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第一讲
认识无理数
【提升训练】
一、单选题
1．在下列实数中，属于无理数的是（
）
A．
B．
C．3.14
D．
2．下列各数：①、②-0.1010010001、③、④、⑤、⑥中，其中无理数有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3．下列各数中无理数是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列实数中，其中无理数的是（
）
A．
B．
C．
D．-5
5．下列各数中，无理数是（ ）
A．
B．0
C．
D．3.14
6．在实数、、、3.14、、、（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（
）21教育网
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
7．已知数据：，，，2π，0．其中无理数出现的频率为（
）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
8．实数（每两个1之间依次增加一个3），其中无理数共有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
9．在下列各数：2.01
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0，0.333，3π，0.101101101中，无理的个数有（ ）www.21-cn-jy.com
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．在数，，0，，，，，…（相邻的两个2之间依次多一个0）中，无理数有（
）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
11．在实数，，，，，3.212212221…中，无理数的个数是（
）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
12．下列实数中，是无理数的为（
）
A．3.14
B．
C．
D．
13．下列各数中无理数共有（
）
①–0.21211211121111，②，③，④，⑤．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14．下列实数:
(相邻两个1之依次多一个0)；，其中无理数有(
)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
15．在0.010010001，3.14，，，1.51，中无理数的个数是（
）．
A．5个
B．4个
C．3
D．2个
16．在，，，0.3030030003……，，中，无理数的个数为（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
17．在，，，，，，中，无理数的个数（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
18．下列选项中，属于无理数的是（
）
A．
B．
C．
D．0
19．在下列各数中是无理数的有（
）
，，，，，（相邻两个之间有个），，．
A．个
B．个
C．个
D．个
20．下列实数中，属于无理数的是（
）
A．3.14
B．
C．
D．
21．下列实数是无理数的是（
）
A．
B．
C．
D．
22．在下列实数，0.31，，，，，，1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为(
)21·cn·jy·com
A．1
B．2
C．3
D．4
23．在……中，无理数的个数为
（
）
A．
B．
C．
D．
24．在1.414，，，，中，无理数的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
25．下列各数中，属于无理数的是（
）
A．
B．3.1415926
C．2.010010001
D．
26．下列各数中是无理数的是（
）
A．
B．1.2012001
C．
D．
27．给出下列各数①0.32，②，③，④，⑤（每两个6之间依次多个0），⑥，其中无理数是（
）2·1·c·n·j·y
A．②④⑤
B．①③⑥
C．④⑤⑥
D．③④⑤
28．在实数：，π，，，2π，，0.36，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1），，中，无理数的个数为（
）【来源：21·世纪·教育·网】
A．4
B．5
C．6
D．7
29．下列各数中，无理数有（
）
，，，，，（相邻两个之间的的个数逐次增加）
A．个
B．个
C．个
D．个
30．在实数，-3.14，0，，中，无理数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
31．在0、、、、、π、-0.1616616661……（它的位数无限，相邻两个“1”之间“6”的个数依次增加1个）这些数中，无理数的个数是（
）21·世纪
教育网
A．3
B．4
C．5
D．6
32．在下列各数，，0，，，中，无理数的个数有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
33．在实数，0，﹣，中，是无理数的是（ ）
A．
B．0
C．﹣
D．
34．在实数3.14，，-，1.7，，0，-π中，无理数有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
35．在实数，，01414，，，，0.10100010（两个1之间依次增加1个0）中，其中是无理数的有（
）www-2-1-cnjy-com
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
36．在所给的数据：，，，，0.57，0.585885888588885…(相邻两个5之间的8的个数逐次增加1个)，其中无理数的个数有（
）2-1-c-n-j-y
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
37．如图为5×5的正方形格子，其中所有线段的端点都在格点上，长度是无理数的线段有
(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．b、c、d
B．c、d
C．a、d
D．b、c
38．下列各数中是无理数的有（
）个．
，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐渐加）
A．
B．
C．
D．
39．下列各数中，无理数是（ ）
A．3.1415
B．
C．2π
D．0.101001
40．在3.14，π，
，﹣0.23，1.131331333133331…（每两个1之间依次多一个3）中，无理数的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
41．下列4个数：，，π﹣3.14，，其中无理数有_____个．
42．在﹣1、0、0.101001…、π、5.1、7的6个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是_____．
43．已知实数﹣0.21，，，，，﹣，其中为无理数的是_____．
44．在实数，，，，，中，无理数有__________个．
45．请你写出一个比3大且比4小的无理数，该无理数可以是：____．
三、解答题
46．如图，在甲乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．
（1）请求出图中阴影正方形的边长；
（2）大家知道是无理数，，∴它的整数部分为1，小数部分可以表示为．请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求边长为无理数，并求所画正方形边长的整数部分．
（3）的整数部分是
；小数部分是
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
47．把下列各数写入相应的集合中：-，，0.1，，，，0，0.1212212221．．．
（相邻两个1之间2的个数逐次加1）
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（1）正数集合{
??
}；
（2）有理数集合{
??
}；
（3）无理数集合{
}．
48．把下列各数填入相应的括号内：
－2，100，－，0.9，－∣－5.2∣，0，0.1010010001…，
正有理数集合：｛
…｝
整数集合：
｛
…｝
负分数集合：
｛
…｝
无理数集合：
｛
…｝
49．把下列各数填入相应集合内：
，，4，
1.101001000…，
，π
，0，3%，，-|-3|，
整数集合：{
…}
分数集合：{
…}
无理数集合：{
…}
正数集合：{
…}
50．把下列各数分别填在相应的集合中：
，3.1415926，，，，，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
51．把下列各数填入相应的横线里：
，，，0，0.8，，，
正有理数集合：
；
整数集合：
；
负分数集合：
；
无理数集合：
．
52．在下列网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶点均在格点上，且满足：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）三边均为有理数；（2）其中只有一边为无理数．
53．把符合条件的数填在相应的大括号内
-2，，，，0，，
整
数：{
…}；
无理数：{
…}。
54．把下列各数分别填入相应的集合里．
3.14、0.121121112…、、、-2011、、、20%
无理数集合：
负整数集合：
分数集合：
正数集合：
55．已知与的小数部分分别是和，求的值.
56．设实数的整数部分是，小数部分是,求下列代数式的值：
（1）
（2）
57．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环的小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是大明用来表示的小数部分.21cnjy.com
(1)你同意大明的表示方法吗？如果同意，请简要说明理由；如果不同意，请你表示出的小数部分；
(2)已知，其中x是整数，且，求的相反数.
58．如图，已知OA=OB．
（1）写出数轴上点A所表示的数；
（2）比较点A所表示的数与-3.2的大小．
59．阅读下列材料：
设：，①则.②
由，得，即.
所以.
根据上述提供的方法.把和化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？
60．计算：
（1）；
（2）﹣12+（﹣2）3×；
（3）已知实数a、b满足+|b﹣1|=0，求a2017+b2018的值．
（4）已知+1的整数部分为a，﹣1的小数部分为b，求2a+3b的值．
61．化简求值：
已知是的整数部分，，求的平方根．
已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
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精品试卷·第
2
页
（共
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第一讲
认识无理数
【提升训练】
一、单选题
1．在下列实数中，属于无理数的是（
）
A．
B．
C．3.14
D．
【答案】D
【分析】
无限不循环小数是无理数，根据定义解答．
【详解】
解：∵=2，
∴
、2、3.14是有理数，
属于无理数的是，
故选：D．
【点睛】
此题考查无理数的定义，熟记定义是解题的关键．
2．下列各数：①、②-0.1010010001、③、④、⑤、⑥中，其中无理数有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【分析】
根据π是无理数，无限不循环小数是无理数，开方不尽的数是无理数判断即可
【详解】
∵π是无理数，
∴是无理数，
∴①符合题意；
∵-0.1010010001是小数，是有理数，
∴②不符合题意；
∵是分数，是有理数，
∴③不符合题意；
∵是开方不尽的数，是无理数，
∴④符合题意；
∵是无限循环小数，是有理数，
∴⑤不符合题意；
∵的是开方不尽的数，是无理数，
∴⑥符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了无理数的常见表现形式，准确判定无理数是解题的关键．
3．下列各数中无理数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：∵是无理数，
∴A正确；
∵是有理数，
∴B错误；
∵＝2是有理数，
∴C错误；
∵＝3是有理数，
∴D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数，无理数的定义是解题的关键．
4．下列实数中，其中无理数的是（
）
A．
B．
C．
D．-5
【答案】B
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：A、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、＝?3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、-5是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的定义．解题的关键
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
5．下列各数中，无理数是（ ）
A．
B．0
C．
D．3.14
【答案】A
【分析】
根据无限不循环小数为无理数即可求解．
【详解】
A选项：为无理数，故A选项正确；
B选项：0为有理数，故B选项错误；
C选项：为有理数，故C选项错误；
b选项：3.14为有理数，故D选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
6．在实数、、、3.14、、、（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】
解：是无理数；
是有理数；
是有理数；
3.14是有理数；
是无理数；
是有理数；
（相邻两个1之间的0依次增加1个）是无理数；
所以，无理数有、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）共3个．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
7．已知数据：，，，2π，0．其中无理数出现的频率为（
）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
【答案】C
【分析】
根据无理数的意义和频率意义求解．
【详解】
解：∵都开不尽方，π是无限不循环小数，
∴是无理数，是有理数，
∴由可得无理数出现的频率为0.6，
故选C
．
【点睛】
本题考查无理数和频率的综合应用，熟练掌握无理数和频率的意义是解题关键．
8．实数（每两个1之间依次增加一个3），其中无理数共有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】A
【分析】
无限不循环小数是无理数，根据定义解答．
【详解】
符合无理数定义的有：
，
故选：A．
【点睛】
此题考查无理数定义，熟记定义是解题的关键．
9．在下列各数：2.01001000
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0，0.333，3π，0.101101101中，无理的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：无理数有：3π，
2.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）共有2个．
故选：B.
【点睛】
本题考查了无理数的定义，掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解题的关键．
10．在数，，0，，，，，…（相邻的两个2之间依次多一个0）中，无理数有（
）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【答案】C
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
，0，，这些数都是有理数；
，，，，…（相邻的两个2之间依次多一个0），是无理数，无理数共有5个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数的定义．解题的关键是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)掌握无理数的定义和各种类型．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
11．在实数，，，，，3.212212221…中，无理数的个数是（
）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】
无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数，如2π．21世纪教育网版权所有
【详解】
?1.414是有限小数，是有理数，是无理数，π是无理数，无限循环小数是有理数，是无理数，3.212212221…是无限不循环小数是无理数，【来源：21·世纪·教育·网】
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数的常见类型是解题的关键．
12．下列实数中，是无理数的为（
）
A．3.14
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
A.3.14是有限小数，属于有理数；
B.是分数，属于有理数；
C.是无理数；
D.＝3，是整数，属于有理数.
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
13．下列各数中无理数共有（
）
①–0.21211211121111，②，③，④，⑤．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
根据无理数的概念确定无理数的个数即可解答．
【详解】
解：无理数有，，共3个．
故答案为C．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，无理数主要有以下三种①带根号且开不尽方才是无理数，②无限不循环小数为无理数，③π的倍数．
14．下列实数:
(相邻两个1之依次多一个0)；，其中无理数有(
)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【分析】
根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
，是有理数；
是有限小数，是有理数；
是分数，是有理数；
，0.010010001(相邻两个1之依次多一个0)，，是无理数，共3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，注意无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
15．在0.010010001，3.14，，，1.51，中无理数的个数是（
）．
A．5个
B．4个
C．3
D．2个
【答案】D
【分析】
根据无理数的概念解题，找出无理数的个数即可，无限不循环小数称为无理数；
【详解】
在0.010010001，3.14，，，1.51，中无理数有，共2个，
故选D．
【点睛】
本题考查了无理数的概念，正确掌握无理数的概念是解题的关键；
16．在，，，0.3030030003……，，中，无理数的个数为（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义即可求解．
【详解】
解：在，，，0.3030030003……，，中，
，，
∴无理数有，，0.3030030003……，共3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．
17．在，，，，，，中，无理数的个数（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
，有限小数，是有理数，不是无理数；
，分数，是有理数，不是无理数；
，无限循环小数，是有理数，不是无理数；
，
，，
是无理数，共4个，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了无理数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．21cnjy.com
18．下列选项中，属于无理数的是（
）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】
解：A.是无理数；
B.是分数，属于有理数；
C.是整数，属于有理数；
D.0是整数，属于有理数．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．【来源：21cnj
y.co
m】
19．在下列各数中是无理数的有（
）
，，，，，（相邻两个之间有个），，．
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】B
【分析】
根据无理数是无限不循小数，可得答案．
【详解】
解：，，，是无理数，
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
20．下列实数中，属于无理数的是（
）
A．3.14
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：A、3.14是小数，是有理数，故A选项错误；
B、是有限小数，是有理数，故B选项错误；
C、=2是整数，是有理数，故C选项错误．
D、是无理数，故D选项正确
故选：D．【出处：21教育名师】
【点睛】
本题考查了无理数的定义，无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【版权所有：21教育】
21．下列实数是无理数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：A、是分数，是有理数，故选项不符合题意；
B、0是整数，是有理数，故选项不符合题意；
C、1是整数，是有理数，故选项不符合题意；
D、是无理数，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
22．在下列实数，0.31，，，，，，1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，据此逐一判断即可得．
【详解】
解∵，，
∴在所列的8个数中，无理数有，，1.212?212?221…（每两个1之间依次多一个2）这3个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的三种类型是解题的关键．
23．在……中，无理数的个数为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据无理数的概念逐一判断即可，其中无限不循环小数是无理数．
【详解】
3.14是有理数，是无理数，
，所以是无理数，
是有理数，是无理数，是有理数，
……是无理数；
故选D．
【点睛】
本题考查了无理数的概念，熟记无限不循环小数为无理数是本题的关键．
24．在1.414，，，，中，无理数的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：1.414是有限小数，属于有理数；
是无理数；
是分数，属于有理数；
5π是无理数；
是无理数，
∴无理数的个数是3个，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．
25．下列各数中，属于无理数的是（
）
A．
B．3.1415926
C．2.010010001
D．
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：A、是有理数，故选项A不符合题意；
B、3.1415926是有理数，故选项B不符合题意；
C、2.010010001是有理数，故选项C不符合题意；
D、是无理数，故选项D题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
26．下列各数中是无理数的是（
）
A．
B．1.2012001
C．
D．
【答案】C
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：A、分数，是有理数，选项不符合题意；
B、1.2012001是有理数，选项不符合题意；
C、是无理数，选项符合题意；
D、，9是整数是有理数，，选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．21
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27．给出下列各数①0.32，②，③，④，⑤（每两个6之间依次多个0），⑥，其中无理数是（
）
A．②④⑤
B．①③⑥
C．④⑤⑥
D．③④⑤
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)．初中范围内学习的无理数有：π，开方开不尽的数，以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．由此逐一判断即可得答案．
【详解】
①0.32是有限小数，是有理数，
②是分数，是有理数，
③是无限循环小数，是无理数，
④是开方开不尽的数，是无理数，
⑤（每两个6之间依次多个0）是无限循环小数，是无理数，
⑥=3，是整数，是有理数，
综上所述：无理数是③④⑤，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，初中范围内
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数；熟练掌握定义是解题关键．
28．在实数：，π，，，2π，，0.36，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1），，中，无理数的个数为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：，，＝，是分数，属于有理数；＝3，＝2，是整数，属于有理数；0.36是有限小数，属于有理数；无理数有：π，，2π，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）共4个．
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
29．下列各数中，无理数有（
）
，，，，，（相邻两个之间的的个数逐次增加）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】D
【分析】
直接根据无理数的定义直接判断得出即可．
【详解】
解：无理数有，，共个．
故选D．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，正确把握无理数的定义：无限不循环小数是无理数进而得出是解题关键．
30．在实数，-3.14，0，，中，无理数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．
【详解】
解：=4，
所给数据中无理数有：，π，共2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．
31．在0、、、、、π、-0.1616616661……（它的位数无限，相邻两个“1”之间“6”的个数依次增加1个）这些数中，无理数的个数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义逐一判断即可．
【详解】
解：0、、是有理数，
，，，（它的位数无限，相邻两个“1”之间“6”的个数依次增加1个）是无理数，
故选：B．
【点睛】
本题考查无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．
32．在下列各数，，0，，，中，无理数的个数有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【分析】
无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【详解】
3.14，是有限小数，不是无理数，
是无限循环小数，不是无理数，
是分数，不是无理数，
0是整数，不是无理数，
无理数有：π，只有1个．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2-1-c-n-j-y
33．在实数，0，﹣，中，是无理数的是（ ）
A．
B．0
C．﹣
D．
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：是分数，属于有理数，故选项A不合题意；
0是整数，属于有理数，故选项B不合题意；
，是整数，属于有理数，故选项C不合题意；
是无理数，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是关键．21·世纪
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34．在实数3.14，，-，1.7，，0，-π中，无理数有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】A
【分析】
由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的定义即可判断得出答案．
【详解】
，
∴3.14，，，1.7，0都是有理数，
，
-π是无理数，共2个，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
35．在实数，，01414，，，，0.10100010（两个1之间依次增加1个0）中，其中是无理数的有（
）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义求解即可．
【详解】
，01414，，是分数，是有理数，
∵，
∴，，，0.10100010（两个1之间依次增加1个0）都是无理数，共4个，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001（两个1之间依次增加1个0），等有这样规律的数．21教育名师原创作品
36．在所给的数据：，，，，0.57，0.585885888588885…(相邻两个5之间的8的个数逐次增加1个)，其中无理数的个数有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】
解：，π，0.585885888588885…（相邻两个5之间的8的个数逐次增加1个）是无理数，
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，注
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
37．如图为5×5的正方形格子，其中所有线段的端点都在格点上，长度是无理数的线段有
(
)
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A．b、c、d
B．c、d
C．a、d
D．b、c
【答案】D
【分析】
数网格可得到a，在网格中构造直角三角形，利用勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方，依次求出b、c、d，再根据无理数定义判断即可．
【详解】
由图可知：，
，
，
，
因此b、c为无理数．
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理、无理数的定义，掌握勾股定理求第三边的知识和无理数的定义为解题关键．
38．下列各数中是无理数的有（
）个．
，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐渐加）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义逐一判断即可．
【详解】
解：，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐渐加）中，，，（相邻两个之间的个数逐渐加）是无理数，共3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．
39．下列各数中，无理数是（ ）
A．3.1415
B．
C．2π
D．0.101001
【答案】C
【分析】
根据无理数定义，直接判断即可．
【详解】
解：3.1415、、0.101001是有理数，2π是无理数．
故选：C．
【点睛】
本题无理数的定义，注意带根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式）
40．在3.14，π，
，﹣0.23，1.131331333133331…（每两个1之间依次多一个3）中，无理数的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
在3.14，π，
，﹣0.23，1.131331333133331…（每两个1之间依次多一个3）中，无理数有：π
，1.131331333133331…（每两个1之间依次多一个3），共2个，
故选：B
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
二、填空题
41．下列4个数：，，π﹣3.14，，其中无理数有_____个．
【答案】2
【分析】
是无限循环小数，是分数，π﹣3.14是无理数，是开方不尽数，是无理数．
【详解】
∵是无限循环小数，是有理数；是分数，是有理数，π﹣3.14是无理数，是开方不尽数，是无理数．
∴有两个无理数，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了有理数，无理数，熟练掌握无理数，有理数的定义及其分类标准是解题的关键．
42．在﹣1、0、0.101001…、π、5.1、7的6个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是_____．
【答案】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
解：∵在-1、0、0.101001、π、5.1、7的6个数中，
-1、0、7是整数，有理数；
5.1是有限小数，有理数；
无理数有0.101001…、π共2个，
∴随机抽取一个数，抽到无理数的概率是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．www-2-1-cnjy-com
43．已知实数﹣0.21，，，，，﹣，其中为无理数的是_____．
【答案】，，﹣．
【分析】
根据无理数的定义逐一判断即可．
【详解】
∵﹣0.21是负分数，
∴﹣0.21是有理数；
∵=2，是开方不尽的数，
∴是无理数；
∵是无理数，
∴是无理数；
∵=6，
∴是有理数；
∵是分数，
∴是有理数；
∵﹣是开方不尽的数，
∴﹣是无理数；
故答案为：，，﹣．
【点睛】
本题考查了无理数，二次根式，立方根，熟练掌握无理数的定义及其常见的表现形式是解题的关键．
44．在实数，，，，，中，无理数有__________个．
【答案】2
【分析】
由于无理数就是无限不循环小数，初中范围内学习的无理数有：，开方开不尽的数，以及像0.1010010001...，等有这样规律的数，由此即可判定选择项；
【详解】
下列各数：、0.3、
、
、
、0.01001000100001，
、是无理数，
∴有2个无理数，
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义注意带根号的数只有在开不尽方时才是无理数，无限不循环小数为无理数；
45．请你写出一个比3大且比4小的无理数，该无理数可以是：____．
【答案】答案不唯一．如：
【分析】
无限不循环小数是无理数，根据无理数的三种形式解答即可．
【详解】
设该无理数是x，由题意得，
∴x=10或11或12或13或14或15，
该无理数可以是：答案不唯一．如：
故答案为：答案不唯一．如：．
【点睛】
此题考查无理数的定义，熟记定义并掌握无理数的三种形式是解题的关键．
三、解答题
46．如图，在甲乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．
（1）请求出图中阴影正方形的边长；
（2）大家知道是无理数，，∴它的整数部分为1，小数部分可以表示为．请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求边长为无理数，并求所画正方形边长的整数部分．
（3）的整数部分是
；小数部分是
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）图见解析，整数部分为2；（2）6，
【分析】
（1）直接根据勾股定理即可求解；
（2）画出正方形，然后利用勾股定理求解即可；
（3）估算出的范围，即可找到答案．
【详解】
（1）边长为；
（2）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
边长为，
，
，
整数部分是2；
（3），
，
∴整数部分为6，小数部分为．
【点睛】
本题主要考查无理数，掌握无理数的估算和勾股定理是解题的关键
．
47．把下列各数写入相应的集合中：-，，0.1，，，，0，0.1212212221．．．
（相邻两个1之间2的个数逐次加1）
www.21-cn-jy.com
（1）正数集合{
??
}；
（2）有理数集合{
??
}；
（3）无理数集合{
}．
【答案】（1）0.1、、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）；（2）、
0.1、
、
、0
；（3）、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．
【分析】
根据实数的分类标准进行填写即可．
【详解】
解：（1）正数集合{0.1、、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）}；
（2）有理数集合{
-、
0.1、
、
、0
}；
（3）无理数集合{、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）
}．
【点睛】
本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的概念是解答本题的关键．
48．把下列各数填入相应的括号内：
－2，100，－，0.9，－∣－5.2∣，0，0.1010010001…，
正有理数集合：｛
…｝
整数集合：
｛
…｝
负分数集合：
｛
…｝
无理数集合：
｛
…｝
【答案】见详解．
【分析】
根据有理数和无理数的定义，以及有理数的分类分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，则
正有理数集合：｛0.9，，…｝；
整数集合：｛－2，0，…｝；
负分数集合：｛－，－∣－5.2∣，…｝；
无理数集合：｛100，0.1010010001…，…｝；
【点睛】
本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
49．把下列各数填入相应集合内：
，，4，
1.101001000…，
，π
，0，3%，，-|-3|，
整数集合：{
…}
分数集合：{
…}
无理数集合：{
…}
正数集合：{
…}
【答案】见解析
【分析】
由整数、分数、无理数、正数的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：整数集合：{
，4，0，-|-3|
，，…}
分数集合：{
，
，3%
，，…}
无理数集合：{1.101001000…，π，…}
正数集合：{，4，1.101001000…，π
，3%，，，…}
【点睛】
本题考查了无理数的定义，有理数的分类，解题的关键是掌握无理数和有理数的定义进行解题．
50．把下列各数分别填在相应的集合中：
，3.1415926，，，，，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析．
【分析】
根据无理数的定义先判断是否是无理数，剩下的就是有理数．无理数有①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的．21
cnjy
com
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查无理数和有理数的理解，解题关键在于区分无理数和有理数．无理数是指无限不循环小数，有理数是指有限小数和无限循环小数．
51．把下列各数填入相应的横线里：
，，，0，0.8，，，
正有理数集合：
；
整数集合：
；
负分数集合：
；
无理数集合：
．
【答案】；；；.
【分析】
根据无理数的定义，以及有理数的分类进行解答，即可得到答案.
【详解】
解：∵，，，0，0.8，，，，
∴正有理数集合：；
整数集合：；
负分数集合：；
无理数集合：；
故答案为：；；；.
【点睛】
本题考查了无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是正确的把有理数和无理数进行分类.
52．在下列网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶点均在格点上，且满足：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）三边均为有理数；（2）其中只有一边为无理数．
【答案】答案见解析
【分析】
（1）由勾股定理得出5，画出图形即可；
（2）由勾股定理得出直角边长为2、斜边长为的等腰直角三角形，画出图形即可．
【详解】
（1）5，
△ABC即为所求，
如图1所示；
（2）由勾股定理得：
，
△DEF即为所求，
如图2所示．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理、实数的定义；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．
53．把符合条件的数填在相应的大括号内
-2，，，，0，，
整
数：{
…}；
无理数：{
…}。
【答案】整
数：{
-2，
0，…}；
无理数：{，
，…}
【分析】
根据整数定义及无理数是无限不循环小数的定义进行分类即可.
【详解】
整
数：{
-2，
0，…}；
无理数：{，
，…}
【点睛】
本题考查了实数的分类，掌握整数定义及无理数就是无限不循环小数，是解题的关键
54．把下列各数分别填入相应的集合里．
3.14、0.121121112…、、、-2011、、、20%
无理数集合：
负整数集合：
分数集合：
正数集合：
【答案】见解析
【分析】
根据有理数、无理数的分类正确填入即可.
【详解】
解：无理数集合：
负整数集合：
分数集合：
正数集合：
【点睛】
此题考察有理数、无理数的分类，熟记两者的分类方法及区别是解题的关键.
55．已知与的小数部分分别是和，求的值.
【答案】-13
【分析】
首先根据的小数部分，即可得出a和b的值，然后代入即可得解.
【详解】
∵
∴的小数部分，即，
的小数部分，即
∴
=
=-13
【点睛】
此题主要考查二次根式性质的应用，关键是找出其整数部分和小数部分，即可解题.
56．设实数的整数部分是，小数部分是,求下列代数式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）10；（2）
【分析】
因为的平方在9和16之间，进一步分析可得的整数部分a的值；用整数部分，减去其整数部分，所得的差为的小数部分b，把a，b代入到ab中，计算即可求得其值.
【详解】
（1）
（2）
【点睛】
此题考查估算无理数和求代数式的值，确定出a和b的值是解题的关键.
57．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环的小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是大明用来表示的小数部分.21教育网
(1)你同意大明的表示方法吗？如果同意，请简要说明理由；如果不同意，请你表示出的小数部分；
(2)已知，其中x是整数，且，求的相反数.
【答案】(1)同意
,见解析；
(2)
【分析】
（1）先估算出的范围，即可得出答案；
（2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
【详解】
（1）同意大明的表示方法．理由如下：
因为，所以，即．
所以．
所以是的小数部分．
（2）因为，所以，所以．
所以，．
所以的相反数是．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，能估算出、的范围是解答此题的关键．
58．如图，已知OA=OB．
（1）写出数轴上点A所表示的数；
（2）比较点A所表示的数与-3.2的大小．
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）利用勾股定理，得到OB的值.
（2）如果记住了最好，没记住就把
，比较平方数的大小.
试题解析：（1）由图可知，OB=，
∵点A在原点左边，
∴点A表示.
（2）解法1：∵，
∴，
∴．
解法2：
，
∴10，
10，
∴.
59．阅读下列材料：
设：，①则.②
由，得，即.
所以.
根据上述提供的方法.把和化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？
【答案】，.任何无限循环小数都可以化成分数.
【解析】
【分析】
设①则，②；由，得；由已知，得，所以任何无限循环小数都可以这样化成分数.
【详解】
解：设①则，②
由，得，即.
所以.
由已知，得，
所以.
任何无限循环小数都能化成分数.
【点睛】
考核知识点：无限循环小数和有理数.模仿，理解材料是关键.
60．计算：
（1）；
（2）﹣12+（﹣2）3×；
（3）已知实数a、b满足+|b﹣1|=0，求a2017+b2018的值．
（4）已知+1的整数部分为a，﹣1的小数部分为b，求2a+3b的值．
【答案】(1)0；（2）-3；（3）2；（4）.
【解析】
【分析】
直接利用算术平方根以及立方根的定义化简进而得出答案；
直接利用有理数的乘方、算术平方根以及立方根的定义化简进而得出答案
利用绝对值以及平方根的非负性质得出a，b的值，进而得出答案；
直接利用2＜的范围进而得出a，b的值，即可得出答案．21·cn·jy·com
【详解】
解：
；
；
，
，，
；
的整数部分为a，的小数部分为b，
，，
．2·1·c·n·j·y
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小以及实数运算，正确化简各数是解题关键．
61．化简求值：
已知是的整数部分，，求的平方根．
已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】（1）±3；（2）2a+b﹣1.
【解析】
分析：（1）由于3＜＜4，由此可得的整数部分a的值；由于=3，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求得平方根．
（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简求出即可．
详解：（1）∵3＜＜4，∴a=3．
∵=3，∴b=9，∴==9，∴的平方根是±3；
（2）由数轴可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，则a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，则+2﹣|a﹣b|
=a+1+2（b﹣1）+（a﹣b）
=a+1+2b﹣2+a﹣b
=2a+b﹣1．
点睛：本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
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精品试卷·第
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