C.a>b>c
D.a>c>b
D [a=40.9=21.8,b=80.48=21.44,c=-1.5=21.5,因为函数y=2x在R上是增函数,且1.8>1.5>1.44,所以21.8>21.5>21.44,即a>c>b.]
2.若2a+1<3-2a,则实数a的取值范围是(  )
A.(1,+∞)
B.
C.(-∞,1)
D.
B [∵函数y=x在R上为减函数,∴2a+1>3-2a,∴a>.]
3.若函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,则实数a的取值范围是(  )
A.
B.
C.∪(1,+∞)
D.
A [由于底数3∈(1,+∞),所以函数f(x)=3(2a-1)x+3的单调性与y=(2a-1)x+3的单调性相同.因为函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,所以y=(2a-1)x+3在R上是减函数,所以2a-1<0,即a<,从而实数a的取值范围是,故选A.]
4.已知函数f(x)=3x-x,则f(x)(  )
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
A [因为f(x)=3x-x,定义域为R,所以f(-x)=3-x--x=x-3x=-=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
又y=3x在R上是增函数,y=x在R上是减函数,所以f(x)=3x-x在R上是增函数.]
5.函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是(  )
A.6  
B.1
C.3  
D.
C [函数y=ax在[0,1]上是单调的,最大值与最小值都在端点处取到,故有a0+a1=3,解得a=2,因此函数y=2ax-1=4x-1在[0,1]上是单调递增函数,故x=1时,ymax=3.]
二、填空题
6.已知a=,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系为________.
mf(n),∴m7.若函数f(x)=则函数f(x)的值域是________.
(-1,0)∪(0,1) [由x<0,得0<2x<1;由x>0,
∴-x<0,0<2-x<1,
∴-1<-2-x<0.
∴函数f(x)的值域为(-1,0)∪(0,1).]
8.函数f(x)=1-x2的单调递增区间为________.
[0,+∞) [由于底数∈(0,1),所以函数f(x)=1-x2的单调性与y=1-x2的单调性相反,f(x)=1-x2的单调递增区间就是y=1-x2的单调递减区间.由y=1-x2的图象(图略)可知:当x≤0时,y=1-x2是增函数;当x≥0时,y=1-x2是减函数,所以函数f(x)=1-x2的单调递增区间为[0,+∞).]
三、解答题
9.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)比较f(2)与f(b2+2)的大小;
(2)求函数g(x)=ax2-2x(x≥0)的值域.
[解] (1)由已知得a2=,解得a=,因为f(x)=x在R上递减,2≤b2+2,所以f(2)≥f(b2+2).
(2)因为x≥0,所以x2-2x≥-1,所以x2-2x≤3,
即函数g(x)=ax2-2x(x≥0)的值域为(0,3].
10.已知f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2].
(1)设t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值与最小值;
(2)求f(x)的最大值与最小值.
[解] (1)设t=3x,∵x∈[-1,2],函数t=3x在[-1,2]上是增函数,故有≤t≤9,故t的最大值为9,t的最小值为.
(2)由f(x)=9x-2×3x+4=t2-2t+4=(t-1)2+3,可得此二次函数的对称轴为t=1,且≤t≤9,
故当t=1时,函数f(x)有最小值为3,当t=9时,函数f(x)有最大值为67.
提升练
1.(多选)若f(x)=3x+1,则(  )
A.f(x)在[-1,1]上单调递增
B.y=3x+1与y=x+1的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象过点(0,1)
D.f(x)的值域为[1,+∞)
AB [f(x)=3x+1在R上单调递增,则A正确;y=3x+1与y=3-x+1的图象关于y轴对称,则B正确;由f(0)=2,得f(x)的图象过点(0,2),则C错误;由3x>0,可得f(x)>1,则D错误.故选AB.]
2.(多选)关于函数f(x)=的说法中正确的是(  )
A.偶函数
B.奇函数
C.在(0,+∞)上是增函数
D.在(0,+∞)上是减函数
BC [∵f(-x)==-=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
又y=πx在(0,+∞)上单调递增,y=π-x在(0,+∞)上单调递减,∴y=πx-π-x在(0,+∞)上单调递增,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.故选BC.]
3.设函数y=,若函数在(-∞,1]上有意义,则实数a的取值范围是________.
 [由题意可知1+2x+a·4x≥0在(-∞,1]上恒成立,
即a≥-x-x在(-∞,1]上恒成立.
又y=-x-x=-2x-x在(-∞,1]上的最大值为-,∴a≥-.]
4.已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,则x的取值范围是________.
 [∵a2+a+2=2+>1,
∴y=(a2+a+2)x为R上的增函数,
∴x>1-x,即x>.]
拓展
已知函数f(x)=a-(x∈R).
(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在R上为增函数;
(2)是否存在实数a使f(x)为奇函数?证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.
[解] (1)证明:∵f(x)的定义域为R,任取x1∵x1x1)(1+2
x2)>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴不论a为何实数,f(x)在R上为增函数.
(2)存在.若f(x)在x∈R上为奇函数,
则f(0)=0,即a-=0,解得a=.
(3)由(2)知,f(x)=-,由(1)知,f(x)为增函数,∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1).
∵f(1)=-=,
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.