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高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
2021年新教材高中数学 4.2 指数函数练习 (word含解析)(2份打包)
文档属性
名称
2021年新教材高中数学 4.2 指数函数练习 (word含解析)(2份打包)
格式
zip
文件大小
115.8KB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2021-09-18 19:24:18
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文档简介
指数函数的概念、图象和性质
(建议用时:40分钟)
基础练
一、选择题
1.若函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数,则a的值是( )
A.4
B.1或3
C.3
D.1
2.函数f(x)=πx与g(x)=x的图象关于( )
A.原点对称
B.x轴对称
C.y轴对称
D.直线y=-x对称
3.指数函数y=f(x)的图象经过点,那么f(4)f(2)等于( )
A.8
B.16
C.32
D.64
4.已知函数f(x)=若f[f(-1)]=4,则a=( )
A.
B.
C.1
D.2
5.我国2020年底的人口总数为M,人口的年平均自然增长率为p,到2030年底我国人口总数是( )
A.M(1+p)8
B.M(1+p)9
C.M(1+p)10
D.M(1+p)11
二、填空题
6.函数f(x)=2·ax-1+1的图象恒过定点________.
7.某农场今年计划种甘蔗100
hm2,以后每年比前一年多种20%,那么从今年算起,第四年应种甘蔗________hm2.
8.某品牌笔记本电脑的成本不断降低,若每隔4年价格就降低,则现在价格为8
100元的笔记本电脑,12年后的价格将降为________元.
三、解答题
9.人工放射性核素碘-131可发射β射线治疗甲亢,已知该物质的半衰期为8天,即一定质量的碘-131经过8天之后剩留原来质量的一半.设质量为a的碘-131经过x天后剩留的质量为y,试写出y关于x的函数解析式.
10.设f(x)=3x,g(x)=x.
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的图象;
(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?
提升练
1.函数y=a-|x|(0
A
B
C
D
2.(多选题)若a>1,-1
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.若方程|2x-1|=a有唯一实数解,则a的取值范围是________.
4.已知实数a,b满足等式a=b,给出下列五个关系式:①0
拓展
已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的取值范围;
(2)若f(x)的图象如图②所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求m的范围.
参考答案:
基础练
一、选择题
1.若函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数,则a的值是( )
A.4
B.1或3
C.3
D.1
C [由题意得解得a=3,故选C.]
2.函数f(x)=πx与g(x)=x的图象关于( )
A.原点对称
B.x轴对称
C.y轴对称
D.直线y=-x对称
C [设点(x,y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点,则点(-x,y)为g(x)=π-x=x的图象上的点.因为点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称,所以函数f(x)=πx与g(x)=x的图象关于y轴对称.]
3.指数函数y=f(x)的图象经过点,那么f(4)f(2)等于( )
A.8
B.16
C.32
D.64
D [由指数函数y=f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点,可得a-2=,解得a=2,函数的解析式为y=2x,f(4)f(2)=24·22=64.]
4.已知函数f(x)=若f[f(-1)]=4,则a=( )
A.
B.
C.1
D.2
D [由题得f[f(-1)]=f[2-(-1)]=f(2)=a2=4,又a>0,且a≠1,所以a=2,故选D.]
5.我国2020年底的人口总数为M,人口的年平均自然增长率为p,到2030年底我国人口总数是( )
A.M(1+p)8
B.M(1+p)9
C.M(1+p)10
D.M(1+p)11
C [从2020到2030年一共增长了10次.]
二、填空题
6.函数f(x)=2·ax-1+1的图象恒过定点________.
(1,3) [令x-1=0,得x=1,f(1)=2×1+1=3,
所以f(x)的图象恒过定点(1,3).]
7.某农场今年计划种甘蔗100
hm2,以后每年比前一年多种20%,那么从今年算起,第四年应种甘蔗________hm2.
172.8 [因为今年计划种甘蔗100
hm2,以后每年比前一年多种20%,所以第二年种100(1+20%)hm2,
第三年种100(1+20%)2hm2,
第四年种100(1+20%)3=172.8hm2.]
8.某品牌笔记本电脑的成本不断降低,若每隔4年价格就降低,则现在价格为8
100元的笔记本电脑,12年后的价格将降为________元.
2
400 [12年后的价格可降为8
100×3=2
400元.]
三、解答题
9.人工放射性核素碘-131可发射β射线治疗甲亢,已知该物质的半衰期为8天,即一定质量的碘-131经过8天之后剩留原来质量的一半.设质量为a的碘-131经过x天后剩留的质量为y,试写出y关于x的函数解析式.
[解] 根据题意,物质的半衰期为8天,则每隔8天质量变为原来的一半,
则y=a,x∈N
.
10.设f(x)=3x,g(x)=x.
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的图象;
(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?
[解] (1)函数f(x),g(x)的图象如图所示:
(2)f(1)=31=3,g(-1)=-1=3,
f(π)=3π,g(-π)=-π=3π,
f(m)=3m,g(-m)=-m=3m.
从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,它们的图象关于y轴对称.
提升练
1.函数y=a-|x|(0
A
B
C
D
A [y=a-|x|=|x|,易知函数为偶函数,∵0
1,故当x>0时,函数为增函数,当x<0时,函数为减函数,当x=0时,函数有最小值,最小值为1,且指数函数为凹函数,故选A.]
2.(多选题)若a>1,-1
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
ABC [∵a>1,且-1
故函数y=ax+b的图象一定过第一、二、三象限.]
3.若方程|2x-1|=a有唯一实数解,则a的取值范围是________.
[作出y=|2x-1|的图象,如图,要使直线y=a与图象的交点只有一个,所以a≥1或a=0.
]
4.已知实数a,b满足等式a=b,给出下列五个关系式:①0
①②⑤ [作y=x与y=x的图象(图略).
当a=b=0时,a=b=1;
当a
当a>b>0时,也可以使a=b.
故①②⑤都可能成立,不可能成立的关系式是③④.]
拓展
已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的取值范围;
(2)若f(x)的图象如图②所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求m的范围.
[解] (1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1),
又f(0)=1+b<0,所以b的取值范围为(-∞,-1).
(2)由图②可知,y=|f(x)|的图象如图所示.
由图象可知使|f(x)|=m有且仅有一解的m值为m=0或m≥3.指数函数的性质的应用
(建议用时:40分钟)
基础练
一、选择题
1.设a=40.9,b=80.48,c=-1.5,则( )
A.c>a>b
B.b>a>c
C.a>b>c
D.a>c>b
2.若2a+1<3-2a,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞)
B.
C.(-∞,1)
D.
3.若函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.∪(1,+∞)
D.
4.已知函数f(x)=3x-x,则f(x)( )
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
5.函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是( )
A.6
B.1
C.3
D.
二、填空题
6.已知a=,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系为________.
7.若函数f(x)=则函数f(x)的值域是________.
8.函数f(x)=1-x2的单调递增区间为________.
三、解答题
9.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)比较f(2)与f(b2+2)的大小;
(2)求函数g(x)=ax2-2x(x≥0)的值域.
10.已知f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2].
(1)设t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值与最小值;
(2)求f(x)的最大值与最小值.
提升练
1.(多选)若f(x)=3x+1,则( )
A.f(x)在[-1,1]上单调递增
B.y=3x+1与y=x+1的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象过点(0,1)
D.f(x)的值域为[1,+∞)
2.(多选)关于函数f(x)=的说法中正确的是( )
A.偶函数
B.奇函数
C.在(0,+∞)上是增函数
D.在(0,+∞)上是减函数
3.设函数y=,若函数在(-∞,1]上有意义,则实数a的取值范围是________.
拓展
已知函数f(x)=a-(x∈R).
(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在R上为增函数;
(2)是否存在实数a使f(x)为奇函数?证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.
参考答案:
基础练
一、选择题
1.设a=40.9,b=80.48,c=-1.5,则( )
A.c>a>b
B.b>a>c
C.a>b>c
D.a>c>b
D [a=40.9=21.8,b=80.48=21.44,c=-1.5=21.5,因为函数y=2x在R上是增函数,且1.8>1.5>1.44,所以21.8>21.5>21.44,即a>c>b.]
2.若2a+1<3-2a,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞)
B.
C.(-∞,1)
D.
B [∵函数y=x在R上为减函数,∴2a+1>3-2a,∴a>.]
3.若函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.∪(1,+∞)
D.
A [由于底数3∈(1,+∞),所以函数f(x)=3(2a-1)x+3的单调性与y=(2a-1)x+3的单调性相同.因为函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,所以y=(2a-1)x+3在R上是减函数,所以2a-1<0,即a<,从而实数a的取值范围是,故选A.]
4.已知函数f(x)=3x-x,则f(x)( )
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
A [因为f(x)=3x-x,定义域为R,所以f(-x)=3-x--x=x-3x=-=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
又y=3x在R上是增函数,y=x在R上是减函数,所以f(x)=3x-x在R上是增函数.]
5.函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是( )
A.6
B.1
C.3
D.
C [函数y=ax在[0,1]上是单调的,最大值与最小值都在端点处取到,故有a0+a1=3,解得a=2,因此函数y=2ax-1=4x-1在[0,1]上是单调递增函数,故x=1时,ymax=3.]
二、填空题
6.已知a=,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系为________.
m
f(n),∴m
7.若函数f(x)=则函数f(x)的值域是________.
(-1,0)∪(0,1) [由x<0,得0<2x<1;由x>0,
∴-x<0,0<2-x<1,
∴-1<-2-x<0.
∴函数f(x)的值域为(-1,0)∪(0,1).]
8.函数f(x)=1-x2的单调递增区间为________.
[0,+∞) [由于底数∈(0,1),所以函数f(x)=1-x2的单调性与y=1-x2的单调性相反,f(x)=1-x2的单调递增区间就是y=1-x2的单调递减区间.由y=1-x2的图象(图略)可知:当x≤0时,y=1-x2是增函数;当x≥0时,y=1-x2是减函数,所以函数f(x)=1-x2的单调递增区间为[0,+∞).]
三、解答题
9.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)比较f(2)与f(b2+2)的大小;
(2)求函数g(x)=ax2-2x(x≥0)的值域.
[解] (1)由已知得a2=,解得a=,因为f(x)=x在R上递减,2≤b2+2,所以f(2)≥f(b2+2).
(2)因为x≥0,所以x2-2x≥-1,所以x2-2x≤3,
即函数g(x)=ax2-2x(x≥0)的值域为(0,3].
10.已知f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2].
(1)设t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值与最小值;
(2)求f(x)的最大值与最小值.
[解] (1)设t=3x,∵x∈[-1,2],函数t=3x在[-1,2]上是增函数,故有≤t≤9,故t的最大值为9,t的最小值为.
(2)由f(x)=9x-2×3x+4=t2-2t+4=(t-1)2+3,可得此二次函数的对称轴为t=1,且≤t≤9,
故当t=1时,函数f(x)有最小值为3,当t=9时,函数f(x)有最大值为67.
提升练
1.(多选)若f(x)=3x+1,则( )
A.f(x)在[-1,1]上单调递增
B.y=3x+1与y=x+1的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象过点(0,1)
D.f(x)的值域为[1,+∞)
AB [f(x)=3x+1在R上单调递增,则A正确;y=3x+1与y=3-x+1的图象关于y轴对称,则B正确;由f(0)=2,得f(x)的图象过点(0,2),则C错误;由3x>0,可得f(x)>1,则D错误.故选AB.]
2.(多选)关于函数f(x)=的说法中正确的是( )
A.偶函数
B.奇函数
C.在(0,+∞)上是增函数
D.在(0,+∞)上是减函数
BC [∵f(-x)==-=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
又y=πx在(0,+∞)上单调递增,y=π-x在(0,+∞)上单调递减,∴y=πx-π-x在(0,+∞)上单调递增,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.故选BC.]
3.设函数y=,若函数在(-∞,1]上有意义,则实数a的取值范围是________.
[由题意可知1+2x+a·4x≥0在(-∞,1]上恒成立,
即a≥-x-x在(-∞,1]上恒成立.
又y=-x-x=-2x-x在(-∞,1]上的最大值为-,∴a≥-.]
4.已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,则x的取值范围是________.
[∵a2+a+2=2+>1,
∴y=(a2+a+2)x为R上的增函数,
∴x>1-x,即x>.]
拓展
已知函数f(x)=a-(x∈R).
(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在R上为增函数;
(2)是否存在实数a使f(x)为奇函数?证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.
[解] (1)证明:∵f(x)的定义域为R,任取x1
∵x1
x1)(1+2
x2)>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
∴不论a为何实数,f(x)在R上为增函数.
(2)存在.若f(x)在x∈R上为奇函数,
则f(0)=0,即a-=0,解得a=.
(3)由(2)知,f(x)=-,由(1)知,f(x)为增函数,∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1).
∵f(1)=-=,
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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