第二讲 平方根(考点讲解)（含答案）

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第二讲
平方根
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【知识结构】
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【考点总结】
二、平方根
1、平方根的概念：
如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).
32＝9，所以3是9的平方根．(－3)2＝9，所以－3也是9的平方根，9的平方根是3和－3.
2、平方根的表示方法：
正数a的平方根可记作“±”，读作“正、负根号a”．“”读作“根号”，“a”是被开方数．
例如：2的平方根可表示为±.
3、平方根的性质：
1、若x2＝a，则有(－x)2＝a，即－x也是a的平方根，因此正数a的平方根有两个，它们互为相反数；
2、只有02＝0，故0的平方根为0；
3、由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都不会是负数，故负数没有平方根．
综合上述：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根．
一个数a的平方根可以表示成±.
1、不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，
2、式子只有当a≥0时才有意义,因为负数没有平方根.
4、算术平方根
(1)算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根．
(2)算术平方根的表示方法：正数a的算术平方根记作“”，读作“根号a”．
(3)算术平方根的性质：
1、正数有一个正的算术平方根；2、0的算术平方根是0；
3、负数没有平方根，当然也没有算术平方根．
重点：算术平方根的性质
(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；
(2)一个正数a的正的平方根就是它的算术平方根．如果知道一个数的算术平方根，就可以写出它的负的平方根．21世纪教育网版权所有
二、开平方
求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．
(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻找一个数的平方根，也可以利用平方验算所求平方根是否正确．21教育网
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(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)可以进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才可以，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果．21·cn·jy·com
(3)对于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一般可用开平方加以解决．
三、与()2的关系
表示a的算术平方根，依据算术平方根的定义：
()2＝a(a≥0).表示a2的算术平方根，依据算术平方根的定义，
若a≥0，则a2的算术平方根为a；
若a＜0，则a2的算术平方根为－a，
即＝|a|＝
1、区别：
①意义不同：()2表示非负数a的算术平方根的平方；
表示实数a的平方的算术平方根．
②取值范围不同：()2中的a为非负数，即a≥0；
中的a为任意数．
③运算顺序不同：()2是先求a的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；
是先求a的平方，再求平方后的算术平方根．
④写法不同．在()2中，幂指数2在根号的外面；
而在中，幂指数2在根号的里面．
⑤运算结果不同：()2＝a；＝|a|＝
2、联系：
①在运算时，都有平方和开平方的运算．
②两式运算的结果都是非负数，
即()2≥0，≥0.③仅当a≥0时，有()2＝.()2＝a
技巧:将()2＝a反过来就是a＝()2，利用此式可使某些运算更为简便．
四、平方根与算术平方根的关系
1、区别：
①概念不同
平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根．
算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
②表示方法不同
平方根：正数a的平方根用符号±表示．
算术平方根：正数a的算术平方根用符号表示，正数a的负的平方根－可以看成是正数a的算术平方根的相反数．21cnjy.com
③读法不同
读作“根号a”；±读作“正、负根号a”．
④结果和个数不同
一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数．
2、联系：
①平方根中包含了算术平方根，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)就是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个就是它的算术平方根，这样要求一个正数a的平方根，只要先求出这个正数的算术平方根，就可以直接写出这个正数的平方根±了．2·1·c·n·j·y
②在平方根±和算术平方根中，被开方数都是非负数，即a≥0.严格地讲，正数和0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根．【来源：21·世纪·教育·网】
③0的平方根和算术平方根都是0.
【例题讲解】
【类型】一、平方根和算术平方根的概念
例1、下列说法错误的是（　　）
A.5是25的算术平方根
B.l是l的一个平方根
C.的平方根是－4
D.0的平方根与算术平方根都是0
【答案】C；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.因为＝5，所以本说法正确；
B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；
C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误；
D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．
【训练】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）没有平方根．（
）
（2）．（
）
（3）的平方根是．（
）
（4）是的算术平方根．（
）
【答案】√
；×；
√；
×，
提示：（2）；（4）是的算术平方根．
例2、
填空：
（1）是
的负平方根．
（2）表示
的算术平方根，
．
（3）的算术平方根为
．
（4）若，则
，若，则
．
【思路点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.
【答案与解析】(1)16；(2)
(3)
(4)
9；±3
【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.
【训练】下列说法中正确的有（
）：
①3是9的平方根．
②
9的平方根是3．
③4是8的正的平方根．④
是64的负的平方根．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B；
提示：①④是正确的.
【变式2】求下列各式的值：
（1）3
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）
例3、使代数式有意义的的取值范围是______________．
【答案】≥；
【解析】＋1≥0，解得≥.
【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
【训练】
若+（3x+y﹣1）2=0，求5x+y2的平方根．
【答案】解：∵+（3x+y﹣1）2=0，
∴，
解得，，
∴5x+y2=5×1+（﹣2）2=9，
∴5x+y2的平方根为±=±3．
【类型】二、利用平方根解方程
例4、
求下列各式中的x值
（1）169x2=144
（2）（x﹣2）2﹣36=0．
【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．www.21-cn-jy.com
【答案与解析】
解：（1）169x2=144，
两边同时除以169，得
开平方，得
x=
（2）（x﹣2）2﹣36=0，
移项，得
（x﹣2）2=36
开平方，得
x﹣2=±6，
解得：x=8或x=﹣4．
【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．
【类型】三、平方根的应用
5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？
【答案与解析】
解：设宽为，长为3，
由题意得，·3＝1323
3＝1323
＝－21(舍去)
答：长为63米，宽为21米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.
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