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第二讲
定义与命题
【基础训练】
一、单选题
1．下列语句中是命题的是（
）
A．延长线段到
B．锐角都相等吗
C．过点作直线
D．垂线段最短
【答案】D
【分析】
根据命题是表示肯定与否定的语句，对各选项进行一一分析即可．
【详解】
解：A．命题是表示肯定与否定的语句，
延长线段到是作法，没有肯定和否定
故选项A不是命题，
B．锐角都相等吗是疑问句，不是肯定句或否定句，
故选项B不是命题；
C.
过点作直线，是作图语言，不是肯定或否定句，
故选项C不是命题；
D．垂线段最短是肯定句，是命题．
故选择D．
【点睛】
本题考查命题，掌握命题定义是解题关键．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”
B．买一张电影票，座位号是5的倍数
C．一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题
D．从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球
【答案】D
【分析】
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件，依据事件发生的可能性的大小进行判断即可．
【详解】
解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，为随机事件，不合题意；
B、买一张电影票，座位号是5的倍数，为随机事件，不合题意；
C、一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题，为随机事件，不合题意；
D、从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球，属于必然事件，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2-1-c-n-j-y
3．下列命题：（1）相等的角是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)对顶角；（2）同位角相等；（3）直角三角形的两个锐角互余；（4）若两条线段不相交，则两条线段平行、其中真命题个数有（
）【来源：21cnj
y.co
m】
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【分析】
此题考查的知识点多，用平行线的性质，对顶角性质，余角的定义等来一一验证，从而求解．
【详解】
解：①相等的角不一定是对顶角，故错误；
②两直线平行，同位角相等，故错误；
③直角三角形两锐角互余，故正确；
④在同一平面内，若两条直线不相交，则两直线平行，故错误．
综上可得只有③正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，涉及知识较多，请同学们认真阅读，最好借助图形来解答．
4．下列选项中属于命题的是（
）
A．任意一个三角形的内角和一定是吗？
B．画一条直线
C．异号两数之和一定是负数
D．连结A、B两点
【答案】C
【分析】
根据命题的定义即可作出判断．
【详解】
解：A、任意一个三角形的内角和一定是180°吗？不是命题；
B、画一条直线，不是结论，不是命题；
C、异号两数之和一定是负数，符合命题的定义，是命题；
D、连接A，B两点，不是结论，不是命题．
只有C中有“是”判断词，
故选C．
【点睛】
本题考查命题的定义：判断一件事情的语句，有“是”，“不是”等判断词．
5．下列四个选项中，属于命题的是（
）
A．两点能确定一条直线吗
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．的平分线
【答案】C
【分析】
根据命题的概念判断即可．
【详解】
解：A、两点能确定一条直线吗，没有对事情作出判断，不是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，没有对事情作出判断，不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，是命题；
D、∠A的平分线AM，没有对事情作出判断，不是命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键．
6．下列命题是真命题的是（
）
A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
B．角不是轴对称图形
C．底角相等的两个等腰三角形全等
D．若，则
【答案】D
【分析】
利用三角形全等的判定条件，轴对称图形的性质，绝对值的定义逐项判断即可．
【详解】
A.
有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，故原命题为假命题，不符合题意．
B.
角是轴对称图形，故原命题为假命题，不符合题意．
C.
底角相等的两个等腰三角形不一定全等，故原命题为假命题，不符合题意．
D.
若，则，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查判断命题的真假．掌握三角形全等的判定条件，轴对称图形的性质，绝对值的定义是解答本题的关键．
7．下列语句中，属于命题的是（
）
A．平行四边形是轴对称图形
B．等角的补角相等吗
C．作线段的垂直平分线
D．用三条线段去拼成一个三角形
【答案】A
【分析】
分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
【详解】
解：A、符合命题的概念，故本选项符合；
B、是问句，未做判断，故本选项不符合；
C、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合；
D、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.21·cn·jy·com
8．下列语句不是命题的是（
）
A．与的和等于0吗？
B．不平行的两条直线有一个交点．
C．两点之间线段最短．
D．对顶角不相等．
【答案】A
【分析】
根据命题的定义对四个选项进行判断．
【详解】
解：A、是问句，未作出判断，不是命题；
B、C、D、均对一件事情作出判断，是命题．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理．解答此题要明确命题的定义：对一件事情作出判断的语句叫做命题．
9．已知命题“能被2整除的数是偶数”，则其逆命题为（
）
A．能被2整除的数不是偶数
B．不能被2整除的数是偶数
C．偶数是能被2整除的数
D．偶数不是能被2整除的数
【答案】C
【分析】
依题意，写出原命题中的条件和结论，然后按照逆命题的要求，交换结论和条件即可；
【详解】
由题知，原命题为：能被2整除的数是偶数；
原命题的条件为：一个数能被2整数；原命题的结论为：这个数则为偶数；
逆命题：一个数是偶数，则这个数能被2整除；
故选：C
【点睛】
本题考查命题及其四种命题的转换，关键在写出原命题的条件和结论；
10．假设命题“a≤0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（
）
A．a＝1
B．a≠0
C．a≥0
D．a＞0
【答案】D
【分析】
由于a≤0的反面为a＞0，则假设命题“a≤0”不成立，则有a＞0．
【详解】
解：假设命题“a≤0”不成立，则a＞0．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
11．下列命题中，是真命题的有（
）．
①三角形的任意两边之和大于第三边；
②当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数；
③三角形的外角大于任何一个内角；
④内错角相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4
【答案】A
【分析】
根据三角形的外角的性质、三角形三边关系、内错角的定义、质数的定义判断即可．
【详解】
解：①三角形的任意两边之和大于第三边，该命题正确；
②当n为正整数时，n2+3n+1的值不一定是质数，如当不是质数，该命题错误；
③三角形的外角不一定大于任何一个内角，该命题错误；
④当两直线不平行时，内错角不相等，该命题错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，解题的关键是正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．21
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com
12．用反证法证明某个命题的结论“”时，第一步应假设（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据反证法的步骤可直接进行排除选项．
【详解】
解：用反证法证明某个命题的结论“”时，第一步应假设；
故选D．
【点睛】
本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．
13．利用反证法证明“x＞2”，应先假设（ ）
A．x≤2
B．x＜2
C．x≥2
D．x≠2
【答案】A
【分析】
根据反证法的步骤中，首先是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】
解：反证法证明“x＞2”时，应先假设“x2”，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
14．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”时，首先假设这个三角形中（
）
A．三个内角都小于60°
B．只有一个内角大于或等于60°
C．至少有一个内角小于60°
D．每一个内角都小于或等于60°
【答案】A
【分析】
反证法的第一步是假设结论不成立，据此解答即可．
【详解】
∵要证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”，
∴用反证法证明时，首先假设这个三角形中三个内角都小于60°，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是反证法，解此题
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．2·1·c·n·j·y
15．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（
）
A．四边形的四个角都是直角
B．四边形的四个角都是锐角
C．四边形的四个角都是钝角
D．四边形的四个角都是钝角或直角
【答案】B
【分析】
根据四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是四边形的四个角都是锐角解答即可．
【详解】
解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，
可先假设四边形的四个角都是锐角，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．21
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com
16．用反证法证明命题“在同一平面内，若，则”时，首先应假设（
）
A．
B．
C．与相交
D．与相交
【答案】C
【分析】
用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设a与c不平行（或a与c相交）．
【详解】
解：原命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”，
用反证法时应假设结论不成立，
即假设a与c不平行（或a与c相交）．
故选：C．
【点睛】
此题考查了反证法证明的步骤：（1）假设原命题结论不成立；（2）根据假设进行推理，得出矛盾，说明假设不成立；（3）原命题正确．
17．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据反证法的步骤可得第一步先假设结论不成立，进而问题可求解．
【详解】
解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设；
故选B．
【点睛】
本题主要考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题的关键．
18．下列命题中，其逆命题是真命题的是（
）
A．对顶角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．四边形是多边形
【答案】B
【分析】
先写出各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、四边形的判定逐项判断即可得．
【详解】
A、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题；
B、逆命题：同位角相等，两直线平行．由平行线的判定可知，此逆命题是真命题；
C、逆命题：如果两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形是全等三角形．由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题；
D、逆命题：如果一个图形是多边形，则这个多边形是四边形．多边形不一定是四边形，则此逆命题是假命题．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题的逆命题、对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、四边形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键．
19．以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为（
）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】
反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．
【详解】
解：A、3不是偶数，不符合条件，故不符合题意；
B、4是偶数，且能被4整除，故不符合题意；
C、6是偶数，但是不能被4整除，故符合题意．
D、8是偶数，且是4的2倍，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理，理解反例的含义是解决本题的关键．
20．有下列四个命题：①
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)对顶角相等；②同位角相等；③两点之间，直线最短；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．其中是真命题的个数有（
）
A．0个
B．1个
C．2个．
D．3个
【答案】C
【分析】
根据对顶角的性质、线段的性质、平行线的性质、垂线段的性质进行解答即可．
【详解】
解：①对顶角相等，原命题是真命题；
②两直线平行，同位角相等，不是真命题；
③两点之间，线段最短，原命题不是真命题；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原命题是真命题．
故选：C．
【点睛】
此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
21．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若x＝y，则ax＝ay
B．若x＞0，y＞0，则xy＞0
C．锐角三角形是等边三角形
D．全等三角形的对应角相等
【答案】C
【分析】
分别利用全等三角形的判定方法以及等式的基本性质和有理数的乘法运算法则分别判断得出答案．
【详解】
解：A、若，则，逆命题是：若，则，应加条件，故此选项错误；
B、若，，则，逆命题是：若，则，，还有可能：，，故此选项错误；
C、锐角三角形是等边三角形，逆命题是：等边三角形是锐角三角形，故此选项正确；
D、全等三角形的对应角相等，逆命题是：对应角相等的三角形不一定全等，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确写出各命题的逆命题是解题关键．
22．下列命题的逆命题是真命题的是（
）
A．对顶角相等
B．全等三角形的面积相等
C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0
D．两直线平行，内错角相等
【答案】D
【分析】
先找出各命题的逆命题，再根据所学知识进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，此逆命题是假命题，不符合题意；
B、“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等形”，此逆命题是假命题，不符合题意；
C、“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是“如果ab＞0，那么a＞0，b＞0”，此逆命题是假命题，不符合题意；
D、“两直线平行，内错角相等”的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，此逆命题是真命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了命题的判断，掌握命题的概念及分类并能利用所学知识判断命题是解题的关键．
23．下列四个命题：（1）对顶角相等；（2）同位角相等；（3）两点之间，线段最短；（4）若，则是的中点，其中真命题的个数是（??）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】B
【分析】
根据对顶角的性质对(1)进行判断；根据平行线的性质对(2)进行判断；根据线段公理对(3)进行判断；根据线段的中点定义对(4)进行判断．
【详解】
对顶角相等，所以(1)正确；
两直线平行，同位角相等，所以(2)错误；
两点之间的线段最短，所以(3)正确；
当点O在线段AB上，若OA=OB，则点O是AB的中点，所以(4)错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
24．下列命题中，真命题有（
）
①如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；
③如果a?b＝0，那么a＝b＝0；
④如果a＝b，那么a3＝b3
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
根据等式的传递性、点到直线的距离的概念、有理数的乘法法则、幂的乘方运算法则进行判断即可．
【详解】
解：①如果a＝b，b＝c，那么a＝c，说法正确，是真命题；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，说法错误，是假命题；
③如果a?b＝0，那么a=0或b=0或a＝b＝0，说法错误，是假命题；
④如果a＝b，那么a3＝b3，说法正确，是真命题，
真命题的有2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，涉及点到直线的距离的概念、有理数的乘法、幂的乘方运算等知识，判断命题的真假的关键是熟悉相关知识的概念及性质．
25．下列命题是真命题的（
）
A．无理数的相反数是有理数
B．如果ab＞0，那么a＞0，b＞0
C．内错角相等，两直线平行
D．若|a|＝1，则a＝1
【答案】C
【分析】
根据有理数的性质、平行线的性质、绝对值的意义判断即可．
【详解】
解：A、无理数的相反数是无理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、如果ab＞0，那么a、b同号，故原命题错误，不符合题意；
C、内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，符合题意；
D、若|a|＝1，则a＝±1，故原命题错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有理数的性质、平行线的性质、绝对值的意义，难度不大．
26．下面四个命题：①对顶
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．
【详解】
解：①对顶角相等的逆命题是相等的解是对顶角，是假命题；
②同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补是真命题；
③全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等的逆命题为：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题，
其中逆命题是真命题的有2个，
故选：B
【点睛】
此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
27．下列命题，正确的是（
）
A．相等的角是内错角
B．如果，那么
C．有一个角是的三角形是等边三角形
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】D
【分析】
根据各个选项中的说法，可以利用内错角的定义，数的开方，等边三角形的判定及角平分线的性质进行判断是否为真命题，即可得出结论．
【详解】
解：A、相等的角不一定是内错角．故原命题是假命题，故此选项不符合题意；
B、如果，那么．如，但，此命题是假命题，故此选项不符合题意；
C、有一个角为60°的三角形不一定是等边三角形，如一个三角形的三个角是60°，50°，70°，此命题是假命题，故此选项不符合题意；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，此命题是真命题，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理，明确题意，灵活运用所学知识判断出各个选项中的命题的真假是解答本题的关键．
28．下列命题中，为真命题的是（
）
A．是13的算术平方根
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．是最简二次根式
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】A
【分析】
根据算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质逐项判断即可求解．
【详解】
解：A.
“是13的算术平方根”，判断正确，符合题意；
B.
“三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角”，判断错误，不合题意；21教育名师原创作品
C.“是最简二次根式，被开方数中含有分母”，不是最简二次根式，判断错误，不合题意；
D.
“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，两条直线不一定平行，判断错误，不合题意．
故选：A
【点睛】
本题考查了命题、算术平方根、三角形外角定理、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)最简二次根式定义、平行线性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键，注意：题设成立，结论一定成立的命题是真命题；题设成立，结论不一定成立的命题是假命题．
29．甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】D
【分析】
若甲说的是真话，则乙是假话，丙
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)说的是真话，和已知不符合．故甲说的是假话，不是乙获奖；若乙说的是真话，则丁说的也是真话，和已知不符合．故乙说的是假话，不是丙获奖．显然丙说的是真话，丁说的是假话，则是丁获奖．
【详解】
解：本题可分三种情况：
①如果甲是真命题，则乙是假命题，丙是真命题，丁是真命题；显然与已知不符；
②如果甲是假命题，乙是真命题，则丙是假命题，丁是真命题；显然与已知不符；
③如果甲是假命题，乙是假命题，则丙是真命题，丁是假命题；在这种情况下，只有丙说了实话，而其他人都说了假话，因此这种情况符合题意．
在③的条件下，丁说了假话，因此丁才是真正获奖的人．
故选D．
【点睛】
此题主要考查命题的真假推理，解题的关键是用假设的方法，进行分析排除．
30．下列四个命题中为真命题的是（
）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．若和是对顶角，则
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．，则
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质逐项判断即可求解．
【详解】
解：A.
“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，缺少两直线平行这一条件，判断错误，是假命题，不合题意；
B.
“若和是对顶角，则”，是真命题，符合题意；
C.
“三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”，判断错误，是假命题，不合题意；
D.
“，则，”是假命题，a和b也可以互为相反数，不合题意．
故选：B
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质、真假命题等知识，熟知相关知识是解题关键．
二、填空题
31．已知命题：“如果两个三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_____，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．
【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等
假
【分析】
交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．
【详解】
解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，
故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．
【点睛】
本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．
32．“等腰三角形的两条边相等”的逆命题是________________．（填真命题或假命题）
【答案】真命题
【分析】
交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题，根据等腰三角形的定义判断即可．
【详解】
“等腰三角形的两条边相等”的逆命题是：两条边相等的三角形是等腰三角形；
它是真命题，
故答案为：真命题．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断、逆命题的概念，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
33．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等
【分析】
把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．
【详解】
解：命题“等角的余角相等”写成“
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
34．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不大于60°，应先假设这个三角形中____________________．
【答案】三角形的三个内角都大于60°
【分析】
根据反证法的步骤，先假设结论不成立，即否定命题即可．
【详解】
根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60°．
故答案为：三角形的三个内角都大于60°．
【点睛】
本题考查了反证法的知识，掌握反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立是解题的关键．
三、解答题
35．图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，EFCD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．
小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EFCD（已知）
∴∠BEF＝ （ ）
∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC （ ）
∴∠CDG＝ （ ）
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①DGBC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
①条件： ，结论： （填序号）．
②证明： ．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）∠BCD；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；（2）①DG∥BC，∠B＝∠BCD，DG平分∠ADC，②证明见解析
【分析】
（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)；
（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．
【详解】
（1）证明：∵EF∥CD（已知），
∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∵∠B+∠BDG＝180°（已知），
∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）；
（2）①条件：DG∥BC，∠B＝∠BCD，
结论：DG平分∠ADC，
②证明：∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD，
∵∠B＝∠BCD，
∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC．
故答案为：（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；
【点睛】
本题考查了命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
36．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（2）内错角相等；
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
【答案】（1）题设：如果两个角的和等于平角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，反例见解析；（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．
【分析】
（1）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平角的定义可得该命题是真命题；【版权所有：21教育】
（2）根据将命题写成“如果…，那么…”的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平行线的性质可得该命题是假命题；利用相交直线被第三条直线所截，内错角不相等可举反例；
（3）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平行线的性质可得该命题是真命题；．
【详解】
（1）题设：如果两个角的和等于平角，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；
（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，如图∠1与∠2是内错角，∠2＞∠1；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．
【点睛】
本题考查了命题与定理的相关知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)识．将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论．关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命题的题设与结论．
37．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式．
（1）两直线平行，内错角相等；
（2）同角的补角相等；
（3）三条边对应相等的两个三角形全等；
（4）等腰三角形的两个底角相等．
【答案】（1）如果两直线平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)行，那么内错角相等；（2）如果两个角是同角的补角，那么在两个角相等；（3）如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等；（4）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等．www.21-cn-jy.com
【分析】
根据如果后面是题设，那么后面是结论把各个命题写成“如果…那么…”的形式．
【详解】
解：（1）如果两直线平行，那么内错角相等；
（2）如果两个角是同角的补角，那么在两个角相等；
（3）如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等；
（4）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等．
【点睛】
本题考查将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到相应的条件和结论．
38．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
【答案】真命题；假命题；假命题；真命题．
【分析】
分别找出各命题的题设和结论将其互换即可．
【详解】
解：（1）同旁内角互补，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两直线平行，真命题；
（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），假命题；
（3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（4）等边三角形有一个角是60°真命题．
【点睛】
本题考查了互逆命题的知识，两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆题．
39．用反证法证明:如果两个整数的积是偶数那么这两个整数中至少有一个是偶数．
【答案】见详解
【分析】
首先假设这两个整数都是奇数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，利用多项式乘以多项式得出（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，进而得出矛盾，则原命题正确．
【详解】
证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2n+1，另一个奇数为2p+1，（n、p为整数），
??则（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，
∵无论n、p取何值，2（2np+n+p）+1都是奇数，这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛盾，
所以假设不成立，
∴这两个整数中至少一个是偶数．
【点睛】
此题主要考查了反证法的证明以及多项式乘以多项式以及数的奇偶性，熟练掌握反证法证明步骤是解题关键．
40．判断下列命题的真假，并说明理由．
（1）若，则；
（2）如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么两个三角形全等．
【答案】(1)假命题，理由见解析；(2)假命题，理由见解析．
【分析】
(1)要判断“若，则”是真命题还是假命题，将，代入即可得出结论；
(2)要判断“如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么两个三角形全等”，当是SSA时不符合题意．
【详解】
解：(1)当，时，满足，但是，故此命题为假命题；
(2)当两边及其一角对应相等符合SSA时，此命题为假命题．
【点睛】
本题考查的是命题和定理的知识，正确的掌握命题的定义以及全等的判定是解题的关键．
41．写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．
（1）如果,，那么．
（2）对顶角相等．
【答案】（1）逆命题：如果，那么，；假命题．（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假命题．
【分析】
（1）交换原命题的题设与结论即可得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)到逆命题，根据有理数的加减法判定逆命题的真假；
（2）交换原命题的题设与结论即可得到逆命题，根据对顶角的意义判断逆命题的真假；
【详解】
解：（1）逆命题：如果，那么，；假命题．
（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假命题．
【点睛】
此题考查命题与定理，解题关键在于掌握判定定理.
42．写出命题：“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并证明其逆命题是真命题．（要求写出已知、求证和证明过程）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??).
【答案】一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形，证明见解析.
【分析】
（1）交换命题的题设和结论即可写出其逆命题；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（2）通过HL证得Rt△BCD≌Rt△CBE得到∠ABC=∠ACB，则等角对等边：AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
【详解】
逆命题是：一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD＝CE，
求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB.
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
又∵BD＝CE，BC＝CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(H.L.)，
∴∠BCD＝∠CBE，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形
【点睛】
本题考查了逆命题及等腰三角形的判定．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
43．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是真命题，还是假命题．
（1）两直线平行，同位角相等
（2）如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等．
【答案】（1）同位角相等，两直线平行，真命题；（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；假命题.
【分析】
首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
【详解】
解：（1）逆命题：同位角相等，两直线平行；
它是是真命题；
（2）逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．；
它是假命题.
【点睛】
考查点：本题考查逆命题的真假性，是易错题．易错易混点：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真．
44．如图，现有以下三个语句：①；②；③．请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举反例说明．
【答案】（1）详见解析；（2）都是真命题．
【分析】
（1）分别以①②③为结论即可写出三个命题；
（2）根据平行线的判定和性质对三个命题进行判断即可.
【详解】
解：（1）如果，，那么．
如果，，那么．
如果，，那么．
（2）根据平行线的判定和性质可知，三个命题都是真命题．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，熟知命题的结构、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.
45．在中，，是的中线，是上一点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）当时，量一量与相等吗？
（2）当时，量一量与相等吗？
（3）当时，量一量与相等吗？
（4）当为上任意一点时，与相等吗？
【答案】（1）相等;（2）相等;（3）相等;（4）相等
【分析】
（1）证明?ABP??APC，即可得出=；
（2）（3）（4）同（1）求解即可.
【详解】
解：（1）是的中线，
∴
在?ABP和?APC中
∴?ABP??APC
∴=；
（2）是的中线，
∴
在?ABP和?APC中
∴?ABP??APC
∴=；
（3）是的中线，
∴
在?ABP和?APC中
∴?ABP??APC
∴=；
（4）是的中线，
∴
在?ABP和?APC中
∴?ABP??APC
∴=；
故综上所述可知，当为上任意一点时，与相等
【点睛】
本题考查了演绎证明以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握证明三角形全等是解答本题的关键.
46．甲、乙、丙三名同学中有一名做了一件好事，李老师问他们：“谁做了好事？”他们调皮地说了下面的几句话：www-2-1-cnjy-com
甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”
乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”
丙说：“我没有做这件事，也不知谁做的这件事．”
当李老师追问时，他们承认上面每人讲的话中都有一句真话，一句假话．
根据这些条件，你能分析出到底是谁做了好事吗？
【答案】乙
【分析】
利用已知分别分析每句话正确或错误从而推导出正确答案．
【详解】
解：当甲说的没有做这件事错误，则
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)乙也没有做这件事就正确，即甲做了好事；
则乙说的没有做这件事就正确，故丙也没有做这件事就错误，即丙做了好事，与甲做了好事冲突；当甲说的没有做这件事正确，则乙也没有做这件事就错误；则乙说的没有做这件事就错误，故丙也没有做这件事就正确；则丙说没有做这件事正确，也不知道谁做了这件事错误.
综上所述：做好事的是乙．
故答案为乙
【点睛】
本题主要考查了推理与论证，正确理解题意是解题关键．
47．当，时，有；
当，时，有；
当，时，有；
当，时，有．
得出结论：、为任何数时，．
这个结论正确吗？
【答案】不正确．
【分析】
根据题意设特殊值即可证明结论错误.
【详解】
不正确．当时，．
【点睛】
本题考查了演绎证明，通过取特殊值证明结论是否正确是常用的解题方法，需要掌握.
48．如图所示，通过画图可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)知：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是可得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，这个结论正确吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】不正确
【分析】
通过题意举出反例证明结论错误即可.
【详解】
解:对于如图所示的等腰直角△ABC,
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
该三角形三条边的垂直平分线的交点在该三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)斜边AC的中点O处,并不在三角形的内部,故“任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部”的结论是错误的.
故答案为：不正确
【点睛】
对于本题,首先要判断该结论是否正确
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?),若该结论正确,则给出证明;若该结论错误,只需举出反例即可;判断本题所给结论的关键是考虑问题要全面,即:该三角形是锐角三角形,钝角三角形,直角三角形的情况都要考虑到.通过对等腰直角三角形三条边的垂直平分线的交点在斜边AC的中点O处,即可举出反例,从而使本题解答.
49．判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）若，则，；
（2）若，则；
（3）互补的两个角一定是一个锐角，一个是钝角；
（4）不论取何值，代数式的值一定是正数．
【答案】（1）假命题．（2）假命题．（3）假命题．（4）真命题．
【分析】
（1）由实数的性质判断，，，或，；
（2）由实数的性质判断，，或a、b互为相反数；
（3）根据两个角角度和为180°，则这两个角互补即可判断；
（4）把代数式进行配方得到，根据平方数的非负性即可判断．
【详解】
（1）假命题．如：，但，．
（2）假命题．如：，但．
（3）假命题．如：两个直角互补，但它们既不是锐角也不是钝角．
（4）真命题．因为，又因为不论取何值，，所以，所以不论取何值，的值一定是正数．
【点睛】
本题考查了命题真假判断的知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
50．求证：有两个内角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等.
已知：
.
求证：
.
作图：
证明：
【答案】见解析
【分析】
将原命题写出已知和求证，然后进行证明，根据角平分线定义可得，然后证明△可得，再证明△即可．
【详解】
已知：如图，在和中，，，分别平分和，且
求证：≌
作图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
证明：
∵分别平分和，
∴
同理
又∵
∴
在和中
∴≌
∴
在和中
∴≌.
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
51．如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；
（2）请选择其中一个真命题加以证明．
【答案】（1）2；（2）选择①②③，见解析.
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理AAS，ASA即可判断；
（2）选择①②③，根据全等三角形的判定定理AAS，得到，然后即可得到.
【详解】
解：（1）①②③，满足全等三角形判定定理AAS，是真命题；
①③②，满足全等三角形判定定理ASA，是真命题；
②③①，是SSA，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题；
故答案为：2；
（2）选择①②③．
证明：在和中，
∴．
∴（全等三角形的对应边相等）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键.
52．命题“两直线平行，内错角相等”的条件
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是___________，结论是_______．若把这个命题的结论和条件互换，可得命题：“内错角相等，两直线平行”，这两个命题称为互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题，请写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．21教育网
（1）全等三角形的三个角对应相等；
（2）直角三角形的两角互余；
（3）若，则．
【答案】两直线平行
，
内错角相等；（1）三个角对应相等的两个三角形全等，假命题；（2）如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形，真命题；（3）遵命题；若，则，真命题．【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】
把命题的题设和结论交换，然后判断这个逆命题的真假性即可.
【详解】
解：“两直线平行，内错角相等”的条件是两直线平行，结论是内错角相等；
故答案为：两直线平行；内错角相等；
（1）逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等，假命题
（2）逆命题：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形，真命题．
（3）逆命题；若，则，真命题．
【点睛】
本题主要考查逆命题的真假判断，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
53．判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例．
（1）若，则；
（2）同位角相等，两直线平行；
（3）一个角的余角小于这个角；
（4）如果，那么点是的中点．
【答案】（1）假命题，见解析；（2）真命题；（3）假命题，见解析；（4）假命题，见解析.
【分析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而进行判断；举反例时，满足题设，不满足结论即可．21cnjy.com
【详解】
解：（1）假命题．如：，但；
（2）真命题；
（3）假命题．如：30°角的余角是60°，而；
（4）假命题．如：如图，等腰，但点不是的中点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．21·世纪
教育网
54．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．
（1）60°角的余角是30°；
（2）等边三角形是轴对称图形；
（3）点在函数的图象上；
（4）垂线段最短．
【答案】（1）如果一个角是60°角的余角，那么这个角是30°，是真命题；（2）如果一个图形是等边三角形，那么这个图形是轴对称图形，是真命题；（3）如果一个点的坐标是，那么这个点在函数的图象上，是假命题；（4）如果连接直线外一点和直线上的各点，那么垂直于直线的线段最短，是真命题．
【分析】
分清每个命题的题设与结论，然后把题设写在如果后面，把结论写在那么后面，最后判断真假命题即可．
【详解】
解：（1）如果一个角是60°角的余角，那么这个角是30°，是真命题；
（2）如果一个图形是等边三角形，那么这个图形是轴对称图形，是真命题；
（3）如果一个点的坐标是，那么这个点在函数的图象上，是假命题；
（4）如果连接直线外一点和直线上的各点，那么垂直于直线的线段最短，是真命题．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．【出处：21教育名师】
55．给出下列三个判断：
（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
（2）有两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等；
（3）一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。
上述判断是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理分别判断各说法或举出反例即可．
【详解】
（1）（2）（3）均不正确.反例如下：
（1）反例：如图，在和中，，，（AH为两个三角形的高），但这两个三角形不全等；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）反例：如图，在和中，，，.（AH为两个三角形的高），但这两个三角形不全等；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）反例：如图，在中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，作，过点B作于点F，延长BC，FA交于点C'，则高，，结合，无法得到与全等.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题在考查命题真假判断的同时也考查了对全等三角形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
56．已知命题“若
a＞b，则
a2＞b2”．
（1）此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个
反例．
（2）写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假
命题，请举出一个反例．
【答案】（1）假命题，举例如a=1，b=－
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1；反例不唯一.（2）逆命题为“若a2＞b2，则a＞b”，该命题也是假命题，举例如a=－2，b=1；反例不唯一.
【解析】
【分析】
（1）判断是否为真命题，需要分析由题设是否能推出结论，本题可从a、b的正负性来考虑反例，如a=1，b=－1来进行检验判断；
（2）先写出逆命题，再按照（1）的思路进行判断.
【详解】
解：（1）假命题，举例如a=1，b=－1，满足a＞b，但很明显，，不满足a2＞b2，所以原命题是假命题；当然反例不唯一.
（2）逆命题为“若a2＞b2，则a＞b”，该命题也是假命题，举例如a=－2，b=1，满足a2＞b2，但不满足a＞b；反例也不唯一.
【点睛】
本题主要考查命题和逆命题的知识，判断命题的真假关键是熟知课本中有关的定义和性质定理等，另外，正确举出反例是判断假命题的常用方法.
57．下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并判断是否正确．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点．
（5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直.
【答案】（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．
【解析】
【分析】
根据命题的定义先判断出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果”后面，结论放在“那么”后面．
【详解】
解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．
（3）如果两个角相等，那么它们的补角相等，正确；
（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，正确；
（5）如果两个角是同旁内角，那么它们互补，错误；
（6）如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，正确.
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确根据命题的定义得出是解题关键．
58．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例.
(1)如果a＋b>0，那么ab>0；
(2)如果a是无理数，b是无理数，那么a＋b是无理数．
【答案】（1）此命题是假命题；（2）此命题是假命题.
【分析】
（1）在
a+
b>0的前提下，欲说明
ab>0不成立，只须找出两个异号且和为正数的数即可；
（2）在
a、b都是无理数的前提下，欲说明
a+b是无理数不成立，只须找出两个无理数且它们的和为有理数即可.
【详解】
解：（1）取a=2，b=-1，则a+b>0，但ab=-2<0，
∴此命题是假命题；
（2）取，，a，b均为无理数，
a+b==2，
但a+b=2是有理数，
∴此命题是假命题.
【点睛】
符合命题条件，但不满足命题结论的例子称为反例．
59．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）如果a＞b，那么ac＞bc；
（3）两个锐角的和是钝角．
【答案】（1）两条直线被第
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三条直线所截，同旁内角互补是假命题，
（2）如果a＞b，那么ac＞bc是假命题；（3）两个锐角的和是钝角是假命题．
【分析】
（1）利用三角形中同旁内角不互补对命题进行判断；
（2）利用c=0对命题进行判断；
（3）利用20°和30°的和为锐角对命题进行判断．
【详解】
解：（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补是假命题，如：三角形三边可看作为两条直线被第三条直线所截，则同旁内角不互补；
（2）如果a＞b，那么ac＞bc是假命题，如：当c=0，则ac=bc；
（3）两个锐角的和是钝角是假命题，如：20°和30°的和为锐角．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
60．写出下列命题的逆命题，并判断真假性．
（1）直角三角形的两锐角互余；
（2）若a=b，则＝；
（3）如果a+b>0，那么a>0，b>0；
（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论．
【详解】
（1）直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题；
（2）若a=b，则=的逆命题是若=，则a=b，真命题；
（3）如果a+b>0，那么a>0，b>0的逆命题是若a>0，b>0，则a+b>0，真命题；
（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等的逆命题是若两个图形全等，则这两个图形关于某条直线对称，假命题．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
61．写出下列命题的逆命题，并判断真假．
（1）若x=3，则x2=9；
（2）三角形任何两边之和大于第三边；
（3）面积相等的三角形全等．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先找出命题中的题设和结
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)论，然后交换位置即可，如果是正确的命题就是真命题，如果是错误的命题就是假命题；
（2）首先找出命题中的题设和结论，然后交换位置即可，如果是正确的命题就是真命题，如果是错误的命题就是假命题；
（3）首先找出命题中的题设和结论，然后交换位置即可，如果是正确的命题就是真命题，如果是错误的命题就是假命题．
【详解】
（1）若x2=9，则x=3，是假命题；
（2）如果两线段之和大于第三条线段，那么此三条线段可以组成三角形，是假命题；
（3）如果三角形全等，那么它们的面积相等，是真命题．
【点睛】
本题考查命题与定理，解题关键是掌握命题由题设和结论两部分组成．
62．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）内错角相等，两直线平行；
（2）对顶角相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等．成立．
（2）如果两个角相等，那么它们是对顶角，不成立．
（3）如果两个三角形的对应角相等，则它们全等．不成立．
（4）如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不成立．
【解析】
【分析】
（1）逆命题：两直线平行，内错角相等；平行线的判定定理，命题成立；
（2）逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角；两个相等的角不一定是对顶角，命题不成立；
（3）逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则它们全等；如果两个三角形的对应角相等，则它们不一定全等，命题不成立；
（4）逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等；如果两个实数的绝对值相等，那么它们不一定相等，有可能互为相反数，命题不成立.
【详解】
（1）两直线平行，内错角相等；成立；
（2）如果两个角相等，那么它们是对顶角；不成立；
（3）如果两个三角形的对应角相等，则它们全等；不成立；
（4）如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等；不成立．
【点睛】
本题主要考查命题与逆命题，解此题的关键在于准确写出逆命题，且熟练掌握各个基本知识点.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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第二讲
定义与命题
【基础训练】
一、单选题
1．下列语句中是命题的是（
）
A．延长线段到
B．锐角都相等吗
C．过点作直线
D．垂线段最短
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”
B．买一张电影票，座位号是5的倍数
C．一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题
D．从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球
3．下列命题：（1）相等的角是对顶角；（2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）同位角相等；（3）直角三角形的两个锐角互余；（4）若两条线段不相交，则两条线段平行、其中真命题个数有（
）21教育网
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．下列选项中属于命题的是（
）
A．任意一个三角形的内角和一定是吗？
B．画一条直线
C．异号两数之和一定是负数
D．连结A、B两点
5．下列四个选项中，属于命题的是（
）
A．两点能确定一条直线吗
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．的平分线
6．下列命题是真命题的是（
）
A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
B．角不是轴对称图形
C．底角相等的两个等腰三角形全等
D．若，则
7．下列语句中，属于命题的是（
）
A．平行四边形是轴对称图形
B．等角的补角相等吗
C．作线段的垂直平分线
D．用三条线段去拼成一个三角形
8．下列语句不是命题的是（
）
A．与的和等于0吗？
B．不平行的两条直线有一个交点．
C．两点之间线段最短．
D．对顶角不相等．
9．已知命题“能被2整除的数是偶数”，则其逆命题为（
）
A．能被2整除的数不是偶数
B．不能被2整除的数是偶数
C．偶数是能被2整除的数
D．偶数不是能被2整除的数
10．假设命题“a≤0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（
）
A．a＝1
B．a≠0
C．a≥0
D．a＞0
11．下列命题中，是真命题的有（
）．
①三角形的任意两边之和大于第三边；
②当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数；
③三角形的外角大于任何一个内角；
④内错角相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4
12．用反证法证明某个命题的结论“”时，第一步应假设（
）
A．
B．
C．
D．
13．利用反证法证明“x＞2”，应先假设（ ）
A．x≤2
B．x＜2
C．x≥2
D．x≠2
14．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”时，首先假设这个三角形中（
）
A．三个内角都小于60°
B．只有一个内角大于或等于60°
C．至少有一个内角小于60°
D．每一个内角都小于或等于60°
15．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（
）
A．四边形的四个角都是直角
B．四边形的四个角都是锐角
C．四边形的四个角都是钝角
D．四边形的四个角都是钝角或直角
16．用反证法证明命题“在同一平面内，若，则”时，首先应假设（
）
A．
B．
C．与相交
D．与相交
17．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设（
）
A．
B．
C．
D．
18．下列命题中，其逆命题是真命题的是（
）
A．对顶角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．四边形是多边形
19．以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为（
）
A．3
B．4
C．6
D．8
20．有下列四个命题：①对顶角相等；②同
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)位角相等；③两点之间，直线最短；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．其中是真命题的个数有（
）21·cn·jy·com
A．0个
B．1个
C．2个．
D．3个
21．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若x＝y，则ax＝ay
B．若x＞0，y＞0，则xy＞0
C．锐角三角形是等边三角形
D．全等三角形的对应角相等
22．下列命题的逆命题是真命题的是（
）
A．对顶角相等
B．全等三角形的面积相等
C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0
D．两直线平行，内错角相等
23．下列四个命题：（1）对顶角相等；（2）同位角相等；（3）两点之间，线段最短；（4）若，则是的中点，其中真命题的个数是（??）www.21-cn-jy.com
A．个
B．个
C．个
D．个
24．下列命题中，真命题有（
）
①如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；
③如果a?b＝0，那么a＝b＝0；
④如果a＝b，那么a3＝b3
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
25．下列命题是真命题的（
）
A．无理数的相反数是有理数
B．如果ab＞0，那么a＞0，b＞0
C．内错角相等，两直线平行
D．若|a|＝1，则a＝1
26．下面四个命题：①对顶角相等；②
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1
B．2
C．3
D．4
27．下列命题，正确的是（
）
A．相等的角是内错角
B．如果，那么
C．有一个角是的三角形是等边三角形
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
28．下列命题中，为真命题的是（
）
A．是13的算术平方根
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．是最简二次根式
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
29．甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（
）21·世纪
教育网
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
30．下列四个命题中为真命题的是（
）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．若和是对顶角，则
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．，则
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
31．已知命题：“如果两个三角形全等，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_____，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．2·1·c·n·j·y
32．“等腰三角形的两条边相等”的逆命题是________________．（填真命题或假命题）
33．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．
34．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不大于60°，应先假设这个三角形中____________________．
三、解答题
35．图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，EFCD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．www-2-1-cnjy-com
小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EFCD（已知）
∴∠BEF＝ （ ）
∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC （ ）
∴∠CDG＝ （ ）
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①DGBC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．21
cnjy
com
①条件： ，结论： （填序号）．
②证明： ．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
36．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（2）内错角相等；
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
37．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式．
（1）两直线平行，内错角相等；
（2）同角的补角相等；
（3）三条边对应相等的两个三角形全等；
（4）等腰三角形的两个底角相等．
38．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
39．用反证法证明:如果两个整数的积是偶数那么这两个整数中至少有一个是偶数．
40．判断下列命题的真假，并说明理由．
（1）若，则；
（2）如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么两个三角形全等．
41．写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．
（1）如果,，那么．
（2）对顶角相等．
42．写出命题：“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并证明其逆命题是真命题．（要求写出已知、求证和证明过程）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??).
43．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是真命题，还是假命题．
（1）两直线平行，同位角相等
（2）如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等．
44．如图，现有以下三个语句：①；②；③．请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举反例说明．
45．在中，，是的中线，是上一点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）当时，量一量与相等吗？
（2）当时，量一量与相等吗？
（3）当时，量一量与相等吗？
（4）当为上任意一点时，与相等吗？
46．甲、乙、丙三名同学中有一名做了一件好事，李老师问他们：“谁做了好事？”他们调皮地说了下面的几句话：2-1-c-n-j-y
甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”
乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”
丙说：“我没有做这件事，也不知谁做的这件事．”
当李老师追问时，他们承认上面每人讲的话中都有一句真话，一句假话．
根据这些条件，你能分析出到底是谁做了好事吗？
47．当，时，有；
当，时，有；
当，时，有；
当，时，有．
得出结论：、为任何数时，．
这个结论正确吗？
48．如图所示，通过画图可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)知：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是可得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，这个结论正确吗？【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
49．判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）若，则，；
（2）若，则；
（3）互补的两个角一定是一个锐角，一个是钝角；
（4）不论取何值，代数式的值一定是正数．
50．求证：有两个内角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等.
已知：
.【出处：21教育名师】
求证：
.【版权所有：21教育】
作图：
证明：
51．如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；
（2）请选择其中一个真命题加以证明．
52．命题“两直线平行，内错角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)相等”的条件是___________，结论是_______．若把这个命题的结论和条件互换，可得命题：“内错角相等，两直线平行”，这两个命题称为互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题，请写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．21教育名师原创作品
（1）全等三角形的三个角对应相等；
（2）直角三角形的两角互余；
（3）若，则．
53．判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例．
（1）若，则；
（2）同位角相等，两直线平行；
（3）一个角的余角小于这个角；
（4）如果，那么点是的中点．
54．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．
（1）60°角的余角是30°；
（2）等边三角形是轴对称图形；
（3）点在函数的图象上；
（4）垂线段最短．
55．给出下列三个判断：
（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
（2）有两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等；
（3）一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。
上述判断是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例.
56．已知命题“若
a＞b，则
a2＞b2”．
（1）此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个
反例．
（2）写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假
命题，请举出一个反例．21世纪教育网版权所有
57．下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并判断是否正确．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点．
（5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直.
58．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例.
(1)如果a＋b>0，那么ab>0；
(2)如果a是无理数，b是无理数，那么a＋b是无理数．
59．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）如果a＞b，那么ac＞bc；
（3）两个锐角的和是钝角．
60．写出下列命题的逆命题，并判断真假性．
（1）直角三角形的两锐角互余；
（2）若a=b，则＝；
（3）如果a+b>0，那么a>0，b>0；
（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等．
61．写出下列命题的逆命题，并判断真假．
（1）若x=3，则x2=9；
（2）三角形任何两边之和大于第三边；
（3）面积相等的三角形全等．
62．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）内错角相等，两直线平行；
（2）对顶角相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
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精品试卷·第
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