(共27张PPT)
28.2.2应用举例(二)
人教版
九年级下册
复习旧知
画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线.
北
南
西
东
北偏东65°
南偏东34°
东南
西北
情景导入
注意
（1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”,
“南偏……”,的形式.
（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.
（3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换.
典例精析
例1
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80
n
mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
65°
34°
P
B
C
A
提问
结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？
PA=
80，∠A=
65°
，∠B=
34°
.
要求的问题是什么？你能写出解答过程吗？
PB之间的距离.
典例精析
解：如图
，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈
72.505
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P大约130n
mile．
65°
34°
P
B
C
A
总结
a.将实际问题抽象为数学问题；
b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；
c.得到数学问题的答案；
d.得到实际问题的答案.
你能总结出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路吗？
练一练
美丽的东昌湖滨位于江北水城,周边景点密布.如图所示，A、B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点.景点B在景点C的正东，从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向.一游客自景点A驾船以每分钟20
m的速度行驶了10分钟到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点B需用多长时间(精确到1分钟)?
练一练
解:根据题意,得AC=20×10=200(m).
如图所示,过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ADC中，AD=AC?cos∠CAD=200?cos30°=100,
DC=AC·sin
∠CAD=200·sin
30°=100.
在Rt△ADB中,BD=AD?tan∠BAD=100
.
∴CB=DB-DC=100.
∴CB÷20=
(分).
思考
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
探究新知
L
h
α
问题：我们经常说某某山的坡度很陡，那么坡度究竟是指什么呢？
提问
你能根据图示给出坡度的定义吗？
探究新知
坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为.
坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）则
tanα=.
1
2
典例精析
例2
如图，拦水坝的横断面为梯形
ABCD，斜面坡度
i
=1:1.5
是指坡面的铅直高度
AF
与水平宽度
BF
的比，斜面坡度
i
=1:3
是指DE
与CE
的比，根据图中数据，求：
（1）坡角α
和
β
的度数；
（2）斜坡
AB
的长(结果保留小数点后一位)．
典例精析
解
：（1）∵tanα＝1:1.5，tanβ＝1:3，
利用计算器可求得α≈33.7°，β≈18.4°；
（2）∵tanα＝1:1.5，又AF＝6m，
∴BF＝9m，由勾股定理得
AB≈10.8m.
练一练
为方便行人横过马路，打算修建一座高5
m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).
解：
，AC=5，
∴BC=1.5×5=7.5.
课堂练习
1.
如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1
:
，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是
(
)
A.
9m
B.
6m
C.
m
D.
m
A
C
B
B
课堂练习
2.
如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是（
）
A.
10分钟
B.
15分钟
C.
20分钟
D.
25分钟
B
3．如图，在某监测点
B
处望见一艘正在作业的渔船在南偏西
15?方向的
A
处，若渔船沿北偏西
75?方向以
40
海里/时的速度航行，航行半小时后到达
C
处，在
C
处观测到监测点
B
在
C
的北偏东
60?方向上，则
B，C
之间的距离为_________
_．
(参考数据：
≈1.732，
≈1.414)
28.28
海里
60°
75°
15°
A
B
C
课堂练习
课堂练习
4.如图，某村准备在坡度为i=1:1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5
m，则这两棵树在坡面上的距离AB为
m.（结果保留根号）
课堂练习
5.某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度(结果保留小数点后两位).
解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,
∴DE=BE·tan30°=
,
课堂练习
在Rt△ACF中，CF=BE=5.00，∠FCA=45°，
∴AF=CF=5.00，
∴AC=CF=5≈7.07(m).
∴AB=BF-AF=DE+CD-AF
=
+3.40-5.00≈1.29(m).
6．如图，我国两艘海监船
A，B
在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船
C，此时，B
船在
A
船的正南方向
5
海里处，A
船测得渔船
C
在其南偏东
45?方向，B
船测得渔船
C
在其南偏东
53?方向，已知
A
船的航速为30
海里/时，B
船的航速为
25
海里/时，问
C
船至少要等待多长时间才能得到救援？
(参考数据：sin53?≈
cos53?≈
tan
53?≈
≈1.41．)
A
B
53?
45?
C
课堂练习
解：过点
C
作
CD⊥AB
于
D，设
AD＝x
米．
则
BD＝(x－5)米．
∵ 在
Rt△ACD
中，
∠DAC＝45?，
∴ CD＝AD＝x
米．
∵ 在
Rt△BCD
中，
∠CBD＝53?，
∴ tan
53?＝
即
解得
x＝20．
D
A
B
53?
45?
C
课堂练习
板书设计
解直角三角形的应用举例
与坡度有关的问题
与方向角有关的问题
坡角
坡度(或坡比)
作业布置
1.课后练习题1,2题；
2.完成练习册本课时的习题。
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28.2.2应用举例(二)教学设计
课题
应用举例(一)
单元
28
学科
数学
年级
九
学习
目标
【知识与技能】
进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，体会方位角、仰角、俯角、坡度（坡比）
的含义及其所代表的实际意义，能用它们进行有关的计算.
【过程与方法】
通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力.
【情感态度】
渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力.
重点
用三角函数有关知识解决方位角问题.
难点
学会准确分析问题，并将实际问题转化为数学模型.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
回顾旧知
1.仰角、俯角概念；
2.方位角的意义.
学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论.
帮助学生获取
正确认知.
讲授新课
例1
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远
(结果取整数）？
分析与解
易知P点正东方向与AC具有垂直关系，即图中
PC丄AB，若记垂足为C，则图中出现了两个直角三角形APC和直角三角形BPC.而在Rt△APC中，知AP=80，∠APC=90°-65°=25°，故可求出线段PC的长，即由,得PC=AP·
cos25°=80·cos25°≈72.505，因此在Rt△BPC中，由，得从而可得知海轮在B处时距离灯塔P约130海里.
你能小结出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路吗？
2.如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
(1)坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为.
(2)坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）则
tanα=.
学生自主探究，得出结论.
教师可分别参与讨论，帮助学生获取正确认知.
典例精析
例2
如图，拦水坝的横断面为梯形
ABCD，斜面坡度
i
=1:1.5
是指坡面的铅直高度
AF
与水平宽度
BF
的比，斜面坡度
i
=1:3
是指DE
与CE
的比，根据图中数据，求：
（1）坡角α
和
β
的度数；
（2）斜坡
AB
的长(结果保留小数点后一位)．
先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法.
能用所学知识解决问题，也可增强学生的学习兴趣。
课堂练习
1.
如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1
:
，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是(
)
A.
9m
B.
6m
C.6
m
D.3
m
2.
如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是（
）
A.
10分钟
B.
15分钟
C.
20分钟
D.
25分钟
3.
如图，在某监测点
B
处望见一艘正在作业的渔船在南偏西
15?方向的
A
处，若渔船沿北偏西
75?方向以
40
海里/时的速度航行，航行半小时后到达
C
处，在
C
处观测到监测点
B
在
C
的北偏东
60?方向上，则
B，C
之间的距离为_________
．
(参考数据：≈1.732，≈1.414)
4.如图，某村准备在坡度为i=1:1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5
m，则这两棵树在坡面上的距离AB为
m.（结果保留根号）
5.某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度(结果保留小数点后两位).
6.如图，我国两艘海监船
A，B
在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船
C，此时，B
船在
A
船的正南方向
5
海里处，A
船测得渔船
C
在其南偏东
45?方向，B
船测得渔船
C
在其南偏东
53?方向，已知
A
船的航速为30
海里/时，B
船的航速为
25
海里/时，问
C
船至少要等待多长时间才能得到救援？
(参考数据：sin53?≈，cos53?≈
，
tan
53?≈
，≈1.41．)
学生自主完成习题，老师订正
让学生巩固已学知识，加深对知识的理解与运用
课堂小结
1.知识回顾.
2.谈谈这节课你有哪些收获？
教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识
让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书
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精品试卷·第
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