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第二讲
一定是直角三角形吗
【基础训练】
一、单选题
1．如图所示，在正方形中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为的正方形，则下列等式成立的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，在中，，，，即可得出结论．
【详解】
根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，
∴在中，，，，
∴，A选项不符合题意；
根据勾股定理得：，符合题意；
C：，不符合题意；
D：，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
2．如图，数轴上点C所表示的数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3.7
C．3.8
D．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理求出OB的长，得出OC=OB=，
即可得出数轴上点C所表示的数是．
【详解】
解：∵OA=3，AB=2，∠OAB=90°，
∴OB=，
∴OC=OB=
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理与无理数，掌握定理内容准确计算并利用数形结合思想解题是关键．
3．如图是放在地面上的一个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长方体盒子，其中AB＝8cm，BC＝4cm，BF＝6cm，点M在棱AB上，且AM＝2cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10cm
B．4cm
C．6cm
D．2cm
【答案】A
【分析】
利用平面展开图有三种情况需要比较，画出图形利用勾股定理求出MN的长，然后作比较即可．
【详解】
解：如图1中，MN＝（cm），
如图2中，MN＝（cm），
∵10＜2
∴一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为10cm，
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键.
4．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由勾股定理的逆定理逐一分析各选项，从而可得答案．
【详解】
解：
故不符合题意；
故不符合题意；
故符合题意；
故不符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形．”是解题的关键
5．如图所示的是2002年在北京召开的国际
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数学家大会的会标，这个图案是由“弦图”演变而来．“弦图”最早是由三国时期数学家赵爽在注解一部数学著作时给出的，它标志着中国古代的数学成就．这部中国古代数学著作是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．《周髀算经》
B．《几何原本》
C．《九章算术》
D．《孙子算经》
【答案】A
【分析】
根据在《周髀算经》中赵爽提过“赵爽弦图”即可解答．
【详解】
解：根据在《周髀算经》中赵爽提过“赵爽弦图”，
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理，知道“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过是解答的关键．
6．若的三边为下列四组数据，则能判断是直角三角形的是（ ）
A．1、2、2
B．2、3、4
C．6、7、8
D．6、8、10
【答案】D
【分析】
利用勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】
解：
不是直角三角形，故不符合题意；
不是直角三角形，故不符合题意；
不是直角三角形，故不符合题意；
是直角三角形，故符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．
7．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【分析】
根据勾股数的定义：满足的三个正整数、、叫做勾股数，逐一进行判断即可．
【详解】
解：A.
，故此选项错误；
B.
，故此选项错误；
C.
，故此选项正确；
D.
，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股数的概念，熟记勾股数的概念是解题的关键．
8．以下列三个数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（
）
A．1，2，3
B．2，3，4
C．6，8，10
D．9，16，25
【答案】C
【分析】
由勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】
解：故错误；
故错误；
故正确；
故错误；
故选：
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
9．如图
，点
A
表示的实数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据勾股定理、实数和数轴的知识进行解答即可．
【详解】
解：点
A
表示的实数是1-．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了勾股定理、实数和数轴等知识，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
10．如图所示，数轴上点所表示的数为，则的值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理，可得圆的半径，根据圆的性质，可得答案．
【详解】
解：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
∴OB==，
∴OA=OB==，
∴a=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出OB的长是解题关键，又利用了圆的性质．
11．下列四组数中，是勾股数的是（
）
A．0.3，0.4，0.5
B．32，42，52
C．3，4，5
D．，，
【答案】C
【分析】
根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足，称为勾股数．由此判定即可．
【详解】
解：A、能构成直角三角形，但不是整数，不能构成勾股数，故选项错误；
B、
不能构成勾股数，故选项错误；
C、
能构成勾股数，故选项正确；
D、
又不是整数，不能构成勾股数，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股数，勾股定理的逆定理，掌握理解勾股数的含义是解题的关键．
12．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】A
【分析】
求出较小的两条边的平方和，将其与最大的边的平方比较，选其不等的选项即可得出结论．
【详解】
解：A、∵
∴长为的三边不能组成直角三角形；
B、∵
∴长为的三边能组成直角三角形；
C、∵
∴长为的三边能组成直角三角形；
D、∵
∴长为的三边能组成直角三角形．
故选：．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，掌握“如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．21
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com
13．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（
）
A．2、3、4
B．1、1、
C．3、4、5
D．5、12、13
【答案】A
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；
B、∵
∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；
C、∵
∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；
D、∵∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足
那么这个三角形就是直角三角形．
14．由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
分别计算各选项中较短的两边的平方和是否等于最长边的平方，再根据勾股定理的逆定理可得答案．
【详解】
解：由
所以选项A不符合题意；
由
所以选项B不符合题意；
由
所以选项C符合题意；
由
所以选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键．
15．以下列长度（单位：）为边长的三角形是直角三角形的是（
）
A．4，5，6
B．4，6，8
C．5，6，7
D．6，8，10
【答案】D
【分析】
由勾股定理的逆定理逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：由
故A错误；
由
故B错误；
由
故C错误；
由
故D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
16．下列各组数据中，能构成直角三角形的三边边长是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
分别计算较短的两边的平方和，最长边的平方，再按照勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【详解】
解：由
故A不符合题意；
由
故B不符合题意；
由
故不C符合题意；
由
故D符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
17．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
欲判断是否是直角三角形，则需满足较小两边平方的和等于最大边的平方．
【详解】
解：
故A不能构成直角三角形，
故B能构成直角三角形，
故C不能构成直角三角形，
故D不能构成直角三角形．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足
那么这个三角形就是直角三角形．www.21-cn-jy.com
18．下列各组长度的线段中，可以组成直角三角形的是（
）
A．1,2,3
B．3,4,5
C．1,,3
D．5,6,7
【答案】B
【分析】
根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形；
∵，故选项B中的三条线段能构成直角三角形；
∵，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形；
∵，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形；
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
19．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴的交点为，那么点表示的无理数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用勾股定理列式求出OB判断即可．
【详解】
由勾股定理得，OB＝，
∴点C表示的无理数是．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．
20．分别以每一组的三个数为一个三角形的边长：（1），2，；（2）1，1，；（3）9，16，25；（4）7，8，9，其中能构成直角三角形的有（
）
A．4组
B．3组
C．2组
D．1组
【答案】C
【分析】
根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】
解：①，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
②，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
③，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形；
④，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形．
故选：．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握勾股定理的逆定理，准确进行计算并判断．
21．下列是勾股数的一组是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据勾股数的定义，必须是正整数，必须能构成直角三角形判断即可．
【详解】
解：勾股数必须是正整数，故A、B选项不符合题意；
82+152=172，所以C选项符合题意；
，所以D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股数的定义，解题关键是明确勾股数的定义，既要是正整数，又要能构成直角三角形．
22．将一个长为2，宽为1的长方形ABCD按
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图方式放在数轴上，使点A与原点O重合，若以O为圆心，以AC的长为半径画圆，则这个圆与数轴的交点所表示的数是（ ）21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．﹣
C．±
D．±2.5
【答案】C
【分析】
直接利用勾股定理得出OC的长，再利用数轴得出圆与数轴交点表示的数．
【详解】
解：∵长方形ABCD的长为2，宽为1，
∴，
∴以AC的长为半径画圆，则这个圆与数轴的交点所表示的数是±；
故选：C
【点睛】
此题主要考查了实数与数轴以及勾股定理，得出CO的长是解题关键．
23．如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB=5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（
）【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．26
B．13+
C．13
D．2
【答案】B
【分析】
先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．
【详解】
解：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
根据题意，AB=CD=5，AC=BD=，
∵P点位于圆周顶面处，
∴DP=BD=6，则BP=BD-DP=12，
∴小虫爬行的最短路程．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平面展开图最短路径问题，此矩形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．21
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24．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．1、1、2
B．3、4、5
C．1、2、3
D．4、5、6
【答案】B
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、因为1+1=2，不能构成三角形；故此选项不符合题意；
B、因为32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、因为1+2=3，不能构成三角形；故此选项不符合题意；
D、因为42+52≠62，不能构成直角三角形．故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键是熟练运用勾股定理的逆定理加以判断即可．
25．如图，“赵爽弦图”是用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．小正方形面积为4
B．x2+y2＝5
C．x2﹣y2＝7
D．xy＝24
【答案】C
【分析】
根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，
∵（x+y）2＝49，
∴2xy＝24，故D错误，
∴（x﹣y）2＝1，故A错误，
∴x2﹣y2＝7，故C正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是学会用整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．
26．如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】B
【分析】
先将立体图形展开转化为平面图形，再根据“两点之间，线段最短”、勾股定理即可求得结论．
【详解】
解：沿将圆柱体的侧面展开，如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵底面半径是
∴
∴在中，，
∴．
故选：B
【点睛】
本题考查了立体图形转化为平面图形、线段公理的应用以及勾股定理等知识点，能将立体几何问题转化为平面几何问题是解决问题的关键．
27．如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，长为半径作弧，交格线于点D．则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【详解】
解：连接AD，如图所示：
∵AD=AB=2，
∴DE==，
∴CD=，
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键．
28．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（
）
A．1，2，
B．3，4，5
C．5，12，13
D．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理的逆定理分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、∵，
∴1，2，能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；
B、∵，
∴3，4，5能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；
C、∵，
∴5，12，13能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；
D、∵，，，
∴不能作为直角三角形的三边长．故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理逆定理用法是解题的关键．
29．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由题意∠ACB为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长．
【详解】
解：依题意∠ACB为直角，AD=6，
∴CD=6+6=12，
由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，
∴BD2=122+52=169，
所以BD=13，
所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题是勾股定理在实际情况中应用，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．21世纪教育网版权所有
30．如图，用64个边长为的小正方形拼成的网格中，点，，，，，都在格点（小正方形顶点）上，对于线段，，，，长度为无理数的有（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
【答案】C
【分析】
先根据勾股定理求出AB，AC，AD，AE这4条线段的长度，即可得出结果．
【详解】
根据勾股定理计算得：
AB=，
AC=，
AD=，
AE=，
长度为无理数的有2条，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及无理数．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
31．下列数组是勾股数的是（
）
A．2，3，4
B．0.3，0.4，0.5
C．5，12，13
D．8，12，15
【答案】C
【分析】
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，再利用勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】
解：
故不符合题意；
0.3，0.4，0.5首先不是正整数，故不符合题意；
故符合题意；
故不符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是勾股数的含义，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
32．下列以a，b，c为边的三角形，不是直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项分别进行判定，则可得出结论．
【详解】
解：A、因为12＋12＝（）2，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、因为12＋（）2＝22，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、因为32＋42＝52，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、因为22＋22≠32，所以此三角形不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
33．勾股定理是人类最伟大的科学发现之
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．直角三角形的面积
B．最大正三角形的面积
C．较小两个正三角形重叠部分的面积
D．最大正三角形与直角三角形的面积和
【答案】C
【分析】
根据勾股定理得，再由题意得，由次计算即可解题
【详解】
解：设三个正三角形面积分别为（不妨设），两个小正三角形的重叠部分的面积为，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由勾股定理得，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理与几何图形面积，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
34．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B＝∠C+∠A
B．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．a：b：c＝3：4：5
【答案】C
【分析】
由三角形的内角和定理求解可判断由勾股定理的逆定理可判断由三角形的内角和定理求解
可判断
设
则
利用勾股定理的逆定理可判断
【详解】
解：
故不符合题意；
故不符合题意；
不是直角三角形，故符合题意，
设
则
故不符合题意，
故选：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
35．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．若小正方形边长为，大正方形边长为，则一个直角三角形的面积等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据图形的特征先算出4个三角形的面积之和，再除以4，即可求解．
【详解】
由题意得：15×15-3×3=216，
216÷4=54，
故选C．
【点睛】
本题主要考查“赵爽弦图”的相关计算，理清图形中的面积关系，是解题的关键．
36．如图，有一长方体容器，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点爬到点的最短爬行距离是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
画出展开图，从点爬到点的最短爬行距离为的长度，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，当从正面和右侧面爬行时，从点爬到点的最短爬行距离为的长度，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
在中，，，
∴；
如图，当从上面和右侧面爬行时，从点爬到点的最短爬行距离为的长度，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
在中，，，
∴；
如图，当从后面和上面爬行时，从点爬到点的最短爬行距离为的长度，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
在中，，，
∴；
∵，
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，画出展开图找到最短路径是解题的关键．
37．小明学了在数轴上表示无理数的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（ ）
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A．2.2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意可知为直角三角形，再利用勾股定理即可求出OB的长度，从而得出OP长度，即可选择．
【详解】
∵
∴为直角三角形．
∴在中，．
根据题意可知，
∴．
又∵，
∴P点表示的数为．
故选：B．
【点睛】
本题考查数轴和勾股定理，利用勾股定理求出OB的长是解答本题的关键．
38．《九章算术》卷九“勾股”中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ）
A．x2﹣8＝（x﹣3）2
B．x2+82＝（x﹣3）2
C．x2﹣82＝（x﹣3）2
D．x2+8＝（x﹣3）2
【答案】C
【分析】
根据题意设绳索长为x尺，列出方程即可；
【详解】
解：设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了根据勾股定理列方程，准确分析列式是解题的关键．
39．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）21教育网
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A．169
B．25
C．19
D．13
【答案】B
【分析】
首先求出ab的值和a2＋b2的值，然后根据完全平方公式即可求得（a＋b）2的值．
【详解】
∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形面积和为13﹣1＝12，即4×ab＝12，
∴2ab＝12，a2+b2＝13，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝12+13=25，
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用以及勾股定理的运用，本题中求得ab的值是解题的关键．
40．如图是一个三级台阶，它的每一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（ ）
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A．115cm
B．125cm
C．135cm
D．145cm
【答案】B
【分析】
把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
【详解】
解：展开图为：
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则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AC=100cm，∴AB==125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故选：B．21·cn·jy·com
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．
41．一个棱长为2的正方体置于地面之上，为一条棱的中点，若一只蚂蚁从点出发，沿正方体表面爬行到点（下底面不能通过），则它爬行的最短路程为（
）
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A．
B．
C．4
D．6
【答案】B
【分析】
利用两面展开，两点之间相等最短，利用勾股定理求出即可．
【详解】
将点A与点B两面展开，点B为侧棱中点，则BC=1，AC=2×2=4，
AB=，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则它爬行的最短路程为B．
故选择：B．
【点睛】
本题考查两点之间相等最短问题，掌握几何体侧面展开图中，用勾股定理解决问题是关键．
二、填空题
42．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为____．
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【答案】4
【分析】
利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．
【详解】
解：直角三角形直角边的较短边为=6，
正方形EFGH的面积=10×10-8×6÷2×4=100-96=4．
故答案为：4．
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．
43．如图，教室的墙面ADEF与地面
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝50，点P到AD的距离是30，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，则蚂蚁的最短行程为_____．
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【答案】40．
【分析】
可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，
∵AG＝30，AP＝AB＝50，
∴PG＝40，
∴BG＝80，
∴PB＝＝＝40．
故这只蚂蚁的最短行程应该是40．
故答案为：40．
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【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
44．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离是_____．
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【答案】25
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】
解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，
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根据题意得：，，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：，
即，
∴，
故答案为：25．
【点睛】
本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
45．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是___．
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【答案】66
【分析】
根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【详解】
解：
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根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1=42+52，S2=32+42，
于是S3=S1+S2，
即可得S3=16+25+9+16=66．
故答案是：66．
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出S3是解答本题的关键．
46．“赵爽弦图”巧妙的利用面积证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形两直角边分别为，，且，大正方形的面积为，则____．21cnjy.com
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【答案】
【分析】
由题意易得小正方形的边长为，进而可得小正方形的面积为大正方形的面积与四个直角三角形的面积之差，由此可得，最后问题可求解．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：由图及题意可得：小正方形的边长为，则有小正方形的面积为大正方形的面积与四个直角三角形的面积之差，
∵，大正方形的面积为，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查等积法及勾股定理的应用，熟练掌握等积法及勾股定理的应用是解题的关键．
三、解答题
47．如图所示，是格点三角形，按以下要求画出新的格点三角形．
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（1）在图1中画出，使得和全等
（2）在图2中画出，使得和的面积相等，且的周长小于的周长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）以AB为公共边，画出△ABD即可；
（2）找到点E，使点E到AB的距离等于点C到AB的距离，再结合周长关系画图即可．
【详解】
解：（1）如图所示，△ABD即是所求图形，满足和全等．
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（2）如图所示，三角形ABE即为所示图形，
△ABE的面积==，
△ABC的面积=，
AC=3，BC=，AB=，AE=，BE=，
的周长为：，
的周长为：，
而=，
∴满足和的面积相等，且的周长小于的周长．
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【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，勾股定理和无理数，关键是能根据题意正确地画出图形，题目比较好，主要训练学生的理解能力和画图能力．
48．如阳，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
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（1）图2中拼成的正方形的面积是___________；边长是_________；（填实数）
（2）请你在图3中画一个边长为的正方形，要求所面正方形的顶点都在格点上．
（3）请仿图2的形式把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形，请直接写出拼出的正方形边长．
【答案】（1）5，；（2）见解析（3）
【分析】
（1）根据正方形的面积求出边长，即可得解；
（2）根据正方形的面积求出边长为，再利用勾股定理作出正方形即可；
（3）根据勾股定理作边长为的边，并剪出两个直角三角形，然后拼接成正方形即可．
【详解】
解：（1）正方形的面积为5，
边长为；
故答案为：5，；
（2）如图所示：
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（3）如图所示：
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它的边长为：．
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，主要利用了正方形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的面积，勾股定理，根据面积求出边长，再利用勾股定理作出相应边长的正方形即可，灵活掌握并运用网格结构是解题的关键．
49．已知在如图的方格中，有一个格点三角形ABC（三个顶点均在格点上），其中，，
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（1）请你在方格中画出该三角形；
（2）求的面积；
（3）求中AC边上的高的长（结果保留根号）．
【答案】（1）见解析；（2）3；（3）
【分析】
（1）根据，，来找出该三角形是三条边，然后顺次连接；
（2）三角形的面积矩形的面积三个小三角形的面积；
（3）由面积法来求中边上的高的长．
【详解】
解：（1）如图，作图（不含；
（2）；
（3）如图，过点作于点，则．
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【点睛】
本题考查了勾股定理的应用和求三角形的高．注意，勾股定理应用于直角三角形中．
50．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB
上一点，BD＝9，CD＝12
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．
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【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由证明从而可得答案；
（2）设
则
再利用勾股定理列方程：解方程可得答案．
【详解】
证明：（1）
（2）
设
则
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解题的关键．
51．阅读下列材料，并回
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)答问题，事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：
（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______．
（2）如图，于，，，，，求的长度．
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（3）如图，点在数轴上表示的数是多少？请用类似的方法在图数轴上画出表示数的点（保留作图痕迹）
【答案】（1）10；（2）；（3），见解析
【分析】
（1）依据勾股定理进行计算，即可得到这个直角三角形斜边长；
（2）依据勾股定理得AD=，进而得出BD=AD=；
（3）依据勾股定理，即可得到点A表示的数以及点B的位置．
【详解】
解：（1）由勾股定理可得，这个直角三角形斜边长为10
故答案为：10
（2）∵
∴∠ADC=90°
在中，
（3）点在数轴上表示的数是：
如图，在Rt△OBC中，OB=OC=
∴点B即为所求
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【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方是解题的关键．
52．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形说明；
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【答案】见解析
【分析】
根据题意，可在图中找出等量关系，由大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
【详解】
解：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，
∴，
即．
【点睛】
本题考查了对勾股定理的证明，解决问题的关键是在图中找出等量关系．
53．已知：如图，四边形ABCD，∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，CD＝15，BC＝25．
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
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【答案】（1）BD＝20；（2）S四边形ABCD＝246．
【分析】
（1）由∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，利用勾股定理：BD2＝AD2+AB2，从而可得答案；
（2）利用勾股定理的逆定理证明：∠CDB＝90°，再由四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和可得答案．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：（1）∵∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，
∴BD2＝AD2+AB2，
∴BD2＝122+162，
∴BD＝20；
（2）∵BD2+CD2＝202+152＝625，
CB2＝252＝625，
∴BD2+CD2＝CB2，
∴∠CDB＝90°，
∴S四边形ABCD＝SRt△ABD+SRt△CBD，
＝246．
【点睛】
本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
54．Rt△AB
C中，∠ACB=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，△ABP为直角三角形？【来源：21cnj
y.co
m】
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【答案】4或12.5
【分析】
分当∠AP1B=90°，△ABP1为直角三角形时和当∠BAP2=90°，△ABP2为直角三角形时两种情况讨论即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC2+AC2=AB2
∴BC2+62=102
∴BC=8，
当∠AP1B=90°，△ABP1为直角三角形时，P1在C处，即BP1=8，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴8÷2=4（s）；
当∠BAP2=90°，△ABP2为直角三角形时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
设BP2为x，则CP2=x-8
在△ACP2中，由勾股定理得：
AC2+CP22=AP22
∴62+（x-8）2=AP22
在△BAP2中，由勾股定理得：
AB2+AP22=BP22
∴AP22=
BP22-
AB2=x2-102
∴x2-102=62+（x-8）2
∴x=12.5．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用．
55．数学课上，同学们就
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)勾股定理的验证方法展开热烈的讨论．下面是创新小组验证过程的一部分．请你认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整．
如图是两张三角形纸片拼成的图形，其中，，，，，点在线段上，点，在边异侧，拼成的，
试说明：．
验证如下：连接，．
∵点在线段上，
∴．
∵．
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【答案】见解析
【分析】
由图可结合等积法进行代入求解即可．
【详解】
过程如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的证明，关键是根据图中的面积法进行验证勾股定理即可．
56．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）请求出AC+CE的最小值．
（2）请构图求出代数式+的最小值．
【答案】（1）10；（2）+的最小值为13
【分析】
（1）根据两点之间线段最短可知：AE的长即为AC+CE的最小值，然后利用勾股定理求值即可；
（2）先将代数式利用配方法变形，如解图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC、AE，已知AB=2，DE=3，BD=12，设BC=x，则CD=12－x，根据勾股定理可证+的最小值即为AC＋CE的最小值，过点A作AF⊥ED，交ED延长线于F，利用勾股定理求出AE即可．
【详解】
解：（1）过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于F，连接AE
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根据题意可得BF=DE=1，EF=BD=8
∴AF=AB＋BF=6
根据两点之间线段最短可得：AC+CE≥AE，即AE的长即为AC+CE的最小值，
在Rt△AEF中，AE=
即AC+CE的最小值为10；
（2）+
=+
=+
如下图所示，C为线段BD上一动点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC、AE，已知AB=2，DE=3，BD=12，设BC=x，则CD=12－x【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴AC=，CE=
∴+的最小值即为AC＋CE的最小值
由（1）可知：AE即为AC＋CE的最小值
过点A作AF⊥ED，交ED延长线于F
∴AF=BD=12，DF=AB=2
∴EF=DF＋DE=5
在Rt△AEF中，AE=
即+的最小值为13．
【点睛】
此题考查的是最短路径问题和勾股定理的应用，利用数形结合，构造适当的直角三角形是解题关键．
57．如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的下面点爬到对应上面点，已知圆柱的底面半径为，高为．试求蚂蚁所走过的最短路径．（取3）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】蚂蚁所走过的最短路径为．
【分析】
先将侧面展开把和展开到一个平面内，BC是半周长，矩形的宽，
根据勾股定理得：
【详解】
侧面展开图如图所示：
可以把和展开到一个平面内，
即圆柱的半个侧面是矩形：
矩形的长，矩形的宽，
在直角三角形中，，，
根据勾股定理得：.
故答案为：.
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【点睛】
本题考查勾股定理以及圆柱体侧面展开图的最短路径问题，熟练应用勾股定理是解题关键
58．如图是美国总统Garfie
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ld于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
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【答案】详见解析
【分析】
此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．
【详解】
证明：∵．
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
59．学校要征收一块土地，形状如图所示，，，，，土地价格为1000元，请你计算学校征收这块地需要多少钱？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】学校征收这块地需要234000元．
【分析】
利用勾股定理进行综合计算即可．
【详解】
如图，连接AC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在中，，，，
由勾股定理得：．．
在中，，，
由勾股定理得：，．
所以四边形的面积为：．
（元）．
答：学校征收这块地需要234000元．
【点睛】
本题考查了勾股定理的是实际应用，熟练掌握勾股定理，结合题意准确计算是解决本题的关键．
60．如图，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）试判断以点为顶点的三角形的形状，并说明理由；
（2）求该图的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）24m2
【分析】
（1）连接，根据勾股定理逆定理判断即可；
（2）由（1）得大三角形是直角三角形，用△ABC的面积减去△ADC的面积即可；
【详解】
（1）连接，
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由勾股定理可知：
，
又，
是直角三角形；
（2）这块地的面积的面积的面积．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，准确计算是解题的关键．
61．有一架秋千,当它静止时，踏板
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)离地的垂直高度DE=1m，将它往前推送5m(水平距离BC=5m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度?2·1·c·n·j·y
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【答案】
【分析】
设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC=（x-2）m，利用勾股定理可得x2=52+（x-2）2．
【详解】
解：设秋千的绳索长为xm，根据题意可列方程为：
解得：x=，
答：绳索AD的长度是m.
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．21教育名师原创作品
62．美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”．
如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，验证勾股定理．
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【答案】见解析
【分析】
梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证．
【详解】
解：如图，
梯形的面积==，
化简可得：=，得证．
【点睛】
此题考查了勾股定理的证明，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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第二讲
一定是直角三角形吗
【基础训练】
一、单选题
1．如图所示，在正方形中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为的正方形，则下列等式成立的是（
）【版权所有：21教育】
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A．
B．
C．
D．
2．如图，数轴上点C所表示的数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3.7
C．3.8
D．
3．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中AB＝8cm，BC＝4cm，BF＝6cm，点M在棱AB上，且AM＝2cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10cm
B．4cm
C．6cm
D．2cm
4．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图所示的是2002年在北京召开的国际
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数学家大会的会标，这个图案是由“弦图”演变而来．“弦图”最早是由三国时期数学家赵爽在注解一部数学著作时给出的，它标志着中国古代的数学成就．这部中国古代数学著作是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．《周髀算经》
B．《几何原本》
C．《九章算术》
D．《孙子算经》
6．若的三边为下列四组数据，则能判断是直角三角形的是（ ）
A．1、2、2
B．2、3、4
C．6、7、8
D．6、8、10
7．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
8．以下列三个数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（
）
A．1，2，3
B．2，3，4
C．6，8，10
D．9，16，25
9．如图
，点
A
表示的实数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
10．如图所示，数轴上点所表示的数为，则的值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
11．下列四组数中，是勾股数的是（
）
A．0.3，0.4，0.5
B．32，42，52
C．3，4，5
D．，，
12．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
13．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（
）
A．2、3、4
B．1、1、
C．3、4、5
D．5、12、13
14．由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
15．以下列长度（单位：）为边长的三角形是直角三角形的是（
）
A．4，5，6
B．4，6，8
C．5，6，7
D．6，8，10
16．下列各组数据中，能构成直角三角形的三边边长是（
）
A．
B．
C．
D．
17．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
18．下列各组长度的线段中，可以组成直角三角形的是（
）
A．1,2,3
B．3,4,5
C．1,,3
D．5,6,7
19．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴的交点为，那么点表示的无理数是（
）21教育网
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A．
B．
C．
D．
20．分别以每一组的三个数为一个三角形的边长：（1），2，；（2）1，1，；（3）9，16，25；（4）7，8，9，其中能构成直角三角形的有（
）21cnjy.com
A．4组
B．3组
C．2组
D．1组
21．下列是勾股数的一组是（
）
A．
B．
C．
D．
22．将一个长为2，宽为1的长方形ABCD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)按如图方式放在数轴上，使点A与原点O重合，若以O为圆心，以AC的长为半径画圆，则这个圆与数轴的交点所表示的数是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．
B．﹣
C．±
D．±2.5
23．如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB=5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（
）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．26
B．13+
C．13
D．2
24．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．1、1、2
B．3、4、5
C．1、2、3
D．4、5、6
25．如图，“赵爽弦图”是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．小正方形面积为4
B．x2+y2＝5
C．x2﹣y2＝7
D．xy＝24
26．如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．无法确定
27．如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，长为半径作弧，交格线于点D．则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
28．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（
）
A．1，2，
B．3，4，5
C．5，12，13
D．
29．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
30．如图，用64个边长为的小正方形拼成的网格中，点，，，，，都在格点（小正方形顶点）上，对于线段，，，，长度为无理数的有（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
31．下列数组是勾股数的是（
）
A．2，3，4
B．0.3，0.4，0.5
C．5，12，13
D．8，12，15
32．下列以a，b，c为边的三角形，不是直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
33．勾股定理是人类最伟大的科学发现之
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（
）
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A．直角三角形的面积
B．最大正三角形的面积
C．较小两个正三角形重叠部分的面积
D．最大正三角形与直角三角形的面积和
34．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B＝∠C+∠A
B．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．a：b：c＝3：4：5
35．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．若小正方形边长为，大正方形边长为，则一个直角三角形的面积等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
36．如图，有一长方体容器，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点爬到点的最短爬行距离是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
37．小明学了在数轴上表示无理数的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2.2
B．
C．
D．
38．《九章算术》卷九“勾股”中记
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ）
A．x2﹣8＝（x﹣3）2
B．x2+82＝（x﹣3）2
C．x2﹣82＝（x﹣3）2
D．x2+8＝（x﹣3）2
39．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．169
B．25
C．19
D．13
40．如图是一个三级台阶，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．115cm
B．125cm
C．135cm
D．145cm
41．一个棱长为2的正方体置于地面之上，为一条棱的中点，若一只蚂蚁从点出发，沿正方体表面爬行到点（下底面不能通过），则它爬行的最短路程为（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．4
D．6
二、填空题
42．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为____．21
cnjy
com
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43．如图，教室的墙面A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝50，点P到AD的距离是30，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，则蚂蚁的最短行程为_____．【出处：21教育名师】
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44．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离是_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
45．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是___．21世纪教育网版权所有
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46．“赵爽弦图”巧妙的利用面积证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形两直角边分别为，，且，大正方形的面积为，则____．【来源：21cnj
y.co
m】
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三、解答题
47．如图所示，是格点三角形，按以下要求画出新的格点三角形．
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（1）在图1中画出，使得和全等
（2）在图2中画出，使得和的面积相等，且的周长小于的周长．
48．如阳，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
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（1）图2中拼成的正方形的面积是___________；边长是_________；（填实数）
（2）请你在图3中画一个边长为的正方形，要求所面正方形的顶点都在格点上．
（3）请仿图2的形式把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形，请直接写出拼出的正方形边长．
49．已知在如图的方格中，有一个格点三角形ABC（三个顶点均在格点上），其中，，
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（1）请你在方格中画出该三角形；
（2）求的面积；
（3）求中AC边上的高的长（结果保留根号）．
50．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB
上一点，BD＝9，CD＝12
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．
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51．阅读下列材料，并回答问题，事实上
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：
（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______．
（2）如图，于，，，，，求的长度．
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（3）如图，点在数轴上表示的数是多少？请用类似的方法在图数轴上画出表示数的点（保留作图痕迹）
52．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形说明；
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53．已知：如图，四边形ABCD，∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，CD＝15，BC＝25．
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
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54．Rt△AB
C中，∠ACB=90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，△ABP为直角三角形？www-2-1-cnjy-com
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55．数学课上，同学们就勾股定理的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)验证方法展开热烈的讨论．下面是创新小组验证过程的一部分．请你认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整．
如图是两张三角形纸片拼成的图形，其中，，，，，点在线段上，点，在边异侧，拼成的，
试说明：．
验证如下：连接，．
∵点在线段上，
∴．
∵．
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56．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．
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（1）请求出AC+CE的最小值．
（2）请构图求出代数式+的最小值．
57．如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的下面点爬到对应上面点，已知圆柱的底面半径为，高为．试求蚂蚁所走过的最短路径．（取3）
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58．如图是美国总统Garfield于1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
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59．学校要征收一块土地，形状如图所示，，，，，土地价格为1000元，请你计算学校征收这块地需要多少钱？
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60．如图，．
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（1）试判断以点为顶点的三角形的形状，并说明理由；
（2）求该图的面积．
61．有一架秋千,当它静止时，踏板离
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)地的垂直高度DE=1m，将它往前推送5m(水平距离BC=5m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度?21·cn·jy·com
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62．美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”．
如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，验证勾股定理．21·世纪
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