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第一讲
认识无理数
【基础训练】
一、单选题
1．下列实数中，无理数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义判断即可．
【详解】
解：A、分数属于有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、，是有理数，不符合题意；
D、，是有理数，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，实数的分类，对各选项化简后再判断是解题的关键．
2．下列实数中，无理数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：A、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．21教育名师原创作品
3．在下列四个数中，属于无理数的是（
）
A．
B．
C．-1
D．
【答案】D
【分析】
根据无理数的定义进行辨别即可．
【详解】
无理数是指无限不循环小数，由此可知，是无理数，
是无限循环小数，，都属于有理数，
故选：D．
【点睛】
本题考查无理数的识别，理解无理数的定义是解题关键．
4．下列实数是无理数的是（
）
A．
B．
C．3.14159
D．
【答案】B
【分析】
根据无理数的概念判断即可．
【详解】
是有理数，是无理数，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查无理数，掌握无理数的概念是关键．
5．实数0，，4，中，无理数是（
）．
A．4
B．
C．0
D．
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义，逐一判定各个选项，是解题的关键．
【详解】
解：实数0，，4，中，是无理数，
故选B．
【点睛】
本题主要考查无理数的定义，掌握“无限不循环小数，是无理数”是解题的关键．
6．在实数，0，0.131131113…，中，属于无理数的是（
）
A．
B．0
C．0.131131113…
D．
【答案】C
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：是分数，属于有理数；
0，均为整数，属于有理数；
0.131131113…是无限不循环小数，属于无理数；
故选：C
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【出处：21教育名师】
7．实数，，0，﹣2中，无理数是（
）
A．
B．
C．0
D．﹣2
【答案】A
【分析】
根据无理数的定义求解即可．
【详解】
解：A、是无理数，故本选项符合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
8．实数中的无理数有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定．
【详解】
解：是分数，属于有理数；
和-5均是整数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
是无理数，共2个
故选：B
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
9．下列数是无理数的是（
）
A．
B．
C．
D．0
【答案】C
【分析】
根据无理数的定义求解即可．
【详解】
解：，
则，，0是有理数，是无理数，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
10．的绝对值是（ ）
A．
B．6
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【详解】
解：的绝对值是，
故选C．
【点睛】
本题考查了实数的性质，主要利用了绝对值的性质，是基础题．
11．在实数，1，0，-3中，无理数是（
）
A．
B．1
C．0
D．-3
【答案】A
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：在实数，1，0，-3中，无理数有．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2·1·c·n·j·y
12．下列数中，是无理数的有（
）
A．0.1
B．
C．0
D．
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：0.1，，0是有理数；
π是无理数．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是无理数的概念，解答此类问题时一定要注意π是无理数．
13．给出下列各数：①，②，③0.3，④2，⑤0.1060060006…（每两6之间依次多一个0），⑥其中都是无理数的是（
）
A．②④⑤
B．①③⑥
C．①⑤⑥
D．③④⑤
【答案】C
【分析】
根据有理数的定义、无理数的定义进行判断即可得解．
【详解】
解：在①，②，③0.3，④2，⑤0.1060060006…（每两6之间依次多一个0），⑥中，
无理数有①，⑤0.1060060006…（每两6之间依次多一个0），⑥，共3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了实数的分类，主要利用了有理数和无理数定义，熟记概念是解题的关键．
14．下列各数中，3.14，，1.23233是无理数的是（
）
A．3.14
B．
C．
D．1.23233
【答案】C
【分析】
根据无理数的定义求解即可．
【详解】
解：A、3.14是有理数，不符合题意；
B、=3，是有理数，不符合题意；
C、，是无理数，符合题意；
D、1.23233是有理数，不符合题意；
故选C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
15．下列实数，，（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．
【详解】
是分数，属于有理数，
，是整数，属于有理数，
无理数有，(相邻两个1之间依次多一个0)，
，，共4个，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，(每两个8之间依次多1个0)等形式．【来源：21·世纪·教育·网】
16．下列实数中是无理数的是（
）
A．
B．
C．
D．0
【答案】C
【分析】
根据无理数的定义解答即可．
【详解】
A．-1是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．
17．在实数（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】
根据无理数的意义逐个数进行判断即可．
【详解】
解：，都是有理数，
而（3与1之间依次增加一个0）都是无理数，
所以无理数的个数有3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查无理数的意义，理解“无限不循环的小数是无理数”是正确判断的前提．
18．无理数的相反数是（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】
直接利用相反数的定义得出答案．
【详解】
解：无理数的相反数是：，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
19．在实数中，，，0.1010010001，，无理数有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
利用无理数的定义判断即可．
【详解】
为无理数，为有理数，为无理数，0.1010010001为有理数，为有理数．
综上可知，无理数有2个．
故选B．
【点睛】
此题考查了无理数，弄清无理数的定义是解本题的关键．
20．在实数，，3.1415926，，，，0.212112111…（每两个2之间多一个1）中，无理数有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】A
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【详解】
解：=2，
∴无理数有，0.212112111…（每两个2之间多一个1）共2个，
故选A．
【点睛】
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
21．下列实数中，是无理数的是（
）
A．
B．
C．
D．0.6
【答案】A
【分析】
根据无理数的定义判断即可．
【详解】
解：A选项，是无理数，该选项符合题意；
B选项，是有理数，该选项不符合题意；
C选项，，分数属于有理数，该选项不符合题意；
D选项，0.6，有限小数，属于有理数，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．21世纪教育网版权所有
22．下列实数中，为有理数的是（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】
根据有理数是有限小数或无限循环小数可判断C，无理数是无限不循环小数，可判断A、B、D即可．
【详解】
解：，，π是无理数，1是有理数．
故选C．
【点睛】
本题考查了实数，正确区分有理数与无理数是解题的关键．
23．下列实数中是无理数的是（
）
A．0.3
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据有理数和无理数的概念加以判断即可．
【详解】
解：A：0.3是有限小数，属于有理数；
B:可以化为无限循环小数，属于有理数；
C：是无限不循环小数，属于无理数；
D：因为，所以属于有理数．
故选：C
【点睛】
本题考查了有理数和无理数的概念的知识点，熟知有理数和无理数的概念是解题的关键．
24．在下列实数中，无理数是（
）
A．3.14
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：A、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、，是负分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
25．下列实数是无理数的是（
）
A．
B．3.1415
C．
D．－2
【答案】C
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：A、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、3.1415是有限小数数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、－2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
26．实数0、、、中，无理数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
根据无理数的概念进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：实数0、、、中，和是无理数，共有2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
27．下列各数：中无理数个数为（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．
【详解】
解：0，是整数，不是无理数，
是循环小数，不是无理数，
是分数，不是无理数，
，0.303003000，是无理数，共3个，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.3030030003…（每两个3之间依次多1个0）等形式．www.21-cn-jy.com
28．在－3，，3.14，，，，0.1010010001
这
7
个数中，无理数共有（
）
A．2
个
B．3
个
C．4
个
D．5
个
【答案】A
【分析】
根据无理数的定义逐项判断即可求解．
【详解】
解：－3是整数，是有理数；是无限不循环小数，是无理数；3.14是有限小数，是有理数；，是整数，是有理数；是无限不循环小数小数，是无理数；是分数，是有理数；0.1010010001是有限小数，是有理数．2-1-c-n-j-y
故选：A
【点睛】
本题考查了无理数的定义，熟知无理数的定义“无限不循环小数叫无理数”是解题的关键．
29．其中，无理数的个数是（
）．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】
无限不循环小数是无理数，整数和分数统称为有理数，据此解题．
【详解】
解：在中，是无理数，是整数，是分数，
是整数，是有限小数，是无理数，是无限小数，故无理数的个数是，，共2个，
故选：A．
【点睛】
本题考查实数的分类，涉及无理数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
30．下列实数中无理数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据无理数的定义判断即可；
【详解】
∵，
∴，，是有理数，是无理数，
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，准确判断是解题的关键．
31．在0，，，这四个数中，无理数是（
）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据无理数的意义逐项判断即可求解．
【详解】
解：A.
0是整数，是有理数，不合题意；
B.
=-3，是整数，是有理数，不合题意；
C.
是无限不循环小数，是无理数，符合题意；
D.
是分数，是有理数，不合题意．
故选：C
【点睛】
本题考查了无理数的定义，熟知无理数的定义“无限不循环小数叫无理数”是解题的关键．
32．下列各数中，是无理数的是（
）
A．0
B．
C．
D．3.1415926
【答案】B
【分析】
根据无理数的意义逐项判断即可求解．
【详解】
解：A.
0是整数，是有理数，不合题意；
B.是无限不循环小数，是无理数，符合题意；
C.是分数，是有理数，不合题意；
D.
3.1415926，是有限小数，不合题意．
故选：B
【点睛】
本题考查了无理数的定义，熟知无理数的定义“无限不循环小数叫无理数”是解题的关键．
33．在实数，，，，，，，中，无理数的个数是（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】
根据无理数的定义即可解答.
【详解】
解：在，3.14159265，，，，0.6，0，，中，，和是无理数，共3个.
故选C.
【点睛】
本题考查了无理数的定义，熟知无理数的三种形式是解决问题的关键.
34．在实数
0.3，0，，
6.161661666...
（相邻两个
1
之间的
6
个数逐次加1
）中，无理数有（
）21教育网
A．2
个
B．3
个
C．4
个
D．5
个
【答案】C
【分析】
根据有限小数和无限循环小数是有理数，无理数就是无限不循环小数，可得答案．
【详解】
解：根据无理数的定义可得：（相邻两个之间的个数逐次加）是无理数，共4个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义：无理数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)就是无限不循环小数，初中范围内学习的无理数有3种形式：π；开方开不尽的数；以及0.1010010001…无限不循环小数．
35．有下列说法：（1）绝对值等于它本身的数是非负数；
（2）多项式最高次项的系数是3；
（3）两个无理数之和仍为无理数；
（4）若，那么．
其中说法正确的有（
）个
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
根据绝对值的性质判断（1）；根据多项式的定义判断（2），根据无理数的定义判断（3），根据近似数与精确数的概念判断（4）．
【详解】
解：（1）绝对值等于它本身的数是非负数是正确的；
（2）多项式1+2xy-3xy2最高次项的系数是-3，故选项错误；
（3）两个无理数之和可能是有理数，故选项错误；
（4）若a≈5.34，那么5.335≤a＜5.345是正确的．
故说法正确的有2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查绝对值，多项式，无理数，以及准确数的取值范围，属于基础题型．
36．已知a为有理数，b、c为无理数，下列各数：、、、中一定是无理数的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：已知为有理数，、为无理数，
则一定是无理数；
不一定是无理数，例如；
不一定是无理数，例如；
不一定是无理数，例如．
故、、、中一定是无理数的只有共1个．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．21·世纪
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37．下列各数中是无理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．13
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义求解即可．
【详解】
解：，，13是有理数，
是无理数，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，熟悉相关定义是解题的关键．
38．在实数0，π，3.1415，，，0.070070007…（每两个7之间依次多一个0）中无理数的个数为（ ）21
cnjy
com
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
0是整数，属于有理数；
3.1415是有限小数，属于有理数；
无理数有：π，
，，0.070070007…（每两个7之间依次多一个0）共4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数、无理数的概念．以下
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)几类无理数应知道：π或π与有理数的运算结果都是无理数；开不尽方的数以及它们与有理数的和、差、积、商也都是无理数；还有如0.070070007…（每两个7之间依次多一个0）这样的数也是无理数．
39．下列实数中，是无理数的是（
）
A．
B．
C．1.010010001
D．
【答案】B
【分析】
根据无理数的意义求解
．
【详解】
解：A、因为，5是整数，所以不符合题意；
B、因为开不尽方，所以为无理数，符合题意；
C、因为1.010010001是有限小数，为有理数，不符合题意；
D、因为是分数，为有理数，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查无理数的应用，熟练掌握实数的分类及无理数和有理数的意义是解题关键．
40．在，3.14，，﹣8，1.010010001…，，，中，无理数的个数有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义求解即可．
【详解】
是分数，属于有理数；
3.14是有限小数，属于有理数；
﹣8，，都是整数，属于有理数；
无理数有，1.010010001…，共3个．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．21cnjy.com
二、填空题
41．从，，，这个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为_____．
【答案】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
解：∵，，，这4个数中无理数有，共2个，
∴这4个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为2÷4=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m÷n．
42．下列一组数：中，无理数有_______个．
【答案】2
【分析】
有理数概念：能够改写成形式的数为有理数，判断出有理数；无理数的特点是无限不循环的小数；根据这两点判断上面的数即可找出无理数．
【详解】
有理数有：-8，2.6，，
无理数有：；
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查有理数、无理数的概念，熟记概念和特殊字母符号是解决问题的关键．
43．从，3.101001，π，这四个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率是____．
【答案】
【分析】
用无理数的个数除以数的总个数即可求解．
【详解】
解：在所列4个实数中，无理数有π，共2个，
∴这四个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率是＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查无理数的概念、简单的概率计算，会利用概率公式P=计算概率是解答的关键．
44．在-0.4，，4，，，，中，无理数有_____个．
【答案】2
【分析】
根据无理数、有理数的定义即可求解（无理数为无限不循环小数，整数和分数统称有理数）．
【详解】
-0.4，是有限小数，属于有理数；
4，，是整数，属于有理数；
，是分数，属于有理数；
，?π，是无理数，共2个．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．21
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com
45．在下列各数，，，0.1212中，无理数是_______．
【答案】π，
【分析】
根据无理数的定义求解即可．
【详解】
解：，0.1212是有理数；π，是无理数．
故答案为：π，．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π．
三、解答题
46．算一算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（精确到0.01）
【答案】（1）40；（2）；（3）；（4）0；（5）．
【分析】
（1）根据有理数的加减法法则解题，注意减去一个数等于加上这个数的相反数；
（2）先去括号，再利用加法结合律，将同分母分数相加减，最后根据有理数的加法法则解题；
（3）先将除法转化成乘法，再结合乘法分配律解题；
（4）先乘方，再乘除，最后计算加减，注意，有括号的，先去小括号，再去中括号，据此解题；
（5）利用乘法分配律先去小括号，化简，再去中括号，化为最简，再将的近似数代入解题，最后精确到0.01即可．
【详解】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【点睛】
本题考查含乘方的有理数的混合运算、无理数的估算、近似数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
47．把下面的有理数填在相应的大括号里：（提示：将各数用逗号分开）
2，－5，，，5.6，0，60％，－3.14，－0.101001…
正数集合
；
负数集合
；
整数集合
．
【答案】正数集合；负数集合；整数集合；
【分析】
根据数集的分类表准赛选即可．
【详解】
正数集合；
负数集合；
整数集合．
【点睛】
本题考查给数集填数问题，关键掌握数集的概念，及书写要求，认识集合表示构成，集合符号，被填数，省略号三者不可缺少，会利用数集的分类标准选数．
48．请将下列各数填入相应的集合内：
，0，π，，-1.010010001···（每两个1之间多一个0），
有理数集合：{
···}；
无理数集合：{
···}；
非负数集合：{
···}．
【答案】有理数集合：{，0，，···}；无理数集合：{π，-1.010010001···（每两个1之间多一个0）···}；非负数集合：{0，π，，···}．
【分析】
根据有理数的概念、无理数及非负数的概念可直接进行求解．
【详解】
有理数集合：{，0，，···}；
无理数集合：{π，-1.010010001···（每两个1之间多一个0）···}；
非负数集合：{0，π，，···}．
【点睛】
本题主要考查有理数的概念、无理数及非负数，熟练掌握有理数的概念、无理数及非负数是解题的关键．
49．把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：
－2.4，3，－2020，－，0.1010010001…，－，0，－（－30%），，－|－4|
（1）正数集合：{
…}
（2）无理数集合：{
…}；
（3）分数集合：{
…}；
（4）非正整数集合：{
…}；
【答案】（1）3，0.1010010001…，－（－30%），；（2）0.1010010001…，；（3）－2.4，－，－，－（－30%）；（4）－2020，0，－|－4|
【分析】
（1）先化简－（－30%）与－|－4|，再根据正数都大于0解答；
（2）根据无理数的定义：无限不循环小数叫无理数解答；
（3）根据有理数的分类解答；
（4）非正整数是0与负整数，据此解答即可．
【详解】
解：（1）－（－30%）=30%，－|－4|=﹣4；
正数集合：{3，0.1010010001…，－（－30%），，…}
（2）无理数集合：{0.1010010001…，，
…}；
（3）分数集合：{－2.4，－，－，－（－30%），…}；
（4）非正整数集合：{－2020，0，－|－4|，…}．
【点睛】
本题考查了有理数的分类和无理数的概念，属于基础题目，熟练掌握有理数和无理数的概念是关键．
50．把下列各数填在相应的大括号里：，，，，，，，，，
(相邻两个3之间依次多一个0），www-2-1-cnjy-com
非负整数集合：{
…}；
分数集合：{
…}；
无理数集合：{
}．
【答案】见解析
【分析】
根据有理数的分类和无理数的定义将这些数进行分类．
【详解】
解：，是非负整数，
，，是分数，
，是无理数，
非负整数集合：{，…}；
分数集合：{，，
…}；
无理数集合：{，
(相邻两个3之间依次多一个0）…}．
【点睛】
本题考查有理数的分类和无理数的定义，解题的关键是掌握有理数的分类．
51．根据下表回答问题：
的平方根为多少？
约等于多少？
在表中的哪两个相邻的数之间？为什么？
【答案】（1）；（2）；（3）在表中和之间.
【解析】
【分析】
（1）根据图表和平方根的概念解答即可；
（2）根据算术平方根的概念解答；
（3）通过图表给出的数据进行估计即可.
【详解】
（1）的平方根是；
（2）；
（3）由图表可知，，
，
在表中和之间.
【点睛】
本题考查的是算术平方根和平方根的概念以及估计无理数的大小，掌握一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根.如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根是解题的关键.【版权所有：21教育】
52．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求（﹣a）3+（b+2）2的值．
【答案】-1.
【解析】
【分析】
先估算的范围，确定a，b的值，再代入代数式即可解答．
【详解】
解：∵2＜＜3，
∴a=2，b=﹣2，
∴（﹣a）3+（b+2）2=（﹣2）3+（﹣2+2）2=﹣8+7=﹣1．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的范围．
53．计算：
(1)π-+(精确到0.01)；
(2)|-|+0.9(保留两位小数).
【答案】(1)原式≈3.46；(2)
原式≈1.72.
【解析】
试题分析：（1）π≈3.142，≈1.414，≈1.732，所以π－＋≈3.142－1.414＋1.732≈3.46；（2）先去绝对值得－+0.9，≈2.236，≈1.414，所以|－
|＋0.9≈2.236－1.414＋0.9≈1.72.
试题解析：
(1)原式≈3.142－1.414＋1.732≈3.46；
(2)
原式≈2.236－1.414＋0.9≈1.72.
点睛：本题关键先对式子化简，然后估算根式的值，最后四舍五入求近似数即可.
54．把下列各数分别填入相应的集合里．
﹣5，﹣2.626
626
662…，0，π，﹣，0.12，|﹣6|，（﹣2）2
（1）正数集合：{
}
（2）负数集合：{_
}
（3）有理数集合：{
}
（4）无理数集合：{
}．
【答案】π，0.12，|﹣6|；﹣5，﹣2.626
626
662…，﹣；﹣5，0，﹣，0.12，|﹣6|；﹣2.626
626
662…，π．
【详解】
试题分析：依据正数，负数数，有理数，无理数的概念判断即可.
试题解析：
正数集合：
负数集合：
有理数集合：
无理数集合：
点睛：比0大的数叫做正数.
比0小的数叫做负数.整数和分数统称为有理数.无限不循环小数叫做无理数.
注意：0既不是正数也不是负数.
55．把下列各数填入相应的括号内．
，，，，，，．
整数集合：{
}
正数集合：{
}【来源：21cnj
y.co
m】
分数集合：{
}
无理数集合：{
}
【答案】详见解析.
【详解】
试题分析：依据整数，正数，分数，无理数的概念判断即可.
试题解析：
整数集合：
正数集合：
分数集合：
无理数集合：
点睛：整数包含正整数，零，负整数.比0大的数叫做正数.无限不循环小数叫做无理数.
56．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？
【答案】不可能，不可能，不可能
【解析】
试题分析：先根据勾股定理求出CD的长，即可判断.
∵CD⊥AB，
AC=6，AD=5，
，
不可能是整数，不可能是分数，不可能是有理数.
考点：本题考查的是勾股定理，实数的分类
点评：解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
57．已知：在数－，－,π,3.1416,,0,42,(－1)2n,－1.424224222…中，
（1）写出所有有理数；
（2）写出所有无理数；
（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.
【答案】(1)－，－1.，3.1416，，0，42，(－1)2n
(2)π，－1.424224222…
(3)－1.
<－1.424224222…<－<0<<(－1)2n<π<3.1416<42
【解析】
试题分析：根据有理数、无理数的定义，实数的大小比较法则即可得到结果.
（1）－，－1.，3.1416，，0，42，(－1)2n；
（2）π，－1.424224222…；
（2）－1.
<－1.424224222…<－<0<<(－1)2n<π<3.1416<42.
考点：本题考查的是有理数、无理数的定义，实数的大小比较
点评：解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
58．在某项工程中，需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢？要解决这个问题，必须首先求出正方形的边长，那么，请你算一算：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如果精确到十分位，正方形的边长是多少？
（2）如果精确到百分位呢？
【答案】(1)1.7米；(2)1.73米
【解析】
试题分析：正方形的面积为边长的平方，已知面积求边长，即将边长开方即可．
由题意得正方形的边长，
（1）精确到十分位就是保留小数点后面一位数，即正方形的边长为1.7米；
（2）精确到百分位就是保留小数点后面两位数，即正方形的边长为1.73米．
考点：本题考查的是近似数和有效数字
点评：解答本题的关键是要了解精确到十分位和百分位的含义，同时熟记正方形的面积公式.
59．设面积为5π的圆的半径为y，请回答下列问题：
（1）y是有理数吗？请说明你的理由；
（2）估计y的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计.
【答案】（1）不是；（2）2.2
【解析】
试题分析：根据圆的面积公式即可得到圆的半径，从而可以得到结果.
（1）由题意得，
解得，是无理数，不是有理数；
（2）
考点：本题考查的是圆的面积公式，实数的分类
点评：解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
60．500多年前，数学各学
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：21·cn·jy·com
（1）x是整数吗？为什么不是？
（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？
【答案】（1）在1和2之间不存在另外的整数．（2）不是.
【解析】试题分析：（1）根据比例中项的定义，可知x2=2，结合无理数的概念，就能得出x是不是整数的结论．
（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论．
（1）不是，∵1<2<4，而x2=2
∴10，1∴在1和2之间不存在另外的整数.
（2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数.
考点：本题主要考查无理数和勾股定理
点评：解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
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精品试卷·第
2
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第一讲
认识无理数
【基础训练】
一、单选题
1．下列实数中，无理数是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列实数中，无理数是（
）
A．
B．
C．
D．
3．在下列四个数中，属于无理数的是（
）
A．
B．
C．-1
D．
4．下列实数是无理数的是（
）
A．
B．
C．3.14159
D．
5．实数0，，4，中，无理数是（
）．
A．4
B．
C．0
D．
6．在实数，0，0.131131113…，中，属于无理数的是（
）
A．
B．0
C．0.131131113…
D．
7．实数，，0，﹣2中，无理数是（
）
A．
B．
C．0
D．﹣2
8．实数中的无理数有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
9．下列数是无理数的是（
）
A．
B．
C．
D．0
10．的绝对值是（ ）
A．
B．6
C．
D．
11．在实数，1，0，-3中，无理数是（
）
A．
B．1
C．0
D．-3
12．下列数中，是无理数的有（
）
A．0.1
B．
C．0
D．
13．给出下列各数：①，②，③0.3，④2，⑤0.1060060006…（每两6之间依次多一个0），⑥其中都是无理数的是（
）21cnjy.com
A．②④⑤
B．①③⑥
C．①⑤⑥
D．③④⑤
14．下列各数中，3.14，，1.23233是无理数的是（
）
A．3.14
B．
C．
D．1.23233
15．下列实数，，（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
16．下列实数中是无理数的是（
）
A．
B．
C．
D．0
17．在实数（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
18．无理数的相反数是（
）
A．
B．
C．
D．2
19．在实数中，，，0.1010010001，，无理数有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
20．在实数，，3.1415926，，，，0.212112111…（每两个2之间多一个1）中，无理数有（
）2·1·c·n·j·y
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
21．下列实数中，是无理数的是（
）
A．
B．
C．
D．0.6
22．下列实数中，为有理数的是（
）
A．
B．
C．1
D．
23．下列实数中是无理数的是（
）
A．0.3
B．
C．
D．
24．在下列实数中，无理数是（
）
A．3.14
B．
C．
D．
25．下列实数是无理数的是（
）
A．
B．3.1415
C．
D．－2
26．实数0、、、中，无理数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
27．下列各数：中无理数个数为（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
28．在－3，，3.14，，，，0.1010010001
这
7
个数中，无理数共有（
）
A．2
个
B．3
个
C．4
个
D．5
个
29．其中，无理数的个数是（
）．
A．2
B．3
C．4
D．5
30．下列实数中无理数是（
）
A．
B．
C．
D．
31．在0，，，这四个数中，无理数是（
）
A．0
B．
C．
D．
32．下列各数中，是无理数的是（
）
A．0
B．
C．
D．3.1415926
33．在实数，，，，，，，中，无理数的个数是（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
34．在实数
0.3，0，，
6.161661666...
（相邻两个
1
之间的
6
个数逐次加1
）中，无理数有（
）21教育网
A．2
个
B．3
个
C．4
个
D．5
个
35．有下列说法：（1）绝对值等于它本身的数是非负数；
（2）多项式最高次项的系数是3；
（3）两个无理数之和仍为无理数；
（4）若，那么．
其中说法正确的有（
）个
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
36．已知a为有理数，b、c为无理数，下列各数：、、、中一定是无理数的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
37．下列各数中是无理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．13
38．在实数0，π，3.1415，，，0.070070007…（每两个7之间依次多一个0）中无理数的个数为（ ）2-1-c-n-j-y
A．1
B．2
C．3
D．4
39．下列实数中，是无理数的是（
）
A．
B．
C．1.010010001
D．
40．在，3.14，，﹣8，1.010010001…，，，中，无理数的个数有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二、填空题
41．从，，，这个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为_____．
42．下列一组数：中，无理数有_______个．
43．从，3.101001，π，这四个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率是____．
44．在-0.4，，4，，，，中，无理数有_____个．
45．在下列各数，，，0.1212中，无理数是_______．
三、解答题
46．算一算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（精确到0.01）
47．把下面的有理数填在相应的大括号里：（提示：将各数用逗号分开）
2，－5，，，5.6，0，60％，－3.14，－0.101001…
正数集合
；21·cn·jy·com
负数集合
；21·世纪
教育网
整数集合
．www-2-1-cnjy-com
48．请将下列各数填入相应的集合内：
，0，π，，-1.010010001···（每两个1之间多一个0），
有理数集合：{
···}；21
cnjy
com
无理数集合：{
···}；【来源：21cnj
y.co
m】
非负数集合：{
···}．【版权所有：21教育】
49．把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：
－2.4，3，－2020，－，0.1010010001…，－，0，－（－30%），，－|－4|
（1）正数集合：{
…}21
cnjy
com
（2）无理数集合：{
…}；
（3）分数集合：{
…}；
（4）非正整数集合：{
…}；21世纪教育网版权所有
50．把下列各数填在相应的大括号里：，，，，，，，，，
(相邻两个3之间依次多一个0），
非负整数集合：{
…}；
分数集合：{
…}；
无理数集合：{
}．
51．根据下表回答问题：
的平方根为多少？
约等于多少？
在表中的哪两个相邻的数之间？为什么？
52．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求（﹣a）3+（b+2）2的值．
53．计算：
(1)π-+(精确到0.01)；
(2)|-|+0.9(保留两位小数).
54．把下列各数分别填入相应的集合里．
﹣5，﹣2.626
626
662…，0，π，﹣，0.12，|﹣6|，（﹣2）2
（1）正数集合：{
}
（2）负数集合：{_
}
（3）有理数集合：{
}
（4）无理数集合：{
}．
55．把下列各数填入相应的括号内．
，，，，，，．
整数集合：{
}
正数集合：{
}www.21-cn-jy.com
分数集合：{
}
无理数集合：{
}【来源：21·世纪·教育·网】
56．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？【出处：21教育名师】
57．已知：在数－，－,π,3.1416,,0,42,(－1)2n,－1.424224222…中，21教育名师原创作品
（1）写出所有有理数；
（2）写出所有无理数；
（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.
58．在某项工程中，需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢？要解决这个问题，必须首先求出正方形的边长，那么，请你算一算：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如果精确到十分位，正方形的边长是多少？
（2）如果精确到百分位呢？
59．设面积为5π的圆的半径为y，请回答下列问题：
（1）y是有理数吗？请说明你的理由；
（2）估计y的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计.
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精品试卷·第
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