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第二讲
平方根
【提升训练】
一、单选题
1．如图所示长方形中，，长方形内放置两个边长都为的正方形与正方形，若两个正方形重叠部分面积为，长方形未被两个正方形盖住部分面积之和为（阴影部分的面积之和），已知：，则a的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．3.5
D．4
【答案】A
【分析】
求出四边形ABCD和四边形AEFG以及四边形CHIJ的面积，再根据S乙=SABCD-SAEFG-SCHIJ+S甲，得出方程，即可求出a值．
【详解】
解：∵AB=4cm，BC=6cm，
∴四边形ABCD的面积为4×6=24cm2，
∵四边形AEFG和四边形CHIJ的面积都为a2，
∴S乙=SABCD-SAEFG-SCHIJ+S甲，
即S乙=24-a2-a2+S甲
∵S甲=S乙，
∴S甲=24-a2-a2+S甲，
解得：a=（负值已舍去），
故选A．
【点睛】
本题考查了算术平方根，图形的面积，解题的关键是掌握阴影部分的面积之和的表示方法．
2．如示意图，小宇利用两个面积为1
dm2的正方形拼成了一个面积为2
dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．
为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D．利用四个直角边分别为1
dm和3
dm的直角三角形以及一个边长为2
dm的正方形感知dm的大小
【答案】C
【分析】
在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐一排除．
【详解】
A：，=8，不符合题意；
B：4×(3×3÷2)=18，=18，不符合题意；
C：，，符合题意；
D：，，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用二次根式计算面积，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等．
3．9
的算术平方根是（
）
A．3
B．－3
C．±3
D．81
【答案】A
【分析】
根据算术平方根的性质计算即可；
【详解】
9的算术平方根是3．
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根的计算，准确计算是解题的关键．
4．若，．则的值为（
）
A．
B．4
C．
D．2
【答案】A
【分析】
两式相加，构造，求16的平方根即可
【详解】
∵，，
∴，
∴，
∴=±4，
故选A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键．
5．已知、为实数，且+4＝4b，则的值是（ ）
A．
B．
C．2
D．﹣2
【答案】C
【分析】
已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．21cnjy.com
【详解】
已知等式整理得：＝0，
∴a，b＝2，
即ab＝1，
则原式＝
＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数的非负性，同底数幂的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
6．已知a、b满足，则的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】
根据绝对值和二次根式的非负性分别求出、，再代入求值即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：．
【点睛】
本题考查了非负数的性质．解题的关键是理解绝对值和二次根式的非负性，能够正确求出、的值．
7．已知，字母a、b满足＝0，则+++…+的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先利用非负数性质，求出：a＝1，b＝2，再利用裂项法求连续两数积的倒数和即可．
【详解】
解：∵＝0，，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝1，b＝2，
则原式＝，
=，
=，
=．
故选：D．
【点睛】
本题考查非负数性质，裂项法求值，掌握非负数性质，裂项法求值方法，把是解题关键．
8．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（ ）
A．﹣485.8
B．﹣48.58
C．﹣153.6
D．﹣1536
【答案】A
【分析】
根据平方根小数点的移动规律解答．
【详解】
解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8；
故选：A．
【点睛】
此题考查了平方根小数点的移动规律：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)当被开方数的小数点向右每移动两位，则平方根的小数点向右移动一位；当被开方数的小数点向左每移动两位，则平方根的小数点向左移动一位．2·1·c·n·j·y
9．若+|y+7|+（z﹣7）2＝0，则的平方根为（ ）
A．±2
B．4
C．2
D．±4
【答案】A
【分析】
根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴的平方根为．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键．
10．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（ ）
A．25
B．49
C．64
D．81
【答案】B
【分析】
根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定义即可解答．【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
解：由正数的两个平方根互为相反数可得
（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，
解得x＝﹣2，
所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，
所以a＝72＝49．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关键．
11．下列写法错误的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据平方根的概念和性质，对每个选项分别分析、解答．
【详解】
解：A、；故本选项正确，不符合题意；
B、；故本选项正确，不符合题意；
C、；故本选项正确，不符合题意；
D、；故本选项错误，符合题意；
故选：D．【版权所有：21教育】
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根的概念及性质，学生应熟知它们的区别．
12．下列各数中，不一定有平方根的是( )
A．x2＋1
B．|x|＋2
C．
D．|a|－1
【答案】D
【分析】
根据平方根的性质解答即可.
【详解】
A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根；
B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根；
C、>0，∴该数有平方根；
D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根；
故选：D.
【点睛】
此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键.21
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13．9的平方根是（
）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据平方根的定义即可得解．
【详解】
∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3，
故选：D
【点睛】
本题考查了平方根，熟记概念是解题的关键．
14．25的平方根是（
）
A．5
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据平方根的定义，结合（±5）2=25即可得出答案．
【详解】
解：∵（±5）2=25
∴25的平方根±5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．2-1-c-n-j-y
15．实数有平方根，则可以取的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】
根据平方根的性质求出a的范围，从而得出答案．
【详解】
解：∵实数1-3a有平方根，
∴1-3a≥0，
解得a≤，
而四个选项中只有A符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平方根，平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．21
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com
16．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
x
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256
下面有四个推断：
①＝1.51
②一定有3个整数的算术平方根在15.5～15.6之间
③对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01
④16.22比16.12大3.23
所有合理推断的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】D
【分析】
根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可．
【详解】
解：根据表格中的信息知：
＝1.51，故①正确；
根据表格中的信息知：15.52＝240.25＜n＜15.62＝243.36，
∴正整数n＝241或242或243，
∴一定有3个整数的算术平方根在15.5～15.6之间，故②正确；
∵由题意设
且＜＜＜，
由＜＜＜，＜，
＜
∴对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01，故③正确；
∵16.22＝262.44，16.12＝259.21，262.44﹣259.21＝3.23，故④正确；
∴合理推断的序号是①②③④．
故选：D．
【点睛】
此题考查了乘方运算，算术平方根，同时考查了平方差公式，熟练掌握算术平方根的定义及求一个数的算术平方根是解本题的关键．
17．若，，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】
首先根据平方根的定义求出的值，再由，可知异号，由此即可求出的值．
【详解】
∵，，
∴，，
而，即异号，
①当时，，即当，时，；
②当时，，即，时，．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根的概念以及代数式的求值．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
18．下列说法错误的是
(
)
A．的算术平方根是2
B．-2是4的平方根．
C．0.4的平方根是±2
D．(-5)2的平方根是±5
【答案】C
【分析】
根据算术平方根及平方根的性质解答即可.
【详解】
A、的算术平方根是2，故该选项正确；
B、-2是4的平方根，故该选项正确；
C、4的平方根是±2，故该选项错误；
D、(-5)2的平方根是±5，故该选项正确；
故选：C.
【点睛】
此题考查了算术平方根及平方根的性质，熟记性质并运用其解答问题是解题的关键.
19．=（
）．
A．10
B．-10
C．±10
D．50
【答案】A
【分析】
根据算术平方根的定义即可求出答案．
【详解】
解：100的算术平方根为10，
故选：A．
【点睛】
本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，本题属于基础题型．
20．计算：（
）
A．－9
B．－3
C．3
D．9
【答案】C
【分析】
直接根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】
解：∵32=9，
∴3，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的概念是解答此题的关键．
21．已知a2＝25，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（ ）
A．2或12
B．2或﹣12
C．﹣2或12
D．﹣2或﹣12
【答案】D
【分析】
先由a2＝25，＝7求得a、b的值，然后再根据|a+b|＝a+b确定出a、b的取值情况，最后求得a﹣b的值即可．
【详解】
解：∵a2＝25，＝7，
∴a＝±5，b＝±7．
又∵|a+b|＝a+b，
∴a＝±5，b＝7．
∴当a＝5，b＝7时，a﹣b＝﹣2；当a＝﹣5，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根、绝对值、有理数的减法，求得a、b的值是解题的关键．
22．9的平方根是（
）．
A．3
B．±3
C．
D．±81
【答案】B
【分析】
根据平方根的定义解答本题,注意一个正数的平方根有两个.
【详解】
解：一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数，所以9的平方根为±3，故选B．
【点睛】
考查学生对平方根定义的理解，和求正数的平方根的能力.
23．若a、b、c为三角形的三条边，则+|b-a-c|=(
).
A．2b-2c
B．2a
C．2
D．2a-2c
【答案】B
【分析】
根据三角形的三边关系可知，，再利用算术平方根和绝对值非负性进行化简即可解答.
【详解】
根据三角形的三边关系可知，
∴
∴
故选B
【点睛】
本题考点涉及三角形的三边关系，算术平方根和绝对值的非负性以及化简，熟练掌握相关知识点是解题关键.
24．下列说法中不正确的是( )
A．是2的平方根
B．是2的平方根
C．2的平方根是
D．2的算术平方根是
【答案】C
【详解】
解：A.
-是2的平方根，正确；
B.
是2的平方根，正确；
C.
2的平方根是±，故原选项不正确；
D.
2的算术平方根是，正确．
故选C．
25．1的平方根是
A．
B．±
C．1
D．±1
【答案】D
【分析】
根据平方根的定义即可直接判断．
【详解】
解：1的平方根是±1．
故选D．
【点睛】
本题考查了平方根的定义，理解平方根的性质，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．【来源：21·世纪·教育·网】
26．若＝0，则x的值是（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】
利用算术平方根性质确定出x的值即可.
【详解】
解：∵＝0，
∴x﹣1＝0，
解得：x＝1，
则x的值是1．
故选：C.
【点睛】
此题考查算术平方根的性质的应用，解一元一次方程，正确理解算术平方根的性质得到x﹣1＝0是解题的关键.
27．2的平方根为（ ）
A．4
B．±4
C．
D．±
【答案】D
【分析】
利用平方根的定义求解即可．
【详解】
解：∵2的平方根是±．
故选D.
【点睛】
此题主要考查了平方根的定义，注意一个正数的平方根有2个，它们互为相反数.
28．下列说法：①的倒数是；②是的平方根；③若，则；④若，则与互为补角．其中正确说法的个数有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】B
【分析】
①根据倒数的定义可以判断；
②根据算术平方根和平方根的定义可以判断；
③根据绝对值的意义可以判断；
④根据补角的定义可以判断．
【详解】
解：①﹣1的倒数是﹣1，说法正确；
②因为9，所以3是的平方根，说法正确；
③若|a|＝a，则a≥0，说法③错误；
④若∠1＝180°﹣∠2，即∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角，说法正确；
正确的说法有①②④，共3个，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了倒数，平方根，算术平方根，绝对值，补角的定义，熟练掌握这些定义是关键．
29．已知，那么的值为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据算术平方根和绝对值的非负性，确定a、b的值，再代入代数式求值即可.
【详解】
解：由题意得：a+2=0，b-1=0，即a=-2，b=1
所以，
故答案为A.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，利用非负数的性质确定待定的字母的值是解答的关键
30．若+（x+3）2＝0，则x﹣y的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．7
D．﹣7
【答案】D
【分析】
利用二次根式和完全平方的非负性，先求出x、y的值，即可求出答案．
【详解】
解：由题意，得：
，
∴
∴x﹣y＝3﹣4＝7；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式和完全平方的非负性，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，正确求出x、y的值．
31．若+(b-3)2=0，则=(
)
A．7
B．-
C．8
D．
【答案】B
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：，
解得：，
则ab==-．
故选：B．
【点睛】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．同时还考查了有理数的乘方
32．若x，y为实数，且，则的值是（
）
A．0
B．1
C．-1
D．-2019
【答案】C
【分析】
根据题目中的式子利用非负数的性质求得x、y的值，从而可求得的值.
【详解】
∵，
∴，
∴，，
∴.
故选C.本题考查了算术平方根，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
33．下列说法中错误的是（
）
A．是0.25的一个平方根
B．正数a的两个平方根的和为0
C．的平方根是
D．当时，没有平方根
【答案】C
【解析】
A选项中，因为“”，所以A中说法正确；
B选项中，因为“正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两数和为0”，所以B中说法正确；
C选项中，因为“的平方根是”，所以C中说法错误；
D选项中，因为“当时，的值是负数，而负数没有平方根”，所以D中说法正确；
故选C.
34．100的平方根是（
）
A．10
B．±10
C．-10
D．
【答案】B
【分析】
根据平方根的概念：一个数x的平方等于a，这个数x叫a的平方根，即可解答．
【详解】
解：∵（±10）2=100，
∴100的平方根是±10，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的概念．
35．下列命题是假命题的是（ ）
A．0的平方根是0
B．无限小数都是无理数
C．算术平方根最小的数是0
D．最大的负整数是﹣1
【答案】B
【分析】
分别根据平方根的定义、无理数的定义、算术平方根的定义、负整数逐一判断即可．
【详解】
解：A、0的平方根为0，所以A选项为真命题；
B、无限不循环小数是无理数，所以B选项为假命题；
C、算术平方根最小的数是0，所以C选项为真命题；
D、最大的负整数是﹣1，所以D选项为真命题．
故选：B．
【点睛】
本题考查平方根的定义、无理数的定义、算术平方根和负整数，掌握无理数指的是无限不循环小数是解题的关键．21·世纪
教育网
36．下列运算正确的是（
）
A．
B．（﹣3ab3）2＝6a2b5
C．2a-2＝
D．
【答案】D
【分析】
直接利用算术平方根的定义以及积的乘方运算法则、整式的除法运算法则、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】
A、＝4，故此选项错误；
B、（﹣3ab3）2＝9a2b6，故此选项错误；
C、2a﹣2＝，故此选项错误；
D、5ab5÷3ab3＝b2，正确．
故选D．
【点睛】
本题考查算术平方根的定义、积的乘方、整式的除法及负指数幂的性质，熟练掌握运算法则是解题关键.
37．若|x-1|
+(y+1)2=0，则(xy)2019的值为(
)
A．1
B．-2019
C．-1
D．2019
【答案】C
【分析】
本题可以根据非负数的意义，求出x、y的进行计算即可
【详解】
解：根据题意得x-1=0，y+1=0
解得x=1,y=-1
所以(xy)2019=(-1×1)2019=-1
故选C.
【点睛】
本题考查了非负数的意义及有理数的乘法、乘方，根据定义及法则计算是解题关键．
38．若实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则（x+y）3的平方根为（ ）
A．4
B．8
C．±4
D．±8
【答案】D
【分析】
先根据绝对值及算术平方根的非负性进行求解，然后代值计算即可．
【详解】
解：由题意得：
|x﹣3|+＝0，
，解得，
，
的平方根为
；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查绝对值、算术平方根的非负性及平方根，熟练掌握算术平方根及绝对值的非负性和求一个数的平方根是解题的关键．
39．的平方根是（ ）
A．
B．
C．±2
D．2
【答案】B
【分析】
首先根据算术平方根的性质化简，再根据平方根的定义即可求出结果．
【详解】
∵＝2，
∴的平方根是±．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根的定义和性质，解决本题的关键是先求得的值．
40．观察下表中的数据信息：
x
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
x2
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256
根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（ ）
A．＝1.53
B．241的算术平方根比15.5小
C．根据表中数据的变化趋势，可以推断出16.12将比256增大3.17
D．只有3个正整数n满足15.7＜＜15.8
【答案】D
【分析】
根据表格中的信息可知x2和其对应的算术平方根的值，然后根据算术平方根的概念依次判断各选项即可．
【详解】
解：A．根据表格中的信息知：＝15.3，∴＝1.53，故本选项不正确；
B．根据表格中的信息知：＝15.5＜，∴241的算术平方根比15.5大，故本选项不正确；
C．根据表格中的信息无法得知16.12的值，∴不能推断出16.12将比256增大3.17，故本选项不正确；
D．根据表格中的信息知：15.72＝246.49＜n＜15.82＝249.64，∴正整数n＝247或248或249，
∴只有3个正整数n满足15.7＜＜15.8，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根的相关知识，正确读懂表格信息、熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
二、填空题
41．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
x
26
26.1
26.2
26.3
26.4
26.5
26.6
26.7
26.8
26.9
27
x2
676
681.21
686.44
691.69
696.96
702.25
707.56
712.89
718.24
723.61
729
下面有四个推断：
①＝2.62；
②一定有6个整数的算术平方根在26.6～26.7之间；
③对于小于26的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于5.21；
④若一个正方形的边长为26.4，那么这个正方形的面积是696.96．
所有合理推断的序号是___．
【答案】①③④
【分析】
估计无理数的大小即可逐个排除．
【详解】
解：．
．
，故①正确．
当时．
．
．
整数有：708，709，710，711，712共5个．故②错误．
设小于26的两个正数分别是，，则．
．故③正确．
．
正方形的边长为26.4，那么这个正方形的面积是696.96．故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查平方根与平方，平方差公式，通过表格数据对平方根进行估计是求解本题的关键．
42．如图，把图①中的长方形分成、两部分，恰与正方形拼接成如图②的大正方形．如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面积是5，则图①中原长方形的长和宽分别是__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】，．
【分析】
设C的长为x，宽为y，根据图②可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得B的长和宽，根据正方形A的面积可求出x的值，根据拼接后的大正方形的面积可求出B的长和宽，从而可进一步求出图①中原长方形的长和宽．【出处：21教育名师】
【详解】
解：设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，
∵正方形的面积为2，
∴（负值舍去）
∵拼接后的大正方形的面积是5，
∴（负值舍去）
∴
∴图①中原长方形的长为，图①中原长方形的宽为
故答案为：，．
【点睛】
此题主要考查了实数的应用，看懂图形，找准数量关系是解答此题的关键．
43．已知，则的值是__________；
【答案】10
【分析】
根据二次根式的性质和绝对值的性质求出a，b计算即可；
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案是10．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值，结合二次根式的性质和绝对值的性质计算即可．
44．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是_________．
【答案】1
【分析】
先根据平方根的性质得出两个平方根互为相反数，再列方程计算，根据平方根的平方是被开方数得出这个正数
【详解】
解：有题意可知：
∴这个正数的两个平方根分别是
∴这个正数是1
故答案为：1
【点睛】
本题考查平方根的性质，利用性质列方程是解题关键
45．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝，又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2，……依此法继续作下去，得OP2017＝_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
首先根据勾股定理求出，再由，，的长度找到规律进而求出的长．
【详解】
解：由勾股定理得：
，，，；
依此类推可得：，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，解题的关键是由已知数据找到规律．
三、解答题
46．先化简再求值：，其中．
【答案】；-2
【分析】
先用乘法公式和整式运算法则进行化简，再代入求值即可．
【详解】
解：，
，
，
，
∴原式；
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用整式运算法则和乘法公式进行化简，代入数值后准确计算．
47．计算：．
【答案】解：-1
【分析】
按照绝对值、乘方、算术平方根法则进行计算即可．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查了绝对值、乘方、算术平方根的运算，解题关键是熟练掌握相关法则并准确进行计算．
48．计算：（）﹣2﹣23×0.125+30+|1﹣2|；
【答案】3+2
【分析】
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：（）﹣2﹣23×0.125+30+|1﹣2|
＝4﹣8×0.125+1+2﹣1
＝4﹣1+1+2﹣1
＝3+2．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
49．（1）计算：．
（2）．
【答案】（1）9；（2）．
【分析】
（1）分别计算算术平方根、零指数幂和绝对值，再利用有理数的加法法则相加即可；
（2）利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算后，合并同类项即可．
【详解】
解：（1）原式=
=9；
（2）原式=
=．
【点睛】
本题考查算术平方根、零指数幂、化简绝对值和整式的混合运算．能正确利用法则，分别计算是解题关键．
50．已知a，b，c满足，请回答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．
（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；21教育网
①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．
②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
【答案】（1）-3，1，5，数轴见解析；（2）①2；②1秒或3秒
【分析】
（1）根据非负数的性质可得a，b，c，再在数轴上表示；
（2）①分别求出1.5秒后点A和点C所表示的数，再计算距离；
②分点A在点C左侧，点A在点C右侧两种情况，列方程求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴a+3=0，b-1=0，c-5=0，
∴a=-3，b=1，c=5，
数轴表示如下：
（2）①由题意可得：1.5秒后，
点A表示的数为：-3+1.5×1=-1.5，
点C表示的数为：5-3×1.5=0.5，
0.5-（-1.5）=2，
∴A，C两点相距2个单位长度；
②设t秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度，
若点A在点C左侧，
则-3+t+4=5-3t，
解得：t=1；
若点A在点C右侧，
则-3+t=5-3t+4，
解得：t=3，
综上：1秒或3秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
【点睛】
本题考查了数轴，一元一次方程，非负数的性质，解题的关键是理解运动过程，掌握数轴上两点间距离的表示方法．21·cn·jy·com
51．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间（单位：）与细线的长度（单位：）之间满足关系，当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少（结果保留小数点后一位）？（參考数据：，）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】小重物来回摆动一次所用的时向约为
【分析】
直接把l=0.5m代入关系式即可求出t的值．
【详解】
由题可知，，
细线长度为，即，
则小重物来回摆动一次所用的时间为；
答：小重物来回摆动一次所用的时向约为．
【点睛】
此题考查算术平方根，解题关键在于掌握运算法则．
52．（1）计算：|﹣3|+（﹣1）﹣+（﹣）0；
（2）化简：（a+b）2﹣a（a+2b）．
【答案】（1）0；（2）．
【分析】
（1）由算术平方根、绝对值的意义、零指数幂进行化简，然后进行计算即可；
（2）由完全平方公式、单项式乘以多项式进行化简，即可得到答案．
【详解】
解：（1）原式=；
（2）原式==．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、单项式乘以多项式、算术平方根、绝对值的意义、零指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．21世纪教育网版权所有
53．（1）已知，是9的算术平方根，___________________________的平方根＝___________．www.21-cn-jy.com
（2）已知数与互为相反数，与互为倒数，，式子____________．
（3）已知，且，则__________
【答案】（1）5，4，3，；（2）；（3）6或-6或0
【分析】
（1）根据算术平方根的定义求出x，y，z，再代入计算，最后求出的平方根；
（2）根据相反数，倒数，有理数的加法得到a+b=0，cd=1，x=-2，再代入计算；
（3）根据绝对值的意义和性质得到x和y的取值，再代入计算．
【详解】
解：（1）∵，是9的算术平方根，
∴x=5，y=4，z=3，
∴==11，
∴的平方根为；
（2）∵与互为相反数，与互为倒数，，
∴a+b=0，cd=1，x=-2，
∴==；
（3）∵，
∴x=±3，y=±3，
∵，
∴x+y≤0，
∴x=3，y=-3，或x=-3，y=3，或x=-3，y=-3，
∴6或-6或0．
【点睛】
本题考查了代数式求值，相反数，倒数的定义，算术平方根和平方根的定义，属于基础知识，要熟练掌握相应的运算方法．21教育名师原创作品
54．若+|b—1|+（c—）2=0，求a＋b的平方根及c的值．
【答案】a＋b的平方根是±，c的值是．
【分析】
根据非负数的性质列式求出a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：由题意得，3a?6＝0，b?1＝0，c?＝0，
解得a＝2，b＝1，c＝，
a＋b＝2＋1＝3，
所以，a＋b的平方根是±，c的值是．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．
55．解方程．
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2），；（3），．
【分析】
（1）系数化为1后开方，得到两个一元一次方程求解即可；
（2）系数化为1后开方，得到两个一元一次方程求解即可；
（3）先移项，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
【详解】
解：（1）系数化为1得：，
两边同时开平方得：；
（2）系数化为1得：，
两边同时开平方得：；
即或，
解得，；
（3）移项得：
两边同时开平方得：；
即或，
解得，．
【点睛】
本题考查利用平方根解方程．解题思想是两边同时开平方，降次，将二次降为一次求解．
56．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的面积；
（2）过点作，垂足为，求线段的长．
【答案】（1）6；（2）
【分析】
（1）利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；
（2）利用面积法求CD的长．
【详解】
（1）∵，，.
∴，
∴
∴的面积是6
（2）如图过点作，垂足为，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵
∴是的高
∵
∵
∴.
【点睛】
本题考查了求算术平方根和阅读理解能力，解题关键是理解题意，准确应用公式进行计算．
57．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5；
（2）在图2中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（3）在图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析．
【分析】
（1）根据勾股定理可知：以3，4，5为三边所构成的三角形为直角三角形，故以3和4为两直角边作直角三角形即可；
（2）由正方形的面积为5，可知：正方形的变长为，1×2的长方形方格的对角线长是，从而作出面积为5的正方形；
（3）根据1×2的对角线为，3×2的对角线为，可作出变长为2，、的三角形．
【详解】
解：（1）边长分别为3，4，5的三角形如下图1；
（2）面积为5的正方形如下图2；
（3）分别为2、、的三角形如下图3．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查勾股定理在网格中的应用．掌握常见无理数在网格中表示的方法是解题关键．
58．解答下列各题．
（1）已知，ab＜0，求（b﹣a）a的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）依据非负数的性质，即可得到a，b的值，进而得出
的值．
（2）依据二次根式有意义的条件，即可得到x和y的值，进而得到的值．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
解得
，
又∵ab＜0，
∴
，
∴＝[3﹣(﹣2)]-2＝5-2＝．
（2）∵，
∴，
解得x＝5，
∴y＝1，
∴==5．
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件以及非
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)负数的性质，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
59．在日历上，我们可以发现其中某些数满足
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：
不难发现，结果都是7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）答案不唯一，如选择6，13，20这三个数，按照已知等式方法计算即可；
（2）设中间那个数为，列得，根据平方差公式及合并同类项法则计算即可．
【详解】
解：(1)答案不唯一，如：在图中框出如图，
；
(2)证明：设中间那个数为，则：
∴．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)．
【点睛】
此题考查数字计算规律探究，掌握有理数混合运算法则，整式的混合运算法则以及化简算术平方根是解题的关键．
60．计算与求值
（1）计算：；
（2）求中的值．
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）先进行绝对值、开方、0指数运算，再相加即可；
（1）先开方，再解一元一次方程即可．
【详解】
解：（1）
（2）
开方得，，
，
解得，或．
【点睛】
本题考查了绝对值、平方根和0指数，掌握基本知识点，熟练运用绝对值法则、0指数的意义和开平方运算是解题关键．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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第二讲
平方根
【提升训练】
一、单选题
1．如图所示长方形中，，长方形内放置两个边长都为的正方形与正方形，若两个正方形重叠部分面积为，长方形未被两个正方形盖住部分面积之和为（阴影部分的面积之和），已知：，则a的值为（
）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．3.5
D．4
2．如示意图，小宇利用两个面积为1
dm2的正方形拼成了一个面积为2
dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．
为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D．利用四个直角边分别为1
dm和3
dm的直角三角形以及一个边长为2
dm的正方形感知dm的大小
3．9
的算术平方根是（
）
A．3
B．－3
C．±3
D．81
4．若，．则的值为（
）
A．
B．4
C．
D．2
5．已知、为实数，且+4＝4b，则的值是（ ）
A．
B．
C．2
D．﹣2
6．已知a、b满足，则的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
7．已知，字母a、b满足＝0，则+++…+的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
8．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（ ）
A．﹣485.8
B．﹣48.58
C．﹣153.6
D．﹣1536
9．若+|y+7|+（z﹣7）2＝0，则的平方根为（ ）
A．±2
B．4
C．2
D．±4
10．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（ ）
A．25
B．49
C．64
D．81
11．下列写法错误的是( )
A．
B．
C．
D．
12．下列各数中，不一定有平方根的是( )
A．x2＋1
B．|x|＋2
C．
D．|a|－1
13．9的平方根是（
）
A．
B．3
C．
D．
14．25的平方根是（
）
A．5
B．
C．
D．
15．实数有平方根，则可以取的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
16．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
x
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256
下面有四个推断：
①＝1.51
②一定有3个整数的算术平方根在15.5～15.6之间
③对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01
④16.22比16.12大3.23
所有合理推断的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①②③④
17．若，，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．1
18．下列说法错误的是
(
)
A．的算术平方根是2
B．-2是4的平方根．
C．0.4的平方根是±2
D．(-5)2的平方根是±5
19．=（
）．
A．10
B．-10
C．±10
D．50
20．计算：（
）
A．－9
B．－3
C．3
D．9
21．已知a2＝25，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（ ）
A．2或12
B．2或﹣12
C．﹣2或12
D．﹣2或﹣12
22．9的平方根是（
）．
A．3
B．±3
C．
D．±81
23．若a、b、c为三角形的三条边，则+|b-a-c|=(
).
A．2b-2c
B．2a
C．2
D．2a-2c
24．下列说法中不正确的是( )
A．是2的平方根
B．是2的平方根
C．2的平方根是
D．2的算术平方根是
25．1的平方根是
A．
B．±
C．1
D．±1
26．若＝0，则x的值是（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
27．2的平方根为（ ）
A．4
B．±4
C．
D．±
28．下列说法：①的倒数是；②是的平方根；③若，则；④若，则与互为补角．其中正确说法的个数有（
）21世纪教育网版权所有
A．个
B．个
C．个
D．个
29．已知，那么的值为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．
30．若+（x+3）2＝0，则x﹣y的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．7
D．﹣7
31．若+(b-3)2=0，则=(
)
A．7
B．-
C．8
D．
32．若x，y为实数，且，则的值是（
）
A．0
B．1
C．-1
D．-2019
33．下列说法中错误的是（
）
A．是0.25的一个平方根
B．正数a的两个平方根的和为0
C．的平方根是
D．当时，没有平方根
34．100的平方根是（
）
A．10
B．±10
C．-10
D．
35．下列命题是假命题的是（ ）
A．0的平方根是0
B．无限小数都是无理数
C．算术平方根最小的数是0
D．最大的负整数是﹣1
36．下列运算正确的是（
）
A．
B．（﹣3ab3）2＝6a2b5
C．2a-2＝
D．
37．若|x-1|
+(y+1)2=0，则(xy)2019的值为(
)
A．1
B．-2019
C．-1
D．2019
38．若实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则（x+y）3的平方根为（ ）
A．4
B．8
C．±4
D．±8
39．的平方根是（ ）
A．
B．
C．±2
D．2
40．观察下表中的数据信息：
x
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
x2
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256
根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（ ）
A．＝1.53
B．241的算术平方根比15.5小
C．根据表中数据的变化趋势，可以推断出16.12将比256增大3.17
D．只有3个正整数n满足15.7＜＜15.8
二、填空题
41．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
x
26
26.1
26.2
26.3
26.4
26.5
26.6
26.7
26.8
26.9
27
x2
676
681.21
686.44
691.69
696.96
702.25
707.56
712.89
718.24
723.61
729
下面有四个推断：
①＝2.62；
②一定有6个整数的算术平方根在26.6～26.7之间；
③对于小于26的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于5.21；
④若一个正方形的边长为26.4，那么这个正方形的面积是696.96．
所有合理推断的序号是___．
42．如图，把图①中的长方形分成、两部分，恰与正方形拼接成如图②的大正方形．如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面积是5，则图①中原长方形的长和宽分别是__________．
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43．已知，则的值是__________；
44．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是_________．
45．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝，又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2，……依此法继续作下去，得OP2017＝_____．
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三、解答题
46．先化简再求值：，其中．
47．计算：．
48．计算：（）﹣2﹣23×0.125+30+|1﹣2|；
49．（1）计算：．
（2）．
50．已知a，b，c满足，请回答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．
（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；21教育网
①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．
②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
51．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间（单位：）与细线的长度（单位：）之间满足关系，当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少（结果保留小数点后一位）？（參考数据：，）
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52．（1）计算：|﹣3|+（﹣1）﹣+（﹣）0；
（2）化简：（a+b）2﹣a（a+2b）．
53．（1）已知，是9的算术平方根，___________________________的平方根＝___________．21·cn·jy·com
（2）已知数与互为相反数，与互为倒数，，式子____________．
（3）已知，且，则__________
54．若+|b—1|+（c—）2=0，求a＋b的平方根及c的值．
55．解方程．
（1）
（2）
（3）
56．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，，，．
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（1）求的面积；
（2）过点作，垂足为，求线段的长．
57．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
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（1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5；
（2）在图2中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（3）在图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、．
58．解答下列各题．
（1）已知，ab＜0，求（b﹣a）a的值．
（2）已知，求的值．
59．在日历上，我们可以发现其中某
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：2·1·c·n·j·y
不难发现，结果都是7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．
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60．计算与求值
（1）计算：；
（2）求中的值．
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精品试卷·第
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