2021--2022学年北师大版九年级数学上册 1.3 正方形的性质与判定 课件 （共21张）

(共21张PPT)
1.3
正方形的性质与判定
学习目标
1．掌握正方形的判定方法；会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算．
2．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，形成辨证看问题的观点．
什么是正方形？正方形有哪些性质？
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
A
B
C
D
O
你是如何判断是矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
三个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
合作探究
想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形
展开后是个正方形？
（1）
（2）
（3）
（4）
合作探究
满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
菱形
正方形
一个角是直角
对角线相等
新课讲授
正方形判定定理
1.对角线相等的菱形是正方形.
2.对角线垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
例1、如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，AF，BG，CH，DE分别相交于点A′，B′，C′，D′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
证明：在正方形ABCD中，
∵在△ABF和△BCG中，AB=BC，∠ABC=∠BCD，BF=CG，
∴△ABF≌△BCG.
∴∠BAF=∠GBC.
∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠CBG+∠AFB=90°.
∴∠BB′F=90°.
∴∠A′B′C′=90°.
∴同理可得∠B′C′D′=∠C′D′A′=90°.∴四边形A′B′C′D′是矩形.
∵在△AB′B和△BC′C中，∠BAF=∠CBG，∠AB′B=∠BC′C，AB=BC，
∴△AB′B≌△BC′C.
∴AB′=BC′.
∵在△AA′E和△BB′F中，∠BAF=∠CBG，∠AA′E=∠BB′F，AE=BF，
∴△AA′E≌△BB′F，∴AA′=BB′.
∴A′B′=B′C′.
∴矩形A′B′C′D′是正方形.
例2、菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，连接CF.
（1）求证：∠HEA=∠CGF；
（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形.
证明：（1）如图，连接GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠CGE.
∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE.
∴∠HEA=∠CGF.
例2、菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，连接CF.
（1）求证：∠HEA=∠CGF；
（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形.
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°.
∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE.
在Rt△HAE和Rt△GDH中，AH=DG，HE=HG，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL）.
∴∠AHE=∠DGH.
又∠DHG+∠DGH=90°,
∴∠DHG+∠AHE=90°.∴∠GHE=90°.
∴菱形EFGH为正方形.
合作探究
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
新课讲授
常见中点四边形比较
名称
任意四边形
矩形
菱形
正方形
对角线特点
既不垂直
也不相等
不垂直，仅相等
垂直但不相等
垂直且相等
中点四边形
基本图形
A
B
C
D
E
F
G
H
平行四边形
A
B
C
D
E
F
G
H
菱形
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
矩形
正方形
例3、如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB∶AD=________时，四边形MENF是正方形.
解：当AB∶AD=1∶2时，四边形MENF是正方形.
∵AB∶AD=1∶2，AM=DM，AB=CD，∴AB=AM=DM=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，∴∠BMC=90°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°,
∴∠MBC=∠MCB=45°，∴BM=CM.
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE=CF=ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME=MF，∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形.
随堂练习
1．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是?(　　)
A.AC=BD，AB//CD
B.AD∥BC，∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO，
AC⊥BD
D.AO=CO，BO=DO，
AB=BC
C
A
B
C
D
O
随堂练习
2．如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O.若不添加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需添加的一个条件是___________________.
AC=BD(答案不唯一)
A
B
C
D
O
随堂练习
3．将五个边长都为2
cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为?(　　)
A.2
cm2　????B.4
cm2　????C.6
cm2　????D.8
cm2
B
随堂练习
4．如图所示，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=AC，
∵EA=EC，
∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
随堂练习
4．如图所示，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形.
(2)∵∠1=∠EAD+∠AED，
∠DAC=∠EAD+∠AED，
∴∠1=∠DAC，∴AO=DO.
由(1)知四边形ABCD是菱形,
∴AC=2AO，DB=2DO，∴AC=BD,
∴菱形ABCD是正方形.
随堂练习
5.如图，在四边形ABCD中，AB=BC
，对角线BD平分?ABC，P是BD上一点，过点P作PM?AD，PN?CD
，垂足分别为M、N.
(1)
求证：?ADB=?CDB；
(2)
若?ADC=90?，求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵AB
=
BC，BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD
(AAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
随堂练习
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD，PN⊥CD；
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB；
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM，DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
课堂小结
有一个角是90°
（或对角线互相垂直）
有一对邻边相等
（或对角线相等）
平行四边形
矩形
菱形
正方形
一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直平分且相等）
有一个角是90°
（或对角线互相垂直）
有一对邻边相等
（或对角线相等）