第一讲 探究勾股定理(提升训练)(原卷版+解析版)

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第一讲
探究勾股定理
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（
）．
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A．2
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】
延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长．
【详解】
解：延长BE交CD延长线于P，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠ECP，
在△AEB和△CEP中，
∴△AEB≌△CEP（ASA）
∴BE＝PE，CP＝AB＝5
又∵CD＝3，
∴PD=2，
∵
∴
∴BM＝BP＝．
故选：C．
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【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP．
2．在中，，是内一点，且，，则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．
【答案】D
【分析】
先依据题意作图形，再结合图形进行分析，在等腰直角△ABC中，已知PA、PC，通过辅助线求出AD，DC及PD边的长，进而PB可求．
【详解】
解：如图所示，过点B作BE⊥AC，过点P作PD，PF分别垂直AC，BE，
则四边形为矩形，
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在△APD中，=5，
在△PCD中，，且AD+CD=5，
解得：AD=，CD=，PD=，
在Rt△ABC中，
BE=AE=，
所以在Rt△BPF中，==10，
∴PB=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的运用．会画出简单的图形辅助解题．
3．如图，点A，B是棱长为1的立方体的两个顶点，若将该立方体按图中所示展开，则在展开图中，A，B两点间的距离是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
连接AB，根据Rt△ABC和勾股定理可得出AB两点间的距离．
【详解】
解：如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
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可得：AB=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，得出正方体上A、B两点间的距离为直角三角形的斜边是解题关键．
4．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
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经观察可以发现：图（1）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（
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A．12
B．32
C．64
D．128
【答案】C
【分析】
通过观察已知图形可以发现：图（2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．
【详解】
解：由题可得，
图（2）比图（1）多出4个正方形，
图（3）比图（2）多出8个正方形，
；
图（4）比图（3）多出16个正方形，
；
图（5）比图（4）多出32个正方形，
；
照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：
故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；
故答案为：C．
【点睛】
此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
5．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．若的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，则下列关系式正确的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据面积的和差关系表示出与，与的关系，再利用勾股定理即可得答案．
【详解】
∵的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，
∴==，
=，
∵在Rt△ABC中，，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理及圆的面积公式；熟练掌握勾股定理，正确表示出各图形的面积关系是解题的关键．
6．如图，在中，，，，D为边上一点，将沿折叠，若点B恰好落在线段的延长线上点E处，则的长为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用勾股定理求出AC，根据折叠的性质得到AE，从而可得CE，在△CDE中利用勾股定理求出DE即可．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12，
∴AC==5，
由折叠可知：AB=AE=13，BD=DE，
∴CE=AE-AC=8，
∵BC=CD+BD=CD+DE，
∴CD=BC-DE=12-DE，
∴在△CDE中，，
解得：DE=，
故选C．
【点睛】
本题考查了折叠问题，勾股定理，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理求出线段．
7．七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧极能拼出许多有趣的图案，小聪将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割成七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知，则图中阴影部分的面积为（
）．
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A．200
B．
C．50
D．100
【答案】A
【分析】
如图，设OF＝EF＝FG＝xcm，可得EH＝2x＝40cm，解方程即可解决问题．
【详解】
解：如图：设OF＝EF＝FG＝x（cm），
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∴OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，由勾股定理得：EH＝2x，
∵AB＝80cm，
∴由题意得EH＝40cm，
∴40＝2x，
∴x＝10，
∴阴影部分的面积＝（10）2＝200（cm2）
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为，已知，则纸片的面积是（
）
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A．102
B．104
C．106
D．108
【答案】D
【分析】
设，则，，根据勾股定理即可求得的长，利用表示出，同理表示出，根据，即可求得的值，进而求得三角形的面积．
【详解】
解：设，则，．
设，则，，
在直角中，，
根据勾股定理可得：，
解得：，
则，
同理可得：，
，
，
解得：，
纸片的面积是：，
故选：D．
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【点睛】
本题主要考查了翻折变换（折叠问题），三角形面积的计算，根据勾股定理求得CD的长是解题的关键．
9．如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（
）
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A．36
B．49
C．74
D．81
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质得出∠EFG=∠EGH=∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)HMG=90°，EG=GH，求出∠FEG=∠HGM，证△EFG≌△GMH，推出FG=MH，GM=EF，求出EF2=25，HM2=49，求出B的面积为EG=EF2+FG2=EF2+HM2，代入求出即可．
【详解】
解：根据正方形的性质得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，
∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠HGM=90°，
∴∠FEG=∠HGM，
在△EFG和△GMH中，
，
∴△EFG≌△GMH（AAS），
∴FG=MH，GM=EF，
∵A，C的边长分别为5和7，
∴EF2=52，HM2=72，
∴B的面积为EG=EF2+FG2=EF2+HM2=25+49=74，
故选：C．
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【点睛】
本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出FG=MH，题目比较典型，难度适中．21
cnjy
com
10．如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为（
）
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A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】
由勾股定理求出AB、AC、BC的长度，得出Rt△ABC，通过三角函数即可求出．
【详解】
由题知：，
，
，
∴
∴三角形为Rt△ABC
tan∠BAC==2
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
11．已知△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为（
）
A．168
B．84
C．84或36
D．168或72
【答案】C
【分析】
高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．
【详解】
解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD＝＝6，
在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD＝＝15，
当AD在三角形的内部时，BC＝BD+CD＝15+6＝21，
所以△ABC的面积为×21×8＝84；
当AD在三角形的外部时，BC＝CD－BD
＝15﹣6＝9，
所以△ABC的面积为×9×8＝36．
故选：C．
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【点睛】
本题考查了勾股定理和三角形的面积公
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)式，当涉及到有关高的题目时，注意由于高的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，所以要注意考虑多种情况．2·1·c·n·j·y
12．中，，则三个半圆的面积关系是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据勾股定理及圆的面积公式可得，以直角三角形两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，计算选出正确答案即可．
【详解】
解：设面积为、、所在半圆直径对应的直角三角形三边为、、，则，
，
，
，
∵中，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，圆的面积，根据勾股定理证明直角三角形三边为直径的半圆面积关系是解题关键．
13．如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为，正方形，，，的面积分别为，，，，且，则下列结论正确的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设正方形B的边长为b，正方形D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的边长为a，分别用含b和含a的式子表示出最大正方形的边长、正方形D左侧的正方形的边长及最大正方形下方直角三角形的最长边；再分别表示出S1，S2，S4；然后在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得出b2与a2的数量关系；最后观察并计算可得出答案．
【详解】
解：设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，
∵其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，
∴最大正方形的边长为kb，正方形D左侧的正方形的边长为ka，
∴最大正方形下方直角三角形的最长边为k2a，
∴S1=（kb）2-b2
=（k2-1）b2，
S2=b2，
S4=a2，
在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得：
（ka）2+（kb）2=（k2a）2，
∴a2+b2=k2a2，
∴b2=（k2-1）a2，
∴S1=（k2-1）2a2，
∴S1?S4=（k2-1）2a2?a2
=[（k2-1）a2]2
=S22，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形和正方形中的运用，数形结合并正确找到相关线段的数量关系是解题的关键．
14．如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，△ABC的三个顶点都在格点上，则AC边上的高为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先计算出△ABC的面积和AC，再设AC边上的高为x，利用三角形面积公式可得答案．
【详解】
解：△ABC的面积：，
AC＝，
设AC边上的高为x，由题意得：
，
，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，关键是正确求出三角形面积，利用等积法求高．
15．在直角三角形ABC中，斜边AB=5，求AB2+BC2+AC2=（
）
A．50
B．25
C．10
D．5
【答案】A
【分析】
根据勾股定理求解．
【详解】
解：根据题意由勾股定理可得：BC2+AC2=AB2=25，
∴AB2+BC2+AC2=25+25=50，
故选A
．
【点睛】
本题考查直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
16．若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（
）
A．倍
B．2倍
C．倍
D．4倍
【答案】B
【分析】
根据勾股定理求解．
【详解】
解：设直角三角形三边长分别为a、b、c，则：
a2+b2=c2，
∴，
∵直角三角形的两条直角边各扩大2倍，
∴可设扩大后的三角形各边为2a、2b、d，则：
d=，
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的各种变形是解题关键．
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC，AC＝，点E是AB上的点，将△BCE沿CE翻折，得到△B′CE，过点A作AF∥BC交∠ABC的平分线于点F，连接B′F，则B′F长度的最小值为（
）
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A．＋
B．﹣
C．＋
D．﹣
【答案】B
【分析】
根据勾股定理得出BC和CF，利用翻折的性质解答即可．
【详解】
解：∵AB＝2AC，AC＝，
∴AB＝2，
在Rt△ACB中，BC＝，
而△BCE沿CE翻折得△B'CE，
∵AF//BC，
∴∠BCA＝∠CAF＝90°，∠CBF＝∠BFA，
∵∠CBF＝∠FBA，
∴∠FBA＝∠BFA，
∴AF＝AB＝2，
连接CF，
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在Rt△ACF中，CF＝，
在△B'CF中，B'F＞CF﹣B'C，
∴B'F最小值为，
故选：B．
【点睛】
此题考查翻折问题，关键是根据翻折的性质和勾股定理解答．
18．下列各组数是勾股数的一组是（
）
A．7，24，25
B．，，
C．1.5，2，2.5
D．32，42，52
【答案】A
【分析】
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】
解：A、72+242=252，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项符合题意；
B、，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；
C、1.5，2.5，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；
D、92+162≠252，不是勾股数，不合题意．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
19．如图，长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点向上垂直拉升至点，则橡皮筋被拉长了（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】
解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
同理，BD=5cm；
∴AD+BD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理求值．
20．如图，已知△ABC中，∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC=90°，AB=BC，过△ABC的顶点B作直线l，且点A到l的距离为2，点C到l的距离为3，则AC的长是(　　)
A．
B．2
C．
D．5
【答案】C
【分析】
分别过A、C作AD⊥l于D，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CE⊥l于E，根据锐角互余可得∠ABD=∠BCE，∠DAB=∠CBE，利用ASA可证明△ABD≌△CBE，即可得BD=CE，根据勾股定理可求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．
【详解】
解：作AD⊥l于点D，作CE⊥l于点E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
又∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE(AAS)，
∴BE=AD=2，DB=CE=3，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及勾股定理，根据三角形全等得出BD=CE是解题关键．
21．如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，由折叠的性质及中点性质，可得△AEB是直角三角形，且G点是BE的中点，从而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的长，则根据△ABC的面积相等一方面可表示为，另一方面其面积为△BCD与△ACD面积的和，从而可求得CH的长．
【详解】
连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示
由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE
∴CG是线段BE的垂直平分线
∴BG=BE
∵D点是AB的中点
∴BD=AD，
∴AD=ED
∴∠DAE=∠DEA
∵BD=ED
∴
∠DEB=∠DBE
∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°
即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°
∴2∠DEA+2∠DEB=180°
∴∠DEA+∠DEB=90°
即∠AEB=90°
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
∴
∵
∴
∴
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故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定、勾股定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG⊥BE，从而可求得△BCD的面积也即△ABC的面积．21cnjy.com
22．如图，在中，，分别以，，为斜边作三个等腰直角，，，图中阴影部分的面积分别记为，，，，若已知的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设AC=m，BC=n，的面积为S，用含有m，n的代数式分别表示相关线段，继而表示相应的面积，确定面积与m，n，S之间的关系，从而作出判断．
【详解】
设AC=m，BC=n，的面积为S，
∵中，，分别以，，为斜边作三个等腰直角，，，
∴S=，AB=，
∴AE=EC=，BF=CF=，AD=BD=，
在直角三角形AED中，ED==，
∴DC=EC-ED=-=，
∴=，
故的值可以确定，
∴A选项符合题意；
设AC，BD的交点为G，则+=
=，
+=，
∴=+-=，与n有关系，故代数式的值不能确定，
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∴B选项不符合题意；
∵+=，+=，
∴=，
∴=++-=++-=，无法确定，
∴C选项不符合题意；
∵=+=，与n有关，
∴D选项不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的割补，灵活运用性质和勾股定理计算阴影的面积是解题的关键．
23．已知a、b为两正数，且，则代数式最小值为（
）
A．12
B．13
C．14
D．15
【答案】B
【分析】
如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得
BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，然后根据勾股定理构可得AB=和AC=，当A，B，C三点共线时有最小值，在根据勾股定理计算即可．21教育名师原创作品
【详解】
解：如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得
BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，
根据勾股定理可得：AB=和AC=，
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所以：
，
∴当A，B，C三点共线时有最小值，即BC，
在Rt△BDC中．
故选：B
【点睛】
本题主要考查勾股定理，能够根据二次根式的特点，数形结合，构造出直角三角形表示所求式子是解题的关键．
24．如图，点是正半轴上一点，点是负半轴上一点，，点（在的右边）在轴上，且，点是轴上一动点，将三角形沿直线翻折，点落在点处，已知的最小值为1，则点的坐标是（
）
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A．（0，2）
B．（0，2.4）
C．（0，2.5）
D．（0，1.8）
【答案】B
【分析】
由折叠的性质可求AC的长，由勾股定理可求OA的长．
【详解】
解：∵将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，
∴AB＝AE=3，
∵EC≥AC
-AE，
∴当点A，点E，点C共线时，EC有最小值，
如图，
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∵CE的最小值为1，
∴AC＝4，
∴AO2+OC2＝16，AO2+（5﹣OC）2＝9，
∴OC=3.2,OA＝2.4，
∴点A坐标为（0，2.4），
故选：B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是解决问题的关键．
25．如图，在Rt△ABC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．
C．4
D．6
【答案】D
【分析】
设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝3，即可求解．
【详解】
解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，
∴ABa，ACb，BCc，
∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴2a2+2b2＝2c2，
∴a2+b2＝c2，
∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，
∴BG＝GH＝a，
∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，
∴（a+c）（c﹣a）＝9，
∴c2﹣a2＝18，
∴b2＝18，
∴b＝3，
∴ACb＝6，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．
26．如图，在中，平分．边的垂直平分线分别交于点．以下说法错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．21教育网
【详解】
解：如图，连接BD、AD，过点D作DM⊥BC于M，DN⊥CA的延长线于N，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A、在中，，，
∴．故此选项说法正确；
B、∵DM⊥BC，DN⊥CA
∴∠DNC＝∠DMC＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCN＝∠DCM＝45°．
∴∠DCN＝∠CDN＝45°．
∴CN=DN．
则△CDN是等腰直角三角形．
同理可证：△CDM也是等腰直角三角形，
∴CD=．CD=，
∴DM=DN=
CM=CN，∠MDN＝90°．
∵DE垂直平分AB，
∴BD=AD，AB=2BE．
∴Rt△BDM≌△ADN，
∴∠BDM=∠AND．
∴∠BDM+∠ADM
=∠AND+∠ADM＝∠MDN．
∴∠ADB=90°．
∴AB=．
即2BE=AD．
∵在Rt△AND中，AD是斜边，DN是直角边，
∴AD＞DN，则＞．
∴2BE＞CD．故此选项说法错误．
C、∵BD=AD，∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴DE=AB．
在中，，，
∴AC=AB．
∴DE=AC．故此选项说法正确．
D、∵Rt△BDM≌△ADN，
∴BM=AN．
∴CN=AC+AN=AC+BM=CM．
∴BC=BM+CM=AC+2BM．
∵CD=CN，
∴CD=2CN=2AC+2BM=AC+2BM+AC．
∵AC=AB，
∴CD=AB+BC．故此选项说法正确．
故选：B．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了直角三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．
27．如图，直角三角形纸片中，，，D为斜边中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先求出AD的长，再由折叠的性质可得AP1=AD1，AP2=AD2，AP3=AD3，计算出AD3的长度，可得AP3的长．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==10，
∵D为斜边BC中点，
∴AD=BC=5，
由折叠可知：AD1=AD，AP1=AD，
∴AP1=AD1，
AD2=AD1=AD，AP2=AD1=AD，
∴AP2=AD2，
可知：AP3=AD3，
AD1=AD=，
AD2=AD1=AD=，
∴AD3=AD2==，
∴AP3=AD3=，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质、勾
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质，正确找出命题中隐含的数量关系是关键；对运算求解能力提出了较高的要求．
28．勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形）的面积记为，则的关系为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据勾股定理得到a2＝c2+b2，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于大正方形的面积减去空白部面积，而空白部分面积是两个较小正方形面积和减去重叠部分（六边形）的面积即可．
【详解】
解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b，
由勾股定理得，a2＝c2+b2，
设最大正方形的面积为S5,较小正方形面积为S6，最小正方形面积为S7，
则S5=
S6+
S7，
图2中空白部分面积为：S6+
S7-S4,
，
,
，
，
故选C
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．关键是弄清空白部分的面积如何用两小正方形的面积和重叠部分面积表示．
29．在中，边上的中线，则的面积为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【分析】
本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC为直角三角形，再根据勾股定理求得
，最后根据求解即可.
【详解】
解：如图，在中，边上的中线，
∵CD=3，AB=
6，
∴CD=3，AB=
6，
∴CD=
AD=
DB
，
，
，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选B.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.
30．如图，在△ABC和△ADE中，∠B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E在同一条直线上，连接B，D和B，E．下列四个结论：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①BD=CE，
②BD⊥CE，
③∠ACE+∠DBC=30°，
④．
其中，正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
①由AB=AC，AD=AE，利用等式的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；
②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
【详解】
解：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥CE，
故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，
故③错误；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE2=BD2+DE2，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴AE=AD，
∴DE2=2AD2，
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2，
在Rt△BDC中，，
而BC2=2AB2，
∴BD2<2AB2，
∴
故④错误，
综上，正确的个数为2个．
故选：B．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
31．如图，等腰直角△ABC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠C＝90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE＝90°，连接DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE＝2FA；④AD2+BE2＝DE2．其中错误结论的个数有（??）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
结论①错误，因为图中全等的三角形有3对
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)；结论②正确，由全等三角形的性质可以判断；结论③错误，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断；结论④正确，利用全等三角形的性质以及直角三角形的勾股定理进行判断．【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
连接CF，交DE于点P，如下图所示
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
结论①错误，理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AFC≌△BFC，△AFD≌△CFE，△CFD≌△BFE．
由等腰直角三角形的性质，可知FA=FC=FB，易得△AFC≌△BFC．
∵FC⊥AB，FD⊥FE，
∴∠AFD=∠CFE．
∴△AFD≌△CFE（ASA）．
同理可证：△CFD≌△BFE．
结论②正确，理由如下：
∵△AFD≌△CFE，
∴S△AFD=S△CFE，
∴S四边形CDFE=S△CFD+S△CFE=S△CFD+S△AFD=S△AFC=S△ABC，
即△ABC的面积等于四边形CDFE的面积的2倍．
结论③错误，理由如下：
∵△AFD≌△CFE，
∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=FA．
结论④正确，理由如下：
∵△AFD≌△CFE，
∴AD=CE；
∵△CFD≌△BFE，
∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：，
∴
．
故选B．
【点睛】
本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点，综合性比较强．解决这个问题的关键在于利用全等三角形的性质．
32．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ＝AC，点F在CE的延长线上，CF＝AB，下列结论错误的是（　　）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AF⊥AQ
B．AF=AQ
C．AF=AD
D．
【答案】C
【分析】
根据BD、CE分别是AC、AB边上的高，推导出；再结合题意，可证明，由此可得,；再经得，从而证明AF⊥AQ；最后由勾股定理得，从而得到，即可得到答案．
【详解】
如图，CE和BD相较于H
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵BD、CE分别是AC、AB边上的高
∴,
∴
∴
∵
∴
又∵BQ＝AC且CF＝AB
∴
∴,，故B、D结论正确；
∵
∴
∴
∴AF⊥AQ故A结论正确；
∵
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解．
33．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．
C．
D．9
【答案】C
【分析】
做点F做交AD于点H，因此要求出EF的长，只要求出EH和HF即可；由折叠的性质可得BE=DE=9-AE，在中应用勾股定理求得AE和BE，同理在中应用勾股定理求得BF，在中应用勾股定理即可求得EF．
【详解】
过点F做交AD于点H．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形是四边形沿EF折叠所得，
∴ED=BE，CF=，
∵ED=BE，DE=AD-AE=9-AE
∴BE=9-AE
∵，AB=3，BE=9-AE
∴
∴AE=4
∴DE=5
∴
∴，,
∴
∴BF=5，EH=1
∵，HF=3，EH=1
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
34．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连结，，，分别与，相交于点，．若，则的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先用已知条件利用SAS的三角形全等的判定定理证出△EAB≌△CAM，之后利用全等三角形的性质定理分别可得，，，然后设，继而可分别求出，，所以；易证Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），从而得，然后代入所求数据即可得的值．
【详解】
解：∵在△EAB和△CAM中
，
，
∴△EAB≌△CAM（SAS），
∴，
∴,
∴,
,
设，则，，，，
∴；
∵
在Rt△ACB和Rt△DCG中，
，
Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），
∴;
∴．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理等知识．
35．如图，在△ABC中，AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．2
C．2
D．3
【答案】A
【分析】
把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【详解】
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
36．如图，在矩形ABCD中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（
）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．5
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先由，得知动点P在与AB平行且与AB的距离为3的直线上，作点A关于直线的对称点E，连接AE、BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
【详解】
解：∵，
设点P到CD的距离为h，则点P到AB的距离为(4-h),
则，解得：h=1，∴点P到CD的距离1，到AB的距离为3，
∴如下图所示，动点P在与AB平行且与AB的距离为3的直线上，作点A关于直线的对称点E，连接AE、BE，且两点之间线段最短，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴PA+PB的最小值即为BE的长度，AE=6，AB=3，∠BAE=90°，
根据勾股定理：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称—最短路线问题（两点之间线段最短），勾股定理，得出动点P所在的位置是解题的关键．
37．如图，在△ABC中，AC=BC，∠AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】B
【分析】
过点C作CO⊥AB于O，延长C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)O到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．
此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．
∵DC＝2，BD＝6，
∴BC＝8，
连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝8，
根据勾股定理可得DC′＝．
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P为何位置时
PC＋PD的值最小是解题的关键．
38．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（　　）
A．42
B．32
C．42或32
D．37或33
【答案】C
【分析】
存在2种情况，△ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在△ABC的内部和外部
【详解】
情况一：如下图，△ABC是锐角三角形
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∵AD是高，∴AD⊥BC
∵AB=15，AD=12
∴在Rt△ABD中，BD=9
∵AC=13，AD=12
∴在Rt△ACD中，DC=5
∴△ABC的周长为：15+12+9+5=42
情况二：如下图，△ABC是钝角三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5
在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9
∴BC=4
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
故选：C
【点睛】
本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.
39．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，、交于，若，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
连接BD，自F点分别作，交AD、BD于G、H点，通过证明，可得，根据勾股定理求出AB的长度，再根据角平分线的性质可得，根据三角形面积公式可得，代入中即可求出BF的值．
【详解】
如图，连接BD，自F点分别作，交AD、BD于G、H点
∵和都是等腰直角三角形
∴
在△ECA和△DCB中
在Rt△ADB中，
∴DF是∠ADB的角平分线
∵△ADF底边AF上的高h与△BDF底边BF上的高h相同
故答案为：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．【出处：21教育名师】
40．如图，在中，cm，cm，点D、E分别在AC、BC上，现将沿DE翻折，使点C落在点处，连接，则长度的最小值
（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．不存在
B．等于
1cm
C．等于
2
cm
D．等于
2.5
cm
【答案】C
【分析】
当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，于是得到结论．
【详解】
解：当C′落在AB上，点B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)与E重合时，AC'长度的值最小，
∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=5cm，
由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，
∴AC′=AB-BC′=2cm．
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题
41．如图，Rt中，，，，是的中点，是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点落在点处，如果，那么点和点间的距离等于______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】或10
【分析】
在Rt△ACB中，根据勾股定理可求AB的长，根据折叠的性质可得QD=BD，QP=BP，根据三角形中位线定理可得DE=AC，BD=AB，BE=BC，再在Rt△QEP中，根据勾股定理可求QP，继而可求得答案．
【详解】
解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
AB=
由折叠的性质可得QD=BD，QP=BP，
又∵QD⊥BC，
∴DQ∥AC，
∵D是AB的中点，
∴DE=AC=3，BD=AB=5，BE=BC=4，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当点P在DE右侧时，
∴QE=5-3=2，
在Rt△QEP中，QP2=（4-BP）2+QE2，
即QP2=（4-QP）2+22，
解得QP=2.5，
则BP=2.5．
②当点P在DE左侧时，如图记为，
∴Q’E=5+3=8，
在Rt△Q’EP’中，Q’P’2=（BP’-4）2+Q’E2，
即Q’P’2=（Q’P’-4）2+82，
解得Q’P’=10，
则BP’=10．
故答案为：2.5或10．
【点睛】
此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
42．如图，在中，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点．若，，，则点到的距离为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】．
【分析】
过B作BG⊥AC于G，，
可得DF⊥AB，由，可得，可得DE=3DF，在Rt△ADF中，设FD=x，AF=y，根据勾股定理AD=，在Rt△BEF中，FB=AF=y，EF=2FD=2x，根据勾股定理AD=，由可得AF=BF，由翻折△DBE≌△DBC，可得，联立，解得即可．
【详解】
解：过B作BG⊥AC于G，过A作AH⊥BC，交CB延长线于H，
，∵
∴
∴AF=BF，
∵
∴DF⊥AB，
∵
∴
∴，
∴DE=EF+DF=3DF，
∴
在Rt△ADF中，设FD=x，AF=y，根据勾股定理AD=
在Rt△BEF中，FB=AF=y，EF=2FD=2x，根据勾股定理
由翻折△DBE≌△DBC，
∴CD=ED=3DE，S△DBC=S△BDE=3S△BDF，
∴
∴BG=BF=y，
∴S△ABD=
即
∴
∴
解得
∵S△ABC=S△ADB+S△DBC=5S△ADF，
∴
即
∴
故答案为：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查折叠性质，三角形面积性质，勾股定理，二元方程组，掌握折叠性质，三角形面积性质，勾股定理，二元方程组是解题关键．
43．如图，已知在等边中，，点在边上，如果以线段为半径的与以边为直径的外切，那么的半径长是________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图，连接，过点作于H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在等边中，，
，，
点是的中点，
，
以线段为半径的与以边为直径的外切，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为．
【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
44．如图，在中，，，，平分，，则的长是__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】5
【分析】
在中，由勾股定理求得，由平分，可得∠ABD=∠DBC再由，根据平行线的性质可得∠ADB=∠DBC，即可得∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定方法可得AB=AD=5．
【详解】
在中，，，，
∴，
∵平分，
∴∠ABD=∠DBC，
∵，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了勾股定理、平行线的性质及等腰三角形的判定方法，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
45．如图，三角形纸片，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点G，连接交于点F．若，，，的面积为2，则点F到的距离为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
根据中线的性质，得S?ADG=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)S?AEG，从而求出S?ADE=4，结合折叠的性质，得S?ABD=
S?ADE=4，BE⊥AD，根据勾股定理以及等积法，即可得到答案．
【详解】
解：∵DG=GE
，
∴S?ADG=
S?AEG=2，
∴S?ADE=4，
由折叠的性质可知：?ABD?AED，BE⊥AD，
∴S?ABD=
S?ADE=4，∠AFB=90°，
∴，
，，
∴AB=，DF=1，
设点F到BD的距离为h，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握“等积法”求三角形的高，是解题的关键．
三、解答题
46．如图，在中，于点，于点，，相交于点，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据对顶角和直角三角形两锐角互余得到∠FBD=∠CAD，利用AAS定理证明；
（2）由全等可得DF=DC=2，BD=AD=1+2=3，再利用勾股定理可得答案．
【详解】
（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠FDB=∠CDA=∠AEF=90°，
∴∠FBD
+∠BFD=90°，∠CAD+∠AFE=90°，
又∵∠BFD=∠AFE，
∴∠FBD=∠CAD，
∵在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS）．
（2）解：由（1）得△ADC≌△BDF
∴DF=DC=2，BD=AD，
∴BD=AD=AF＋DF＝1+2=3，
Rt△ABD中，．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余．掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
47．在中，，，垂足为，点是延长线上一点，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点是线段上一点，，点是外一点，，连接并延长交于点，且点是线段的中点，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）先由，即可求出AM和BM的长，从而求出，再由勾股定理可得的长；
（2）延长到点，使得，证得，再证可得，，从而得，即可得．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
则，
∴在中，；
（2）延长到点，使得，连接．
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理以及三角形全等的判定和性质．作出辅助线也是解答本题的关键．
48．如图，AD，BC相交于点O，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：．
（2）当时，求OD的长．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意易得，AB=AB，进而问题可求证；
（2）由（1）及题意可得，由勾股定理可得AD=4，设，则，进而利用勾股定理可得，然后问题可求解．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴（AAS）；
（2）由（1）可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴在Rt△BDO中，，即，
解得：，
∴．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理及全等三角形的判定与性质是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
49．图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．ABC的顶点均在格点上．要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图①中画ABC的中线BD．
（2）在图②中画ABC的高线BE，并直接写出BE的长．（保留确定点E的画图痕迹）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）见解析，
【分析】
（1）AC与网格线的交点为D，线段BD即为所求作．
（2）取格点T，连接BT交AC于点E，线段BE即为所求作，利用面积法求出BE即可．
【详解】
解：（1）如图，线段BD即为所求作．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）如图，线段BE即为所求作．
由题意可得：，
∴，解得BE=．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
50．如图，在中，，平分，交
于点
D，过点
D
作
于点
E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由角平分线的性质得到，根据直角三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可证得结论；
（2）在中由勾股定理求出，由（1）知，，得到，再在中根据勾股定理列方程求出，即可求得．
【详解】
（1）证明：，
，
平分，，
，
在和中，
，
（HL），
；
（2）解：，，，
，
由（1）知，，，
，
在中，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决问题的关键．
51．已知，如图，△ABC中，A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E，BD，CF为三条中线，它们交于一点O，点O称为三角形的重心，重心三等分其所在的中线，即AO＝2OE，BO＝2OD，CO＝2OE．
（1）如图1，若△ABC中，中线AE长为6，那么图中线段OE长为　　；
（2）如图2，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于点O，求AB的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）2；（2）
【分析】
（1）利用重的性质得到OA＝2OE，从而得到OE＝AE；
（2）设OE＝a，OD＝b，则OB＝2a，OA＝2b，根据勾股定理，在Rt△AOE中得到，在Rt△OBD中得到，求得，然后在Rt△OBA中利用勾股定理可计算出AB的长．
【详解】
解：（1）∵点O为三角形的重心，
∴OA＝2OE，
∴OE＝AE
＝×6＝2；
故答案为2；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）由题意：设OE＝a，OD＝b，则OB＝2a，OA＝2b
在Rt△AOE中，＝=4，
在Rt△OBD中，=，
∴=，即＝，
在Rt△OBA中，．
∴AB＝．
【点睛】
本题考查了勾股定理、三角形的重心，熟练掌握勾股定理，并进行灵活变形是解题的关键．
52．如图，在中，，于点，平分，交于点，过点作，交于点，交于点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）见解析；（2）12
【分析】
（1）先根据同角的余角相等得出∠ACE=∠B，结合得出∠ADG=∠B，再根据AAS得出即可；
（2）设CF=x，由得出DF=x，从而得出GF=8-x，继而利用勾股定理列出方程，求出x的值，即可得出的周长．2-1-c-n-j-y
【详解】
（1）证明：∵，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∵于点，
∴，
∴∠BCE+∠B=90°，
∴∠ACE=∠B，
∵，
∴∠ADG=∠B，
∴∠ACE=∠ADG，
∵平分，
∴∠CAF=∠DAF，
∵AF=AF
∴
∴；
（2）设CF=x，
∵；
∴；
∵，
∴GF=8-x，
∵，
∴∠AGD=∠ACB=90°，
∴∠CGF=90°
∴
；
解得：x=5，
∴CF=5，GF=3，
的周长=5+3+4=12．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关的知识是解题关键．
53．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，CF∥AB交DE的延长线于点F．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：△BDE≌△CFE．
（2）若AC＝8，CF＝5，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）6．
【分析】
（1）由平行线的性质得到∠BDE=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠F，∠B=∠FCE，根据全等三角形的AAS判定定理即可证得△BDE≌△CFE；
（2）由全等三角形的性质得到BD=CF=5，进而得到AB，根据勾股定理即可求得BC．
【详解】
（1）证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵CF∥AB，
∴∠BDE=∠F，∠B=∠FCE，
在△BDE和△CFE中，，
∴△BDE≌△CFE（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CFE，
∴BD=CF=5，
∵D是AB的中点，
∴AB=2BD=10，
在Rt△ABC中，BC=．【版权所有：21教育】
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和勾股定理是解决问题的关键．
54．甲、乙两位探险者今年到
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为12千米，如图，早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲步行到A，乙步行到B，问甲、乙两人相距多远？还能保持联系吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】10千米；还能保持联系．
【分析】
先根据题意得出，的长，再由勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：早晨甲先出发，他以4千米时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米时的速度向北行进，
上午时，千米，千米，
，
甲、乙二人相距10千米，还能保持联系．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解答此题的关键．
55．已知：如图，平分，于点，于点，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）易证∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）求出EB，在Rt△EBC中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：（1）证明：平分，于，于，
，，，
在和中，
，
；
（2），，
，
，
在中，．
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证和是解题的关键．
56．已知：如图，是的直径，内接于．点在上，平分交于点，是的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若的半径是5，，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，根据切线的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质得到∠ODF=90°，根据角平分线的定义得到∠CAD=∠DAB，由等腰三角形的性质得到∠DAB=∠ADO，等量代换得到∠CAD=∠ADO，推出AF∥OD，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）连接DB，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据勾股定理得到BD=6，再根据相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】
（1）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图：连接．
是的切线，
，
．
平分，
．
又，
．
．
．
．
．
．
（2）解：连接．
是直径，的半径是5，，
，．
．
，，
．
．
．
【点睛】
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
57．如图，在中，过点A作，BE平分交AC于点E．
（1）如图1，已知，，，求BD的长；
（2）如图2，点F在线段BC上，连接EF、ED，若，，，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）BD=5；（2）证明见解析
【分析】
（1）利用勾股定理运算即可；
（2）利用角平分线的性质可得到，证出得到，，再通过角的等量代换证出，取的中点，连接，即可证出，从而得到结论．21·cn·jy·com
【详解】
解：（1）∵
∴
∴
∴
（2）∵平分
∴
又∵，
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
取的中点，连接，如图2所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质及判定等，合理做出辅助线灵活证明全等是解题的关键．
58．如图，已知圆柱底面的直径，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)；B.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)；C.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)；D.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）求该长度最短的金属丝的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）A；（2）
【分析】
（1）因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，根据立体图形的表面展开图这个特点即可解题；
（2）侧面展开后，两点之间的距离为，，两点之间的距离，利用勾股定理可得，长度最短的金属丝的长=，即可得到答案．
【详解】
解：（1）因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，A选项符合要求．
故选A．
（2）如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
侧面展开后，两点之间的距离为，
，两点之间的距离为，
该长度最短的金属丝的长=
所以该长度最短的金属丝的长为．
【点睛】
此题主要考查圆柱的展开图、圆的周长、勾股定理，解答此题的关键是正确掌握圆柱体的展开图．
59．如图，已知和均是直角三角形，，，于点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：≌；
（2）若点是的中点，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）cm
【分析】
（1）根据即可证明结论；
（2）结合（1）可得cm，根据点是的中点，可得cm，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】
解：（1）证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2），
cm，
点是的中点，
cm，
cm，
在中，根据勾股定理，得
cm．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
60．如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）求证：
（3）若，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据SAS即可证明△BCE≌△ACD；
（2）由△ACD≌△BCE可得∠CBG=∠CAF，从而利用ASA可证明△ACF≌△BCG；
（3）求出CG=CF=4，过G作G
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)M⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，求出GM，FN，根据S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF可求出答案．21·世纪
教育网
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠DCA，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）由（1）得△ACD≌△BCE，
∴∠CBG=∠CAF，
又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC，
在△ACF和△BCG中，
，
∴△ACF≌△BCG（ASA）；
（3）∵△ACF≌△BCG，
∴S△ACF=S△BCG，CG=CF，而CF+CG=8，
∴CG=CF=4，
过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴GM=CG=，FN=CF=，
∴S△ACD=S△ACF+S△CDF
=S△BCG+S△CDF
=BC?GM+CD?FN
=（BC+CD）
=BD
=．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质得出CG=CF是解答此题的关键．21
cnjy
com
61．已知在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，连接AD，在直线AD右侧作等腰△ADE，AD=AE．
（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=90°，连接CE．求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，若∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC=2．
①当AE∥BC时，求线段BD的长；
②取AC边的中点F，连接EF．当点D从点B运动到点C过程中，求线段EF长度的最小值与最大值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）证明见解析；（2）①BD；②线段EF长度的最小值为，最大值为
【分析】
（1）由“SAS”可证得；
（2）①如图1，过点D作DM⊥AB于点M，连接CE，根据∠BAC=∠DAE=120°求出∠BAD=∠CAE，然后根据平行性质求出∠ABC=∠ACB=∠EAC
=30°，得到是等腰三角形，然后就可以求解了．
②如图2，取AB中点G，连接DG，CG，由“SAS”可证，可得GD=EF,
当GD⊥BC时，GD有最小值．当点D与点C重合时，DG有最大值为CG，即EF也有最大值．
【详解】
证明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴（SAS）；
（2）解：①如图1，过点D作DM⊥AB于点M，连接CE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠BAD=∠CAE．
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=30°．
∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB=30°，
∴∠BAD=30°，∴AD=BD，
∴BMAB=1，∴DM，∴BD．
②如图2，取AB中点G，连接DG，CG，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB=AC=2，点F是AC中点，点G是AB中点，
∴AG=BG=AF=CF=1．
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AD=AE，AG=AF，
∴（SAS），∴GD=EF，
∴DG有最小值，EF也有最小值，∴当GD⊥BC时，GD有最小值．
∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=30°，GD⊥BC，BG=1，
∴GD，BD，
当点D与点C重合时，DG有最大值为CG，即EF也有最大值．
∵BD，BC=2，∴CD，∴CG，
∴线段EF长度的最小值为，最大值为．
故答案为：最小值是，最大值为．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了平行线的性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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精品试卷·第
2
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"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第一讲
探究勾股定理
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．
C．
D．3
2．在中，，是内一点，且，，则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．
3．如图，点A，B是棱长为1的立方体的两个顶点，若将该立方体按图中所示展开，则在展开图中，A，B两点间的距离是（
）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
4．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
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经观察可以发现：图（1）中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（
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A．12
B．32
C．64
D．128
5．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．若的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，则下列关系式正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
6．如图，在中，，，，D为边上一点，将沿折叠，若点B恰好落在线段的延长线上点E处，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
7．七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧极能拼出许多有趣的图案，小聪将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割成七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知，则图中阴影部分的面积为（
）．
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A．200
B．
C．50
D．100
8．如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为，已知，则纸片的面积是（
）www.21-cn-jy.com
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A．102
B．104
C．106
D．108
9．如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（
）21
cnjy
com
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A．36
B．49
C．74
D．81
10．如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为（
）
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A．
B．
C．
D．2
11．已知△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为（
）
A．168
B．84
C．84或36
D．168或72
12．中，，则三个半圆的面积关系是（
）
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A．
B．
C．
D．
13．如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为，正方形，，，的面积分别为，，，，且，则下列结论正确的是（
）2·1·c·n·j·y
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A．
B．
C．
D．
14．如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，△ABC的三个顶点都在格点上，则AC边上的高为（　　）
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A．
B．
C．
D．
15．在直角三角形ABC中，斜边AB=5，求AB2+BC2+AC2=（
）
A．50
B．25
C．10
D．5
16．若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（
）
A．倍
B．2倍
C．倍
D．4倍
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC，AC＝，点E是AB上的点，将△BCE沿CE翻折，得到△B′CE，过点A作AF∥BC交∠ABC的平分线于点F，连接B′F，则B′F长度的最小值为（
）
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A．＋
B．﹣
C．＋
D．﹣
18．下列各组数是勾股数的一组是（
）
A．7，24，25
B．，，
C．1.5，2，2.5
D．32，42，52
19．如图，长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点向上垂直拉升至点，则橡皮筋被拉长了（
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A．
B．
C．
D．
20．如图，已知△ABC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠ABC=90°，AB=BC，过△ABC的顶点B作直线l，且点A到l的距离为2，点C到l的距离为3，则AC的长是(　　)
A．
B．2
C．
D．5
21．如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（
）
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A．
B．
C．
D．
22．如图，在中，，分别以，，为斜边作三个等腰直角，，，图中阴影部分的面积分别记为，，，，若已知的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（
）
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A．
B．
C．
D．
23．已知a、b为两正数，且，则代数式最小值为（
）
A．12
B．13
C．14
D．15
24．如图，点是正半轴上一点，点是负半轴上一点，，点（在的右边）在轴上，且，点是轴上一动点，将三角形沿直线翻折，点落在点处，已知的最小值为1，则点的坐标是（
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A．（0，2）
B．（0，2.4）
C．（0，2.5）
D．（0，1.8）
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（　　）21教育网
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A．2
B．
C．4
D．6
26．如图，在中，平分．边的垂直平分线分别交于点．以下说法错误的是（
）
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A．
B．
C．
D．
27．如图，直角三角形纸片中，，，D为斜边中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（）2-1-c-n-j-y
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A．
B．
C．
D．
28．勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形）的面积记为，则的关系为（
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A．
B．
C．
D．
29．在中，边上的中线，则的面积为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
30．如图，在△ABC和△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E在同一条直线上，连接B，D和B，E．下列四个结论：【来源：21cnj
y.co
m】
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①BD=CE，
②BD⊥CE，
③∠ACE+∠DBC=30°，
④．
其中，正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
31．如图，等腰直角△ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，∠C＝90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE＝90°，连接DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE＝2FA；④AD2+BE2＝DE2．其中错误结论的个数有（??）
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
32．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ＝AC，点F在CE的延长线上，CF＝AB，下列结论错误的是（　　）．【出处：21教育名师】
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A．AF⊥AQ
B．AF=AQ
C．AF=AD
D．
33．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为（
）
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A．3
B．
C．
D．9
34．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连结，，，分别与，相交于点，．若，则的值为（
）
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A．
B．
C．
D．
35．如图，在△ABC中，AB＝2，∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
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A．
B．2
C．2
D．3
36．如图，在矩形ABCD中，AB＝3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（
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A．5
B．
C．
D．
37．如图，在△ABC中，AC=BC，∠AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　）
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A．8
B．10
C．12
D．14
38．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（　　）
A．42
B．32
C．42或32
D．37或33
39．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，、交于，若，，则的长为（
）
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A．
B．
C．
D．
40．如图，在中，cm，cm，点D、E分别在AC、BC上，现将沿DE翻折，使点C落在点处，连接，则长度的最小值
（
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A．不存在
B．等于
1cm
C．等于
2
cm
D．等于
2.5
cm
二、填空题
41．如图，Rt中，，，，是的中点，是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点落在点处，如果，那么点和点间的距离等于______．
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42．如图，在中，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点．若，，，则点到的距离为______．
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43．如图，已知在等边中，，点在边上，如果以线段为半径的与以边为直径的外切，那么的半径长是________．
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44．如图，在中，，，，平分，，则的长是__________．
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45．如图，三角形纸片，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点G，连接交于点F．若，，，的面积为2，则点F到的距离为______．
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三、解答题
46．如图，在中，于点，于点，，相交于点，．
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（1）求证：．
（2）若，，求的长．
47．在中，，，垂足为，点是延长线上一点，连接．
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（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点是线段上一点，，点是外一点，，连接并延长交于点，且点是线段的中点，求证：．【来源：21·世纪·教育·网】
48．如图，AD，BC相交于点O，．
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（1）求证：．
（2）当时，求OD的长．
49．图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．ABC的顶点均在格点上．要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．21
cnjy
com
（1）在图①中画ABC的中线BD．
（2）在图②中画ABC的高线BE，并直接写出BE的长．（保留确定点E的画图痕迹）
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50．如图，在中，，平分，交
于点
D，过点
D
作
于点
E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
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51．已知，如图，△AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C中，AE，BD，CF为三条中线，它们交于一点O，点O称为三角形的重心，重心三等分其所在的中线，即AO＝2OE，BO＝2OD，CO＝2OE．
（1）如图1，若△ABC中，中线AE长为6，那么图中线段OE长为　　；
（2）如图2，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于点O，求AB的长．
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52．如图，在中，，于点，平分，交于点，过点作，交于点，交于点．
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（1）求证：；
（2）若，，求的周长．
53．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，CF∥AB交DE的延长线于点F．
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（1）求证：△BDE≌△CFE．
（2）若AC＝8，CF＝5，求BC的长．
54．甲、乙两位探险者今年到沙漠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为12千米，如图，早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲步行到A，乙步行到B，问甲、乙两人相距多远？还能保持联系吗？
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55．已知：如图，平分，于点，于点，且．
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（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
56．已知：如图，是的直径，内接于．点在上，平分交于点，是的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若的半径是5，，求的长．
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57．如图，在中，过点A作，BE平分交AC于点E．
（1）如图1，已知，，，求BD的长；
（2）如图2，点F在线段BC上，连接EF、ED，若，，，求证：．
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58．如图，已知圆柱底面的直径，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A.
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)；C.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)；D.
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（2）求该长度最短的金属丝的长．
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59．如图，已知和均是直角三角形，，，于点．
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（1）求证：≌；
（2）若点是的中点，，求的长．
60．如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G．
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（1）求证：；
（2）求证：
（3）若，求的面积．
61．已知在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，连接AD，在直线AD右侧作等腰△ADE，AD=AE．
（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=90°，连接CE．求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，若∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC=2．
①当AE∥BC时，求线段BD的长；
②取AC边的中点F，连接EF．当点D从点B运动到点C过程中，求线段EF长度的最小值与最大值．
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精品试卷·第
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