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第二讲
一定是直角三角形吗
【提升训练】
一、单选题
1．如图，数轴上点C所表示的数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．3.6
D．3.7
【答案】A
【分析】
利用数轴表示数得到OA＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)3，利用基本作图得到AB＝2，再利用勾股定理计算出OB，从而得到OC的长，然后利用数轴表示数的方法得到C点表示的数．
【详解】
解：∵OA＝3，AB＝3﹣1＝2，
∴OB，
∴OC＝OB，
∴点C表示的数为．
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一一对应关系；利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．也考查了基本作图．
2．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答案．
【详解】
标记如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4
＝a2﹣2ab+b2．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是利用勾股定理的证明，可以完全平方公式进行证明，掌握面积差得算式是解决此题关键．
3．下图是英国牧师佩里加尔证明勾股定理的“水车翼轮法”，在中，，互相垂直的线段将正方形分为面积相等的四部分，这四个部分和以为边的正方形恰好拼成一个以为边的正方形．若正方形的面积为5，的面积为1，则正方形的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】C
【分析】
观察图形可知，正方形PMQN的面积=5+1×4=9，再加上4个1可求正方形CBFH的面积．
【详解】
解：连接PM，PN，NQ，在最大正方形中作出小正方形，
观察图形可知，正方形PMQN的面积=作出小正方形的面积=5+1×4=9，
则正方形CBFH的面积9+1×4=13．
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．现分别在上取点N，M（如图2），使得，连结．记的面积为，的面积为．若正方形的面积为，且，则的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】A
【分析】
如图2中，设，，构建方程组求出，即可解决问题．
【详解】
解：如图2中，设，，
则有，
解得，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理、弦图，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考选择题中的压轴题．www-2-1-cnjy-com
5．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，设直角三角形两直角边的长分别为a、b（），斜边的长为c．做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．32
B．36
C．46
D．49
【答案】B
【分析】
证明≌，得到，再证明≌，从而推出，化简得到，再根据，得到，结合两式可得，从而计算结果．
【详解】
解：在与中，
，
∴≌（HL），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴≌（ASA），
∴
，
∴，
即，
化简得：①，
又∵，
∴，
∴②，
，得：，
∴．
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等，根据图形面积得到相应等式，从而进行计算．
6．有一个边长为1的正方形，经过一次“
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2022
B．2021
C．2020
D．1
【答案】A
【分析】
根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】
解：由题意得，正方形A的面积为1，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2022．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．7
C．12
D．15
【答案】C
【分析】
先根据勾股弦图是由4个直角三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的面积加上小正方形的面积构成得到一个直角三角形的面积，在利用勾股定理和完全平方公式计算出一个直角三角形的两直角边的和，再加上斜边即可．
【详解】
设直角三角形两条直角边长分别为和，
由题意可知：中间小正方形的边长为：，
根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：
，
所以，
根据勾股定理，得，
所以，
因为，
所以，
所以．
所以一个直角三角形的周长是12．
故选：．
【点睛】
本题考查勾股定理及赵爽弦图、灵活使用完全平方公式是本题的关键．
8．如图，是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若知道图中阴影部分面积，一定能求出（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设小直角三角形的面积为S，每个阴影部分的面积为，根据题意，得-=4S，
-=4+4S，整理，得=4，自然得解．
【详解】
设小直角三角形的面积为S，每个阴影部分的面积为，根据题意，得-=4S，
-=4+4S，整理，得=4，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选D．
【点睛】
本题考查了弦图中的面积计算，熟练掌握图形的分割方法，准确确定图形的面积和是解题的关键．
9．如图所示，是用4个全等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
【详解】
解：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2=AB2=49，
故本选项正确；
②由图可知，x-y=CE==2，
故本选项正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为
4××xy+4=49，即2xy+4=49；
故本选项正确；
④由2xy+4=49可得2xy=45（1），
又∵x2+y2=49（2），
∴（1）+（2）得，x2+2xy+y2=49+45，
整理得，（x+y）2=94，x+y=≠9，
故本选项错误．
∴正确结论有①②③．
故选C．
【点睛】
本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
10．如图，O为数轴的原点，数轴上
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点A、B表示的数分别是1和2，CA⊥OA于点A，且AC=OA；DB⊥OB于点B，且DB=OA；以点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点E；以点O为圆心，OD长为半径画弧，交数轴于点F；则点E和点F表示的数分别是（）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1.4，2.2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据勾股定理及数轴性质解答
．
【详解】
解：由题意可得：
，
，
∴点E和点F表示的数分别是，
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理及数轴的综合应用，熟练掌握勾股定理的应用及用数轴表示数的方法是解题关键．
11．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1或4
B．4
C．1
D．2或4
【答案】B
【分析】
3和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长=2，即可得出小正方形的面积；即可得出结果．
【详解】
解：3和5为两条直角边长时，
小正方形的边长=5-3=2，
∴小正方形的面积22=4；
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，理解直角三角形的边长与小正方形的边长之间的关系是解答此题的关键．
12．如图所示，一个圆柱体高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程
取是（
）
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A．12cm
B．10cm
C．20cm
D．无法确定
【答案】B
【分析】
先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
底面半径为2cm，
，
在中，
，，
．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查的是平面展开，最短路径问题，立方体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理的应用的有关知识．解题的关键是综合运用以上知识解决问题．
13．如图，长方体的长为8，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)宽为10，高为6，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，
∴BD=CD+BC=10+2=12，AD=6，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，
∴BD=CD+BC=6+2=85，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，
∴AC=CD+AD=6+10=16，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB=；
∵，
∴蚂蚁爬行的最短距离是，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
14．如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（
）
A．3，4，5
B．，，
C．5，13，12
D．，，1
【答案】B
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、∵32+42＝52，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
B、∵，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
C、∵52+122＝132，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、∵，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．21教育网
15．下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（
）
A．；
B．；
C．；
D．．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】
解：
，，，
∵，且，
∴为三角形的三边可以构成直角三角形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是准确进行计算，熟练运用勾股定理逆定理进行判断．
16．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为48，小正方形面积为6，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x>y），则的值为（
）
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A．60
B．79
C．84
D．90
【答案】D
【分析】
根据勾股定理流出方程，进而利用完全平方公式解答即可．
【详解】
解：∵大正方形的边长是直角三角形的斜边长，
∴根据勾股定理可得：，
根据小正方形面积可得，
∴2xy+6=48，
∴2xy=42，
则，
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理、完全平方公式，解题的关键是利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想．
17．如图，已知图中所有的四边形都是正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，正方形A，B，C，D的面积分别为S1，S2，S3，S4，且S1＞S2，S3＞S4，则下列结论正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．S1?S4＝k2S2
B．S1+S4＝S22
C．S1?S4＝S22
D．S1+S4＝kS2
【答案】C
【分析】
设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分别用含b和含a的式子表示出最大正方形的边长、正方形D左侧的正方形的边长及最大正方形下方直角三角形的最长边；再分别表示出S1，S2，S4；然后在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得出b2与a2的数量关系；最后观察并计算可得出答案．
【详解】
解：设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，
∵其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，
∴最大正方形的边长为kb，正方形D左侧的正方形的边长为ka，
∴最大正方形下方直角三角形的最长边为k2a，
∴S1＝（kb）2﹣b2，
＝（k2﹣1）b2，
S2＝b2，
S4＝a2，
在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得：
（ka）2+（kb）2＝（k2a）2，
∴a2+b2＝k2a2，
∴b2＝（k2﹣1）a2，
∴S1＝（k2﹣1）2a2，
∴S1?S4＝（k2﹣1）2a2?a2，
＝[（k2﹣1）a2]2，
＝；
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形和正方形中的运用，数形结合并正确找到相关线段的数量关系是解题的关键．
18．下列说法中，错误的是（ ）
A．在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5．则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a：b：c＝1：2：，则△ABC是直角三角形
【答案】B
【分析】
A、B、C选项先根据三角形内角和定理计算出△ABC中最大角的度数，再依据直角三角形定义进行判断，D选项根据勾股逆定理进行判断即可．
【详解】
解：A、在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，可得∠A＝180°×（1++）＝90°，则△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得∠C＝180°×＝75°，则△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、12+（）2＝22，所以△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键．
19．如图，正方形ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S7的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．?
B．?
C．?
D．?
【答案】A
【分析】
根据题意求出面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长，得到S2，同理求出S3，根据规律解答．
【详解】
解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长为，
则，
面积标记为S3的等腰直角三角形的直角边长为，
则，
…..
则S7的值为：，
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质等．能通过计算找出一般性规律是解题关键．
20．如图，已知正方体纸盒的高为1，已知一只
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)蚂蚁从其中一个顶点A，沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】
从正方体外部可分三类走法直接走AB对角线，先走折线AD-DB，或走三条棱，求出其长度，比较大小即可
【详解】
方法一：走两个正方形两接的面展开成日字形的对角线
在三角形ABC中，由勾股定理AB=；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
方法二：走一面折线AD-BD，由勾股定理BD=
AD+DB=；
方法三折线AE-ED-DB即AE+ED+DB=3；
在正方体外部表面走有这三类走法，
∵5<9，
∴，
∵2>1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
蚂蚁爬行的最短距离是．
故选择：C．
【点睛】
本题考查蚂蚁爬行最短路径问题是考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用方法，会利用图形分析行走路径是解题关键．
21．若的三边长a、b、c满足，那么是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【答案】B
【分析】
先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可．
【详解】
解：，
移项得，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了运用完全平方公式因式
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．
22．图中不能证明勾股定理的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】A
【分析】
根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项．
【详解】
解：A选项不能证明勾股定理；
B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得；
C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式，可得；
D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式，可得．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．
23．勾股定理是几何中的一个重要定理，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．121
B．110
C．100
D．90
【答案】B
【分析】
延长交于点，延长交于点，可得四边形是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形．
，
，
又直角中，，
，
在和中，
，
，
，
同理：，
，
，
所以，矩形是正方形，
边长，
所以，，，
因此，矩形的面积为，
故选B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．
24．已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．cm
B．5cm
C．cm
D．4.5cm
【答案】B
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿，，，剪开，得图
；
（2）沿，，，，，剪开，得图
；
（3）沿，，，，，剪开，得图
；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以，即．
故选：B．
【点睛】
此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．
25．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，则图中阴影部分的面积之和为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用勾股定理求出DH和AH，根据全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2，根据全等三角形的判定可证AEM≌CGN，AHN≌CFM，从而得出S△AEM=
S△CGN，S△AHN
=
S△CFM，即可求出S四边形MFGN，最后根据S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN即可求出结论．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：∵AH=3DH，且S正方形ABCD，
∴AH2＋DH2=AD2=21
即（3DH）2＋DH2=21
解得：DH=，
∴AH=
由全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2
∴正方形EFGH的边长EH=AH－AE=，S△FGN=2S△CGN
∵AH∥CF
∴∠HEN=∠FCM
∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF
∴AEM≌CGN，AHN≌CFM
∴S△AEM=
S△CGN，S△AHN
=
S△CFM
∴S四边形MFGN=
S△CFM－S△CGN=
S△AHN－S△AEM=S四边形EMNH=S正方形EFGH=×=
∵S△FGN=2S△CGN
∴S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN
=
S△MNF＋2S△CGN
=
S△MNF＋S△FGN
=
S四边形MFGN
=
故选B．
【点睛】
此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质和各图形的面积公式是解决此题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
26．“赵爽弦图”巧妙地利用面积
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知
=21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
【详解】
由于大正方形的边长为，又大正方形的面积为13，
即，而小正方形的面积表达式为，而小正方形的面积表达式为
故本题正确答案为C．
【点睛】
本题主要考查直角三角形，用到勾股定理的证明，正确计算是解题的关键．
27．我国汉代数学家赵爽为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．S1＝2
B．S2＝3
C．S3＝6
D．S1+S3＝8
【答案】D
【分析】
根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出，，再根据三个正方形面积公式列式相加：，求出的值，从而可以计算结论即可．
【详解】
解：八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键．21·cn·jy·com
28．如图所示，是由北京国际数学家大
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中∠MA1A2＝∠MA2A3…＝∠MAnAn+1＝90°，（n为正整数），若M点的坐标是（﹣1，2），A1的坐标是（0，2），则A22的坐标为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．（﹣1﹣29，2﹣29）
B．（1﹣29，2﹣29）
C．（﹣1﹣210，2﹣210）
D．（1﹣210，2﹣210）
【答案】C
【分析】
根据题意观察并探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】
解：观察图象可知，点的位置是8个点一个循环，
∴A22与A6，A14的位置都在第三象限，且在直线y＝x+3上，
∵第一个等腰直角三角形的直角边为1，第二个等腰直角三角形的边长为，…，第n个等腰直角三角形的边长为（）n-1，
∴第22个等腰直角三角形的边长为（）21，可得A22M＝（）21，
直角边长为，
∴A22（﹣1﹣210，2﹣210），
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
29．如图，一个底面周长为24，高为5的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点到点所经过的最短路线长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先将圆柱圆的侧面沿着点A所在的棱线剪开，得到长方形，得到AC=5cm,BC=cm，由此即可以利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路线AB的长.
【详解】
如图，沿着点A所在的棱线剪开，此时AC=5cm,BC=cm，
∴蚂蚁爬行的最短路线AB=cm，
故选：B.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查勾股定理，根据题意构
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)建直角三角形是解题的关键.蚂蚁爬行的路线问题，是将蚂蚁爬行的面展开得到平面图形，利用“两点之间线段最短“将起点与终点连接成线段，再求出该线段的长度即可解决问题.
30．棱长分别为的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
当E1F1在直线EE1上时，，得到AE=1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)4，PE=9，由勾股定理求得AP的长；当E1F1在直线B2E1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP的长,两者进行比较即可确定答案
【详解】
①
当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm，PE=6+3=9cm，
由勾股定理得
②
当展开方法如图2时，AP1=8+6+3=17cm，PP1=6cm，
由勾股定理得
∵
∴蚂蚁爬行的最短距离是
,
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的
31．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c三个正方形的面积之和为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．11
B．15
C．10
D．22
【答案】B
【分析】
由直角三角形的勾股定理以及正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方形的面积公式不难发现：a的面积等于1号的面积加上2号的面积，b的面积等于2号的面积加上3号的面积，c的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和.【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
利用勾股定理可得：
，，
∴
故选B
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
32．如图，正方形ABCD的边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．（）2013
B．（）2014
C．（）2013
D．（）2014
【答案】C
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律“Sn=()n?3”，依此规律即可得出结论．21
cnjy
com
【详解】
解：在图中标上字母E，如图所示．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1．
观察，发现规律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，…，
∴Sn=()n?3．
当n=2016时，S2016=()2016?3=()2013．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“Sn=()n?3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
33．如图所示，用四个全等的直角三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.用，表示直角三角形的两直角边（），请仔细观察图案.下列关系式中不正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用勾股定理和正方形的面积公式，对公式进行合适的变形即可判断各个选项是否争取.
【详解】
A中，根据勾股定理等于大正方形边长的平方，它就是正方形的面积，故正确；
B中，根据小正方形的边长是2它等于三角形较长的直角边减较短的直角边即可得到，正确；
C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；
D中,根据A可得，C可得，结合完全平方公式可以求得，错误.
故选D.
【点睛】
本题考查勾股定理.在A、B、C选项的等式中需理解等式的各个部分表示的几何意义，对于D选项是由A、C选项联立得出的.
34．如图，一个含有角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，若的长为，那么的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接AA′．构建Rt△ABA′；由旋转的性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质可以推知BC=B′C，AC=A′C；根据图示知Rt△ABC中的∠A=30°，由30°所对的直角边是斜边的一半可以求得AC=30cm，由勾股定理可以求得AB=15cm；最后在根据线段间的和差关系求得A′B=BC+CA′=BC+AC=45cm，根据勾股定理在Rt△ABA′中求得AA′的值即可．
【详解】
连接AA′，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵△A′B′C是由△ABC按顺时针
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方向旋转得到的，
∴BC=B′C，AC=A′C；
又∵△ABC是含有一个30°角的直角三角形，
∴从图中知，∠BAC=30°，
∴AC=2BC，AB=BC；
而BC=15cm；
∴在Rt△ABA′中，
AB=15cm，A′B=BC+CA′=BC+AC=45cm，
∴AA′=.
故选：C.
【点睛】
本题综合考查了勾股定理、含30°角的直角三角形以及旋转的性质．在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键．
35．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12
cm，高是20
cm，那么所需彩带最短的是( )
A．13
cm
B．4cm
C．4cm
D．52
cm
【答案】D
【分析】
本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm，
∵∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，
∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202，
所以彩带最短是52cm．
故选D．
【点睛】
本题考查了平面展开??最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，
36．如图，是一长、宽都是3
cm，高BC＝9
cm的长方体纸箱，BC上有一点P，PC＝BC，一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6cm
B．3cm
C．10
cm
D．12
cm
【答案】A
【分析】
将图形展开，可得到安排AP较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可．
【详解】
解：(1)如图1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，
在Rt△ADP中，AP=＝3cm
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
((2)如图2，
AC=6cm，CP=6cm，
Rt△ADP中，AP==
cm
综上，蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是cm．
故选A．
【点睛】
题考查了平面展开--最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键．
37．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2018的值为( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律.
【详解】∵OP=1，OP1=
OP2=，OP3==2，
∴OP4=，
…，
OP2018=．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键．
38．我国古代伟大的数学家
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（
???）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20
B．24
C．
D．
【答案】B
【分析】
设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x）,另一边为（b+x）,根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽，列出方程，化简再代入a,b的值，得出x2＋7x=12，再根据矩形的面积公式，整体代入即可.
【详解】
设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据题意得
：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x）,
化简得
：ax+x2+bx-ab=0，
又∵
a
=
3
，
b
=
4
，
∴x2＋7x=12;
∴该矩形的面积为=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.
故答案为B.
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.
39．适合下列条件的△ABC中,
直角三角形的个数为
①②，∠A=45°;③∠A=32°,
∠B=58°；
④⑤⑥
⑦⑹
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】C
【解析】
根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：，故①不能构成直角三角形；
当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；
根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；
根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形；
由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；
令a=3x，b=4x，c=5x，可知a2+b2=c2，故⑥能够成直角三角形；
根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；
由a2=5，b2=20，c2=25，可知a2+b2=c2，故⑧能够成直角三角形.
故选：C.
点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.
40．如图，长方体的底面边长分别为厘米和厘米，高为厘米.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（
）厘米
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8
B．10
C．12
D．13
【答案】D
【详解】
试题解析：如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．
∴PA=4+2+4+2=12（cm），QA=5cm，
∴PQ==13cm．
故选D．www.21-cn-jy.com
二、填空题
41．已知一个等腰三角形纸板的顶角为，腰长为．采用先把它剪开成两个部分，再利用所得的两个部分重新拼接出三角形纸板的方法，将其改造成一个新的三角形纸板（不重不折）．在利用这个方法所得到的新的三角形纸板中，周长的最大值为__________．
【答案】
【分析】
取AC的中点R，连接BR，过点A作AT∥BC交BR的延长线于T，则△ART≌△CRB，此时△ABT的周长最大．
【详解】
取AC的中点R，连接BR．过点A作AT
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∥BC交BR的延长线于T，过点T作TH⊥BA交BA的延长线于H．则△ART≌△CRB，此时△ABT的周长最大．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴△ABT的周长为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查图形的拼剪，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
42．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（和），门边沿D，C两点到门槛的距高是1尺（1尺=10寸），两扇门的间隙为2寸，则门槛为_______寸．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】101
【分析】
画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
设单门的宽度AO是x寸，则AE=x-1，DE=10寸，
根据勾股定理，得：AD2=DE2+AE2，
则x2=102+（x-1）2，
解得：x=50.5，
故AB=101寸，
故答案为：101
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
43．如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一个动点，交的延长线于点，交边于点．当时，的长为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】2.5或1
【分析】
如图，设BM=x，首先证明BQ=AP，分两种情况，利用勾股定理，构建方程求解即可．
【详解】
如图，设BM=x，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在Rt中，AB=10，AC=6，
BC=，
，
，
O是AB的中点，
OA=OB，
在和中，
（ASA）
PA=BQ=6-1=5，OQ=OP
，
MQ=MP，
解得x=2.5．
当点P在AC的延长线时，同法可得，
解得x=1，
综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1．
故答案为2.5或1．
【点睛】
本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．21·世纪
教育网
44．如图，在中，，点在射线上，且，则_______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】90
【分析】
设，则，根据题意可得，求得，根据勾股定理计算即可；
【详解】
∵，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
设，则，
又∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
故答案是90．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
45．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为__尺．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】12
【分析】
依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．
【详解】
解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，
因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2，
解之得x=13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故答案为：12．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．
三、解答题
46．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中，点
在线段上，点在边两侧，试证明：
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析．
【分析】
首先连结，作延长线于，则，根据
，易证，再根据
，
，两者相等，整理即可得证．
【详解】
证明：连结，作延长线于，则
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
即，
∴
∴
即有：
∴
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB的面积是解本题的关键．
47．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）使三角形的三边长分别为，，（在图①中画出一个即可）；
（2）使三角形为钝角三角形且面积为3（在图②中画出一个既可），并计算你所画三角形的三边的长．
【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，AB=，BC=2，AC=
【分析】
（1）根据三角形三边长画图即可．
（2）画一个底边长是2，高为3的钝角三角形即可，然后利用勾股定理可以求出各边长．
【详解】
解：（1）如图所示；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）如图所示，S△ABC=4，
AB==，BC=2，AC==．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，应用与作图设计，关键要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后作图．
48．勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦为边长所得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的，其中，．
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（1）请利用面积相等证明勾股定理；
（2）在图1中，若大正方形的面积是13，，求小正方形的面积；
（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求边的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）4
【分析】
（1）根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证明可得结论；
（2）由勾股定理可得AF的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的面积；
（3）分别求出正方形，正方形，正方形的边长，求出其面积，代入，进一步整理可得解．
【详解】
解：（1）∵
∴，
∴小正方形的边长=
又大正方形的边长为
∴正方形的面积为，4个全等直角三角形的面积和为，正方形的面积为，
由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得;
∴
经过整理可得
（2）∵大正方形的面积是13，
∴
∵，且
∴
∴(负值舍去)
∴
∴小正方形的面积为1；
（3）∵正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，
∴，，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为．
而正方形的边长为，正方形的边长为，
∴正方形的面积为，正方形的面积为，
∴，
整理得，，
∴（负值舍去）
【点睛】
此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键．
49．如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形空地斜边上的高进行了探究：两人在直角边上距直角顶点为米远的点处同时开始测量，点为终点．小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的空地斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的空地斜边上的高了．你能求出这个直角三角形的空地斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由．【出处：21教育名师】
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【答案】能，米
【分析】
设BC=a米，AC=b米，AD=x米，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：Rt△ABC中，∠B=90°，
设BC=a米，AC=b米，AD=x米，
则9+a=x+b=18，
∴a=9米，b=18-x（米），
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（9+x）2+a2=b2，
∴（9+x）2+92=（18-x）2，
解得：x=3，即AD=3（米），
∴AB=AD+DB=3+9=12米，BC=9米，AC=15米，
∴×5×12=×13h，
解得：h=米，
答：这个直角三角花台底边上的高为米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
50．如图，在和中，，，．
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（1）若，，，求的大小；
（2）猜想线段与的关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）；（2），，见解析
【分析】
（1）用勾股定理逆定理判断即可；
（2）证≌，再延长交于点，证即可．
【详解】
解：（1）∵，，，∴，
∵，∴，
∴．
（2）猜想：，，
∵，
∴，
∵，
，
∴≌，
∴，
如图，延长交于点，
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∵≌，∴，
∴
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，解题关键是熟练运用三角形全等的判定定理进行证明，熟练的导角．【版权所有：21教育】
51．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，
△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上21教育名师原创作品
（1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD．
（2）若BD=1，CD=3，求AD的长．
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据△ABC和△DCE都是等腰直角三角形可得，，再根据两个角的和可得，从而判断两个三角形全等；
（2）根据△ACE≌△BCD，以及角的和可得为直角三角形，根据为等腰直角三角形，可求出DE的长度，再根据勾股定理求出AD的长度即可．
【详解】
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（1）△ABC和△DCE都是等腰直角三角形
，，
，
△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）△ACE≌△BCD
为直角三角形
为等腰直角三角形
△ACE≌△BCD
BD=AE=1
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的性质、判定定理以及勾股定理得运用，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理，熟练运用角和角之间的关系是解题的关键．
52．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为多少米？（边缘部分的厚度忽略不计）
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【答案】25米
【分析】
要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】
解：如图是其侧面展开图：AD=π?=20，AB=CD=20．DE=CD-CE=20-5=15，
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在Rt△ADE中，AE===25．
故他滑行的最短距离约为25米．
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为的半圆的弧长，矩形的长等于AB=CD=20．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
53．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中，点E在线段上，点B、D在边两侧，试证明：．
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证明：如图2，连结、，过点D作边上的高，则．
∵，
∴．
∵是直角三角形，，
∴，
∴______+______=_______．
∵_________．
∴．
【答案】见详解
【分析】
先推出90°，再根据，即可得到结论．
【详解】
证明：如图2，连结、，过点D作边上的高，则．
∵，
∴．
∵是直角三角形，，
∴，
∴∠DAE+∠BAC=90°．
∵+．
又∵，
∴+=，
∴．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的证明，添加辅助线，利用割补法表示图形的面积，是解题的关键．
54．《九章算术》中有一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？21cnjy.com
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【答案】水深12尺，芦苇长13尺
【分析】
依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x尺，则水深AC=（x-1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．
【详解】
解：依题意画出图形，如下图，
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设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x-1）尺，
因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，
在Rt△ACB'中，52+（x-1）2=x2，
解得：x=13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．
55．如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应沙区创文创卫，美化小区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D作垂直于AB的小路DE．经测量，米，米，米，米．
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（1）求BD的长；
（2）求小路DE的长．
【答案】（1）米；（2）米．
【分析】
（1）先由证明
可得
再由勾股定理可求的长；
（2）由
可得代入数据从而可得答案．
【详解】
解：（1）
为米．
（2）
为米．
【点睛】
本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握以上知识是解题的关键．
56．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为，斜边长为的个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．
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【答案】见解析
【分析】
根据总面积=以c为边的正方形的面积+2个直角边长为的三角形的面积=以b为上底、(a+b)为下底、高为b的梯形的面积+以a为上底、(a+b)为下底、高为a的梯形的面积，据此列式求解．
【详解】
证明：总面积
【点睛】
此题考查的是勾股定理的证明，用两种方法表示同一图形的面积是解题关键．
57．如果正方形网格中的每一个小正方形边长都是1则每个小格的顶点叫做格点．
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（1）在图1中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为，3，，；
（2）在图2中，线段的端点在格点上，请画出以为一边的三角形使这个三角形的面积为6（要求至少画出3个）；
（3）在图3中，的顶点M，N在格点上，P在小正方形的边上，问这个三角形的面积相当于多少个小方格的面积？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10
【分析】
（1）可先画长度为3的线段，根据勾股定理可得为长为2，宽为1的矩形的对角线，是边长为2的正方形的对角线，画图即可；
（2）画高为3的三角形即可；
（3）首先求出△MNP的面积，进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）△MNP的面积为：=10，
故这个小三角形的面积相当于10个小正方形的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查无理数概念、勾股定理的应用、三角形的面积，正确掌握三角形面积求法是解题关键．
58．中国古代数学家们对于勾
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明：a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．
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【答案】（1）证明见解析；（2）23
【分析】
（1）根据题意，我们可在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）根据完全平方公式的变形解答即可．
【详解】
解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；
（2）由图可知：
（b﹣a）2＝3，4×ab＝13﹣3＝10，
∴2ab＝10，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．
【点睛】
本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
59．如图，长方体的长A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B=5cm，宽BC=4cm，高AE=6cm，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A出发到点G处．蚂蚁甲的行走路径S甲为：翻过棱EH后到达G处（即A→P→G），蚂蚁乙的行走路径S乙为：翻过棱EF后到达G处（即A→M→G），蚂蚁丙的行走路径S丙为：翻过棱BF后到达G处（即A→N→G）．
（1）求三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是多少？
（2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？
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【答案】（1）三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是cm，5cm，cm；（2）蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达
【分析】
（1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段，根据勾股定理分别求出S甲，S乙，S丙的值即可；
（2）比较S甲，S乙，S丙的值即可得到答案．
【详解】
解：（1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段，
∵长AB=5cm，宽BC=4cm，高AE=6cm，
∴EF=AB=5cm，GF=BC=EH=4cm，AE=BF=CG=6cm，
∴图1：S甲=（cm）
图2：S乙=（cm），
图3：S丙=（cm），
答：三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是cm，5cm，cm；
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）由（1）知，S甲=（cm），S乙=5=（cm），S丙=（cm）．
∵＞＞，
∴蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，立方体的平面展开图，正确理解题意，确定每只蚂蚁所走的路径构建直角三角形是解题的关键．
60．如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是2cm，高是3cm．
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（1）小明想在长方体盒子里插入一根细木棒，求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）在长方体盒子外表面的A点有一只蚂蚁，若它想吃到E点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？
【答案】（1）cm；（2）5cm
【分析】
（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可；
（2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】
解：（1）由题意可得：木棒的最大长度为：（cm）；
（2）将长方体的正面和右侧面展开，如图，（cm）；
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将长方体的上底面和右侧面展开，如图，（cm）；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
将长方体的正面和下底面展开，如图，（cm）．
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∵，
∴它爬行的最短距离是5cm．
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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第二讲
一定是直角三角形吗
【提升训练】
一、单选题
1．如图，数轴上点C所表示的数是（
）
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A．
B．
C．3.6
D．3.7
2．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（
）
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A．
B．
C．
D．
3．下图是英国牧师佩里加尔证明勾股定理的“水车翼轮法”，在中，，互相垂直的线段将正方形分为面积相等的四部分，这四个部分和以为边的正方形恰好拼成一个以为边的正方形．若正方形的面积为5，的面积为1，则正方形的面积为（
）
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A．11
B．12
C．13
D．14
4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．现分别在上取点N，M（如图2），使得，连结．记的面积为，的面积为．若正方形的面积为，且，则的值为（
）
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A．1
B．2
C．
D．3
5．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，设直角三角形两直角边的长分别为a、b（），斜边的长为c．做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．32
B．36
C．46
D．49
6．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2022
B．2021
C．2020
D．1
7．如图，“赵爽弦图”是由四个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．7
C．12
D．15
8．如图，是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若知道图中阴影部分面积，一定能求出（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
9．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的有（
）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，O为数轴的原点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，数轴上点A、B表示的数分别是1和2，CA⊥OA于点A，且AC=OA；DB⊥OB于点B，且DB=OA；以点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点E；以点O为圆心，OD长为半径画弧，交数轴于点F；则点E和点F表示的数分别是（）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1.4，2.2
B．
C．
D．
11．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积是（ ）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1或4
B．4
C．1
D．2或4
12．如图所示，一个圆柱体高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程
取是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12cm
B．10cm
C．20cm
D．无法确定
13．如图，长方体的长为8
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，宽为10，高为6，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（
）21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
14．如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（
）
A．3，4，5
B．，，
C．5，13，12
D．，，1
15．下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（
）
A．；
B．；
C．；
D．．
16．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为48，小正方形面积为6，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x>y），则的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．60
B．79
C．84
D．90
17．如图，已知图中所有的四边形都是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，正方形A，B，C，D的面积分别为S1，S2，S3，S4，且S1＞S2，S3＞S4，则下列结论正确的是（ ）21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．S1?S4＝k2S2
B．S1+S4＝S22
C．S1?S4＝S22
D．S1+S4＝kS2
18．下列说法中，错误的是（ ）
A．在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5．则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a：b：c＝1：2：，则△ABC是直角三角形
19．如图，正方形ABCD的边长为1，其
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S7的值为（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．?
B．?
C．?
D．?
20．如图，已知正方体纸盒的高为1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，已知一只蚂蚁从其中一个顶点A，沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．2
C．
D．
21．若的三边长a、b、c满足，那么是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
22．图中不能证明勾股定理的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
23．勾股定理是几何中的一个重要定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．121
B．110
C．100
D．90
24．已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．cm
B．5cm
C．cm
D．4.5cm
25．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，则图中阴影部分的面积之和为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
26．“赵爽弦图”巧妙地利用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．6
27．我国汉代数学家赵爽为了证明
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．S1＝2
B．S2＝3
C．S3＝6
D．S1+S3＝8
28．如图所示，是由北京国际数学家大
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中∠MA1A2＝∠MA2A3…＝∠MAnAn+1＝90°，（n为正整数），若M点的坐标是（﹣1，2），A1的坐标是（0，2），则A22的坐标为（ ）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．（﹣1﹣29，2﹣29）
B．（1﹣29，2﹣29）
C．（﹣1﹣210，2﹣210）
D．（1﹣210，2﹣210）
29．如图，一个底面周长为24，高为5的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点到点所经过的最短路线长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
30．棱长分别为的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
31．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c三个正方形的面积之和为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．11
B．15
C．10
D．22
32．如图，正方形ABCD的边长为2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．（）2013
B．（）2014
C．（）2013
D．（）2014
33．如图所示，用四个全等的直角三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.用，表示直角三角形的两直角边（），请仔细观察图案.下列关系式中不正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
34．如图，一个含有角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，若的长为，那么的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
35．如图，小红想用一条彩带缠绕易
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12
cm，高是20
cm，那么所需彩带最短的是( )21教育网
A．13
cm
B．4cm
C．4cm
D．52
cm
36．如图，是一长、宽都是3
cm，高BC＝9
cm的长方体纸箱，BC上有一点P，PC＝BC，一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6cm
B．3cm
C．10
cm
D．12
cm
37．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2018的值为( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
38．我国古代伟大的数学
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（
???）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20
B．24
C．
D．
39．适合下列条件的△ABC中,
直角三角形的个数为
①②，∠A=45°;③∠A=32°,
∠B=58°；
④⑤⑥
⑦⑹
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
40．如图，长方体的底面边长分别为厘米和厘米，高为厘米.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（
）厘米2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8
B．10
C．12
D．13
二、填空题
41．已知一个等腰三角形纸板的顶角为，腰长为．采用先把它剪开成两个部分，再利用所得的两个部分重新拼接出三角形纸板的方法，将其改造成一个新的三角形纸板（不重不折）．在利用这个方法所得到的新的三角形纸板中，周长的最大值为__________．21
cnjy
com
42．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（和），门边沿D，C两点到门槛的距高是1尺（1尺=10寸），两扇门的间隙为2寸，则门槛为_______寸．21世纪教育网版权所有
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43．如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一个动点，交的延长线于点，交边于点．当时，的长为______．【版权所有：21教育】
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44．如图，在中，，点在射线上，且，则_______．
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45．《九章算术》中有一道
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为__尺．【来源：21·世纪·教育·网】
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三、解答题
46．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中，点
在线段上，点在边两侧，试证明：
．21·世纪
教育网
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47．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．【来源：21cnj
y.co
m】
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（1）使三角形的三边长分别为，，（在图①中画出一个即可）；
（2）使三角形为钝角三角形且面积为3（在图②中画出一个既可），并计算你所画三角形的三边的长．
48．勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦为边长所得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的，其中，．21cnjy.com
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（1）请利用面积相等证明勾股定理；
（2）在图1中，若大正方形的面积是13，，求小正方形的面积；
（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求边的长度．
49．如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形空地斜边上的高进行了探究：两人在直角边上距直角顶点为米远的点处同时开始测量，点为终点．小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的空地斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的空地斜边上的高了．你能求出这个直角三角形的空地斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由．
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50．如图，在和中，，，．
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（1）若，，，求的大小；
（2）猜想线段与的关系，并证明你的猜想．
51．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，
△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上
（1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD．
（2）若BD=1，CD=3，求AD的长．
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52．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为多少米？（边缘部分的厚度忽略不计）
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53．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中，点E在线段上，点B、D在边两侧，试证明：．
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证明：如图2，连结、，过点D作边上的高，则．
∵，
∴．
∵是直角三角形，，
∴，
∴______+______=_______．
∵_________．
∴．
54．《九章算术》中有一道“引葭
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
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55．如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应沙区创文创卫，美化小区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D作垂直于AB的小路DE．经测量，米，米，米，米．
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（1）求BD的长；
（2）求小路DE的长．
56．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为，斜边长为的个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．
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57．如果正方形网格中的每一个小正方形边长都是1则每个小格的顶点叫做格点．
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（1）在图1中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为，3，，；
（2）在图2中，线段的端点在格点上，请画出以为一边的三角形使这个三角形的面积为6（要求至少画出3个）；
（3）在图3中，的顶点M，N在格点上，P在小正方形的边上，问这个三角形的面积相当于多少个小方格的面积？
58．中国古代数学家们对于勾股定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明：a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．
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59．如图，长方体的长AB=5cm，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)宽BC=4cm，高AE=6cm，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A出发到点G处．蚂蚁甲的行走路径S甲为：翻过棱EH后到达G处（即A→P→G），蚂蚁乙的行走路径S乙为：翻过棱EF后到达G处（即A→M→G），蚂蚁丙的行走路径S丙为：翻过棱BF后到达G处（即A→N→G）．
（1）求三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是多少？
（2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？
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60．如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是2cm，高是3cm．
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（1）小明想在长方体盒子里插入一根细木棒，求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）在长方体盒子外表面的A点有一只蚂蚁，若它想吃到E点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？
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精品试卷·第
2
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（共
2
页）
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