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第一讲
为什么要证明
【基础训练】
一、单选题
1．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．两点之间线段最短
B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角
D．三角形的稳定性
2．下列结论推理合理的是（
）
A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等
B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题
C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好
D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多
3．下列结论，你能肯定的是（
）
A．今天是阴天，明天必然还是阴天
B．三个连续整数的积一定能被6整除
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
4．布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是（ ）
A．布鲁斯先生
B．布鲁斯先生的妹妹
C．布鲁斯先生的儿子
D．布鲁斯先生的女儿
5．下列推理正确的是（
）
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁
B．如果a>b，b>c，那么a>c
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多
D．因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
6．下列问题你不能肯定的是（
）
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题
B．三角形与矩形的面积关系
C．三角形的内角和
D．边形的外角和
7．通过观察你能肯定的是（
）
A．图形中线段是否相等
B．图形中线段是否平行
C．图形中线段是否相交
D．图形中线段是否垂直
8．下列说法正确的是（
）
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数
D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
9．骑自行车的速度是每小时15千米，骑摩托车的速度每小时40千米，则下列结论中你能肯定的是（
）
A．从A地到B地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达
B．从A地到B地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达
C．从A地到B地，骑自行车和骑摩托车的不可能同时到达
D．从A地到B地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达
10．下列结论，你能肯定的是
(
)
A．今天天晴，明天必然还是晴天.
B．三个连续整数的积一定能被6整除.
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖.
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
11．把立方体的六个面分别涂上六种不同颜色，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况列表如下：现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体，如图所示，那么长方体的的下底面共有（?????）朵花．21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15
B．16
C．21
D．17
12．下列几个命题中正确的个数为（
）
①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4，5，6）；
②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们的平均分为95，众数为92；
③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中乙较甲更稳定；21世纪教育网版权所有
④某部门15名员工个人年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)创利润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清数据，所以对于“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错.2·1·c·n·j·y
个人年创利润/万元
10
8
5
3
员工人数
1
3
4
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
13．如图，汽车在东西向的公路l上行驶
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（
）21·世纪
教育网
A．50秒
B．45秒
C．40秒
D．35秒
14．甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）2-1-c-n-j-y
A．3
B．2
C．1
D．0
15．小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．小华用的多
B．小明用的多
C．两人用的一样多
D．不能确定谁用的多
16．在8个银元中混进了一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个大小形状颜色完全一样的假银元，已知7个真银元的重量完全相同，而假银元比真银元稍轻点儿，你用一台天平最少（
）次就能找出这枚假银元．【来源：21cnj
y.co
m】
A．l
B．2
C．3
D．4
17．A，B，C，D，E，F
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，还没有与B队比赛的球队是（
）
A．C队
B．D队
C．E队
D．F队
18．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（
）【出处：21教育名师】
A．6分
B．7分
C．8分
D．9分
19．如图，点A1，A2，A3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上．某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有（
）【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4种
B．6种
C．8种
D．10种
20．已知上海到美国洛杉矶的海底电缆共有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)15个接点．某次从上海发出一个信息时，某个接点发生故障，为了尽快断定故障发生点，排除故障，至少需要检查的接点个数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
21．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（
）21教育网
A．14分钟
B．13分钟
C．12分钟
D．11分钟
22．张大伯在中国银行存入10000元人民币，并在存单上留下了6位数的密码，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一
个，但由于年龄的缘故，张大伯忘记了密码中间的两个数字，那么张大伯最多可能实验多少次，才能正确输入密码（
）
A．1次
B．50次
C．100次
D．200次
23．绍兴一中新来了三位年轻老师，蔡老师、朱
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)老师、孙老师，他们每人分别教生物、物理、英语、政治、历史和数学六科中的两科课程．其中，三个人有以下关系：
①物理老师和政治老师是邻居；
②蔡老师在三人中年龄最小；
③孙老师、生物老师和政治老师三人经常一起从学校回家；
④生物老师比数学老师年龄要大些；
⑤在双休日，英语老师、数学老师和蔡老师三人经常一起打排球．
根据以上条件，可以推出朱老师可能教（
）
A．历史和生物
B．物理和数学
C．英语和生物
D．政治和数学
24．有一堆形状大小都相
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)同的珠子，其中只有一粒比其它都轻些，其余一样重．若利用天平（不用砝码）最多两次就找出了这粒较轻的珠子，则这堆珠子最多有（
）
A．8粒
B．9粒
C．10粒
D．11粒
25．9人分24张票，每人至少1张，则（
）
A．至少有3人票数相等
B．至少有4人票数无异
C．不会有5人票数一致
D．不会有6人票数同样
26．某一天的不同时刻老板把信交给秘
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)书打字，每次都将信放在秘书信堆的最上面，秘书有时间就将信堆最上面的那封信取来打．假定共有5封信，且老板以1、2、3、4、5的顺序交来，在下列各顺序中，哪一顺序不可能是秘书打字的顺序？（
）21·cn·jy·com
A．12345
B．54321
C．23541
D．23514
27．甲，乙，丙，丁，戊与小
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（
）
A．1场
B．2场
C．3场
D．4场
28．有三位同学对校队与市队足球赛进
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)行估计，A说：校队至少进3个球，B说：校队进球数不到5个，C说：校队至少进1个球．比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是对的，你能知道，校队踢进球的个数是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
A．4个
B．3个
C．1个
D．0个
29．老李到办公室后，他总要完成以下事情：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)烧开水10分钟，洗茶杯1分钟，准备茶叶和冲茶1分钟，打扫办公室9分钟，收听新闻10分钟，问老李做好以上事情至少需要（
）分钟．
A．31
B．11
C．20
D．10
30．图中小圆圈表示网络的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．11
B．10
C．8
D．7
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
31．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为________.
组合
连接
32．有观察下列等式：①，②，③……若字母n表示为正整数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：_________.www.21-cn-jy.com
33．根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：
已知：_______________________________
求证：_______________
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
三、解答题
34．命题证明.求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．
已知：________________
求证：___________________
证明：____________________．
35．由幂的乘方的性质得，类比这个等式，能得到也成立吗？
36．如图，位于中心的两圆一样大吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
37．我们知道：，.试问：对于任意实数a与b，是否一定有结论？
38．先观察再验证：（如图）
（1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？
（2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？
（3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
39．顺次连接等腰梯形四边中点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得到一个四边形。度量四边形的四条边，你能有什么结论？再换一个等腰梯形还有同样的结论吗？你能肯定这个结论对所有的等腰梯形都成立吗？www-2-1-cnjy-com
40．小洁、琳琳、晓彤、奇奇和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)聪聪5位同学身体都不怎么舒服，他们分别在医院的牙科、眼科、皮肤科、外科、耳鼻喉科就诊。请根据他们的对话猜一猜，他们分别去了哪一科看病？21教育名师原创作品
小洁、琳琳、晓彤说：我们是在牙科、眼科和皮肤科各自接受治疗的。
奇奇说：我没有去耳鼻喉科和皮肤科。
晓彤说：我最近夜里牙老疼。
小洁说：我的皮肤好得很，我没有必要去皮肤科。
41．观察下列各式，：×2=+2；×3=+3；×4=+4；×5=+5；……
想一想：什么样的两个数之积等于这两个数的和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)？设n表示正整数，用关于n的代数式表示这个规律为：
×
=
+
.你能说明吗？21
cnjy
com
42．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半
（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“己知”和“求证”．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
已知：在锐角中，，______
求证：______
（2）证明上述命题
43．证明“全等三角形的对应角平分线相等”
命题证明应有四个步骤：画出图形，写出已知，求证，及证明过程．把下列证明补完整．
图形：如图所示
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
已知：
求证：
证明：
44．（1）计算并观察下列各式：
①
②
③
（2）已知，那么_________．
（3）从上述过程中你发现了什么规律？请用含的代数式表示出来，并说明理由．
45．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？
46．观察下列等式：，，，……
（1）探索这些等式中的规律，直接写出第n个等式（用含n的等式表示）．
（2）试说明你的结论的正确性．
47．你写出两个判断，让其他同学判断一下是否正确.并且试着说明理由.
48．证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
已知:
求证：
.
证明：
49．如图，A，B，C，D，E五人围坐在圆桌旁，为A祝贺生日，小华问他们当时的座位．
A说：“我在B的旁边．”
B说：“我的左边不是C就是D．”
C说：“我在D的旁边．”
D说：“不，C在B的右边是错的．”
只有E作了如实回答：“除B说正确之外，A，C，D都说错了．”
你能确定他们的位置吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
50．用同样大小的黑色棋子按如图的规律摆放：
（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形有2
016颗黑色棋子？请说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
51．如图所示的方格纸中，每一格小正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方形的边长均为1，小莉画出一个等腰直角三角形ABC，她画得对吗？请你设法验证一下，并与同伴交流各自的方法．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
52．观察下列各个等式的规律：
第一个等式：=1，第二个等式：
=2，第三个等式：=3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．
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精品试卷·第
2
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第一讲
为什么要证明
【基础训练】
一、单选题
1．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．两点之间线段最短
B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角
D．三角形的稳定性
【答案】D
【分析】
用木条EF固定矩形门框ABCD，即是组成△AEF，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】
解：加上EF后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△EAF，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形稳定性的实际应用，熟悉相关性质是解题的关键．
2．下列结论推理合理的是（
）
A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等
B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题
C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好
D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多
【答案】D
【分析】
需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
解：A.
王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等，不合理；
B.
因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题，不合理；
C.
因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好，不合理；
D.
因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多，合理．
故选D．
【点睛】
本题考查推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本题的关键．
3．下列结论，你能肯定的是（
）
A．今天是阴天，明天必然还是阴天
B．三个连续整数的积一定能被6整除
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
【答案】B
【解析】
【分析】
判断命题的真假即可得到答案．
【详解】
解：三个连续整数中一定有一个是2的倍数、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一个是3的倍数，所以它们的积一定能被6整除，故B项正确.A项、C项、D项都是猜测的结论，不能说明一定成立.21世纪教育网版权所有
故选B.
【点睛】
本题考查命题的真假，解题的关键是对每个选项进行合理分析．
4．布鲁斯先生、他的妹妹、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是（ ）
A．布鲁斯先生
B．布鲁斯先生的妹妹
C．布鲁斯先生的儿子
D．布鲁斯先生的女儿
【答案】D
【分析】
根据题意，可以判断出其中的三个人年龄相同
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，再根据实际可知其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，从而可以得到最差选手和最佳选手，本题得以解决．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
由①和②可知，最佳选手的孪
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)生同胞与最差选手不是同一个人，因此一定是其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大，则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，由此，布鲁斯先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞，所以，布鲁斯先生的儿子或女儿是最佳选手，最差选手是布鲁斯先生的妹妹，由①知，最佳选手的孪生同胞一定是布鲁斯先生的儿子，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿．
故选：D．
【点睛】
本题考查了推理和论证，解题的关键是明确题意，能够写出正确的推理过程．
5．下列推理正确的是（
）
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁
B．如果a>b，b>c，那么a>c
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多
D．因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
【答案】B
【解析】
【分析】
根据判断命题的真假性，即可得到答案.
【详解】
解：A、哥哥与弟弟的年龄差不变，故本项错误；
B、根据不等式性质，a>b，b>c，那么a>c，正确；
C、∠A与∠B相等是因为它们的度数相等，故本项错误；
D、对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，故本项错误；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了真假命题的判断，解题的关键是熟练的判断每个选项的真假性.
6．下列问题你不能肯定的是（
）
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题
B．三角形与矩形的面积关系
C．三角形的内角和
D．边形的外角和
【答案】B
【解析】
试题解析：A.
二者大小关系一目了然，能肯定；
B.
二者面积大小关系不确定，不能肯定；
C.
能用三角形的内角和定理判断，能肯定；
D.
能用多边形的外角和判断，能肯定；
故选B.
7．通过观察你能肯定的是（
）
A．图形中线段是否相等
B．图形中线段是否平行
C．图形中线段是否相交
D．图形中线段是否垂直
【答案】C
【详解】
试题解析：图形中的线段能否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能判断两条直线是否相交，当有一个交点时即可相交，
故选C．
8．下列说法正确的是（
）
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数
D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
【答案】D
【解析】
试题分析：依次分析各项，判断是否为真命题即可.
A、经验、观察或实验完全不一定能判断
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一个数学结论的正确与否，B、我们每个人都有学习推理的必要，C、对于自然数n，n2+n+37不一定是质数，故错误；
D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个，本选项正确.
考点：命题与定理
点评：此类问题对常识性知识要求较高，贴近生活，在中考中较常见，常以选择题形式出现，属于基础题，难度一般.
9．骑自行车的速度是每小时15千米，骑摩托车的速度每小时40千米，则下列结论中你能肯定的是（
）
A．从A地到B地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达
B．从A地到B地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达
C．从A地到B地，骑自行车和骑摩托车的不可能同时到达
D．从A地到B地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达
【答案】D
【解析】
试题分析：因为此题的路程没有确定，所以无法只根据速度来确定时间．
A、B、C因为出发时间没有确定，不是同时同地出发没有可比性，故错误；
D、说的只是有可能，故正确．
故选D．
考点：命题与定理
点评：此类问题对常识性知识要求较高，贴近生活，在中考中较常见，常以选择题形式出现，属于基础题，难度一般.
10．下列结论，你能肯定的是
(
)
A．今天天晴，明天必然还是晴天.
B．三个连续整数的积一定能被6整除.
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖.
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
【答案】B
【解析】
试题分析：依次分析各项，判断是否为真命题即可.
A、今天天晴，明天不一定是晴天，C．小明的数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)学成绩一向很好，但后天的竞赛考试中他不一定能获得一等奖，D．两张照片看起来完全一样，不一定是同一张底片冲洗出来的，故错误；
B、因为6=2×3，三个连续的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)整数中，至少有一个是偶数，能被2整除，而三个连续的整数中一定有一个3的倍数的数，也能被3整除，所以三个连续整数的积一定能被6整除，本选项正确．
故选B．
考点：命题与定理
点评：此类问题知识点综合性较强，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.
11．把立方体的六个面分别涂上六种不同颜
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况列表如下：现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体，如图所示，那么长方体的的下底面共有（?????）朵花．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15
B．16
C．21
D．17
【答案】D
【详解】
由图中显示的规律，可分别求出
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，右边正方体的下边为白色，左边为绿色，后面为紫色，按此规律，可依次得出右二的立方体的下侧为绿色，右三的为黄色，左一的为紫色，即可求出下底面的花朵数．
由题意可得，右二的立方体的下侧为绿色，右三的为黄色，左一的为紫色，
那么长方体的下底面共有花数4+6+2+5=17朵．
故选D．
12．下列几个命题中正确的个数为（
）
①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4，5，6）；
②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们的平均分为95，众数为92；
③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中乙较甲更稳定；
④某部门15名员工个人年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)创利润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清数据，所以对于“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错.
个人年创利润/万元
10
8
5
3
员工人数
1
3
4
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
分别根据中位数、众数、平均数、方差等公式以及性质分别计算分析得出即可．
【详解】
①“掷一枚均匀骰子,朝上点数为负”为不可能事件(骰子上各面点数依次为1,2,3,4,5,6)，故此选项错误；
②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们平均分为95，众数为92，故此选项正确；
③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中甲较乙更稳定，故此选项错误；21教育名师原创作品
④根据某部门15名员工个人年创利润数据，第7个与第8个数据平均数是中位数，
故“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”，故此选项错误，
故正确的有1个.
故选；A.
【点睛】
此题考查命题与定理，解题关键在于掌握各性质定理.
13．如图，汽车在东西向的公路l上
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（
）
A．50秒
B．45秒
C．40秒
D．35秒
【答案】D
【详解】
试题分析：∵甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，2-1-c-n-j-y
∴两车的速度为：（m/s）.
∵AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，
∴分别通过AB，BC，CD所用的时间为：（s），（s），（s）.
∵这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，
∴当每次绿灯亮的时间为50s时，∵，∴甲车到达B路口时遇到红灯，故A选项错误；
∴当每次绿灯亮的时间为45s时，∵，∴乙车到达C路口时遇到红灯，故B选项错误；
∴当每次绿灯亮的时间为40s时，∵，∴甲车到达C路口时遇到红灯，故C选项错误；
∴当每次绿灯亮的时间为35s时，∵，，
∴这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，故D选项正确.
则每次绿灯亮的时间可能设置为：35秒．
故选D．
考点：推理与论证．
14．甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】D
【详解】
分析：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．
详解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，
所以甲只能是胜两场，
即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．
答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．
故选D．
点睛：此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可．
15．小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．小华用的多
B．小明用的多
C．两人用的一样多
D．不能确定谁用的多
【答案】C
【解析】
解：因为经过平移两个图形可变为两个边长相等长方形，所以两人用的一样多．故选C．
点睛：本题主要考查的是平移的性质、熟练掌握平移的性质是解题的关键．
16．在8个银元中混进了一个大
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小形状颜色完全一样的假银元，已知7个真银元的重量完全相同，而假银元比真银元稍轻点儿，你用一台天平最少（
）次就能找出这枚假银元．
A．l
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
试题分析：可以把8个银元分成4组
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平平衡的一组没有假银元，天平不平衡，那么假银元就在较轻的那组；再把这组分开用天平测，可找出假银元．
解：8个银元分成4组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平平衡的一组没有假银元，
天平不平衡，那么假银元就在较轻的那组，
再一次把较轻的一组分开放在天平的两边进行第二次测量，
则较轻的是假银元，
所以用一台天平最少2次就能找出这枚假银元．
故选B．
点评：此题考查的知识点是推理与论证，关键是首先分成4组，先找出较轻的一组，再测即得．
17．A，B，C，D，E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)F六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，还没有与B队比赛的球队是（
）
A．C队
B．D队
C．E队
D．F队
【答案】C
【解析】
试题分析：利用每个队分别与其它队比赛一场，最多赛5场，A队已经赛完5场，则每个队均与A队赛过，进而得出还没有与B队比赛的球队．
解：由每个队分别与其它队比赛一场，最多赛5场，A队已经赛完5场，则每个队均与A队赛过，
E队仅赛一场（即与A队赛过），所以E队还没有与B队赛过．
故选：C．
点评：此题主要考查了推理与论证，得出A，E参赛情况是解题关键．
18．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（
）
A．6分
B．7分
C．8分
D．9分
【答案】B
【解析】试题分析：易得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得3个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可．
解：4个队单循环比赛共比赛4×
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，
①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，
②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．
应选B．
点评：本题考查了比赛问题中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点．
19．如图，点A1，A2，A3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上．某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4种
B．6种
C．8种
D．10种
【答案】B
【解析】试题分析：（1）先向右走，①向右走两个单位，再向下走两个单位到达A3；
②向右走一个单位，再向下走一个单位，再向右走一个单位，再向下走一个单位，到达A3；
③向右走一个单位，向下走两个单位，再向右走一个单位，到达A3；
（2）先向下走，①向下走两个单位，再向右走两个单位到达A3；
②向下走一个单位，再向右走一个单位，再向下走一个单位，再向右走一个单位，到达A3；
③向下走一个单位，向右走两个单位，再向下走一个单位，到达A3；
因此本题共有6种走法．
解：如图，从A1到大A3共有6种走法，故选B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
点评：本题应分类讨论，然后依次找出合理的路线，以免漏解．
20．已知上海到美国洛杉矶的海底电
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)缆共有15个接点．某次从上海发出一个信息时，某个接点发生故障，为了尽快断定故障发生点，排除故障，至少需要检查的接点个数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】
试题分析：可以先检查中间的接点，以此类推．
解：①7、1、7；
②3、1、3；
③1、1、1．
故至少需要检查的接点个数是3个．
故选A．
点评：此题注意从中间开始．
21．小明中午放学回家自己煮面条
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（
）21
cnjy
com
A．14分钟
B．13分钟
C．12分钟
D．11分钟
【答案】C
【解析】试题分析：根据统筹方法，烧开水时可洗菜和准备面条及佐料，这样可以节省时间，所以小明所用时间最少为（1）、（4）、（5）步时间之和．
解：第一步，洗锅盛水花2分钟；
第二步，用锅把水烧开7分钟，同时洗菜3分钟，准备面条及佐料2分钟，总计7分钟；
第三步，用烧开的水煮面条和菜要3分钟．
总计共用2+7+3=12分钟．
故选C．
点评：解决问题的关键是读懂题意，采用统筹方法是生活中常用的有效节省时间的方法，本题将数学知识与生活相结合，是一道好题．
22．张大伯在中国银行存入10000元人民币，并在存单上留下了6位数的密码，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一
个，但由于年龄的缘故，张大伯忘记了密码中间的两个数字，那么张大伯最多可能实验多少次，才能正确输入密码（
）
A．1次
B．50次
C．100次
D．200次
【答案】C
【解析】
试题分析：得到中间两个空数的可能情况即可．
解：∵0﹣9这个十个数字中任取两个组合共有100种取法，
∴王大伯最多可能试验100次，才能正确输入密码．
故选C．
点评：此题主要考查了推理与论证，解决本题的关键是得到0﹣9这个十个数字中任取两个组合共有100种取法．
23．绍兴一中新来了三位年轻老
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)师，蔡老师、朱老师、孙老师，他们每人分别教生物、物理、英语、政治、历史和数学六科中的两科课程．其中，三个人有以下关系：
①物理老师和政治老师是邻居；
②蔡老师在三人中年龄最小；
③孙老师、生物老师和政治老师三人经常一起从学校回家；
④生物老师比数学老师年龄要大些；
⑤在双休日，英语老师、数学老师和蔡老师三人经常一起打排球．
根据以上条件，可以推出朱老师可能教（
）
A．历史和生物
B．物理和数学
C．英语和生物
D．政治和数学
【答案】C
【解析】
试题分析：由②④⑤可得蔡老师一定不教生物、英语和数学，进而得到蔡老师可能教物理、政治、历史，由①可知蔡老师一定教历史；
由③可得孙老师一定不教生物和政治，蔡老师一定教历史，因此孙老师可能教物理、英语、和数学，英语和数学不是一个人教，因此孙老师一定教物理；
有以上分析可得朱老师可能教生物、英语、和数学，英语和数学不是一个人教，每个老师又教两科，因此朱老师一定教生物，结合选项可选出答案．21教育网
解：由②④可得蔡老师一定不教生物；由
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)⑤可得蔡老师不教英语和数学，因此蔡老师可能教物理、政治、历史，由①可知物理老师和政治老师不是同一个人，因此蔡老师一定教历史；
由③可得孙老师一定不教生物和政治，因
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为蔡老师一定教历史，因此孙老师可能教物理、英语、和数学，由⑤可知英语和数学不是一个人教，因此孙老师一定教物理，因此蔡老师一定教历史和政治；
由于孙老师一定教物理，因此蔡老师一定教历史和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)政治，因此朱老师可能教生物、英语、和数学，因为由⑤可知英语和数学不是一个人教，每个老师又教两科，因此朱老师一定教生物，结合选项可得一定从A、C中选，
又因为蔡老师一定教历史，因此A不合要求只能选C，朱老师可能教英语和生物，
故选C．
点评：此题主要考查了推理论证，关键是正确判断出每个老师一定不教哪一科，一定教哪一科，根据矛盾关系确定答案．
24．有一堆形状大小都相同的珠子，其中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)只有一粒比其它都轻些，其余一样重．若利用天平（不用砝码）最多两次就找出了这粒较轻的珠子，则这堆珠子最多有（
）
A．8粒
B．9粒
C．10粒
D．11粒
【答案】B
【解析】
试题分析：已知最多两次就找出这
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)粒较轻的珠子，那么第二次所测的珠子的个数最多为3个；即将其中的两个放在天平的两边，若天平平衡，那么不在天平中的珠子就是最轻的珠子，如果天平不平衡，很较轻的珠子就是所找的珠子．同理，在第一次测量中，最多可测出三组珠子，因此这堆珠子最多有9个．
解：这堆珠子最多有9个．
将这堆珠子平均分成3组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量；
若天平平衡，那么较轻的珠子在没称的那堆珠子里；
若天平不平衡，那么较轻的珠子就在较轻的那堆珠子里；
然后将较轻的那堆珠子进行第二次测量，同第一次测量一样，将其中两个放在天平的两端；
若天平平衡，那么没称的珠子就是所找的珠子；
若天平不平衡，那么较轻的珠子就是所找的珠子．
因此最多用两次即可找出较轻的珠子．故选B．
点评：本题的解答关键是找出每次能测量出的珠子（堆）的最多的个（堆）数．
25．9人分24张票，每人至少1张，则（
）
A．至少有3人票数相等
B．至少有4人票数无异
C．不会有5人票数一致
D．不会有6人票数同样
【答案】B
【解析】
试题分析：由于1+2+3+4+5+6=2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1，24﹣21=3，由题意知9个人分24张票，每人至少1张，而且票必须分完，则每人票数不相等的情况最多6种可能，依此求解．
解：由题意知9个人分24张同样的足球票，每人至少1张，而且票必须分完，
∵1+2+3+4+5+6=21，24﹣21=3，
∴每人票数不相等的情况最多6种可能，
∴满足条件的分法是至少有4人票数无异．
故选B．
点评：本题主要考查了推理与论证的方法，关键是得出每人票数不相等的最多情况数，难度适中．
26．某一天的不同时刻老板把信交给秘书打字
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，每次都将信放在秘书信堆的最上面，秘书有时间就将信堆最上面的那封信取来打．假定共有5封信，且老板以1、2、3、4、5的顺序交来，在下列各顺序中，哪一顺序不可能是秘书打字的顺序？（
）【版权所有：21教育】
A．12345
B．54321
C．23541
D．23514
【答案】D
【解析】试题分析：要将这个事件分解为两个事件：老板将信件交给秘书，先交来的在最下边；秘书打印信件，先打的在上面．
解：D是不可能的．
原因是：先打印2，说明下面已经有信件1了，这时候老板又拿来了信件3，秘书打印信件3，
再打印信件5，说明此时下面已经有信件1，4了，而且信件4应该在信件1上面，
接下来的顺序应该是5、4、1，而不可能是5、1、4．
故选D．
点评：此题考查了推理与论证，难度不大，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
27．甲，乙，丙，丁，戊与小
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（
）
A．1场
B．2场
C．3场
D．4场
【答案】C
【解析】试题分析：根据甲参赛了5场，则甲和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)每人参赛了一场，所以根据戊已经赛了1场，戊只和甲比赛了一场；再根据乙已经赛了4场，则乙和甲、丙、丁、小强各参赛了一场．根据丁已经赛了2场，则丁只和甲、乙进行了比赛；再根据丙已经赛了3场，则丙和甲、乙、小强各比赛了一场．所以小强比赛了3场．21·世纪
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解：由于每两人比赛一场，因此每个人最多比5场．
甲已经赛了5场，则说明甲和其他5人都比了一场；
由此可知：
甲与小强比了一场，戊只和甲赛了一场；
乙赛了4场，除去和甲赛的一场外，还和其他三人各赛一场，因此这三人必为：丙、丁和小强；
丁赛了2场，由上面两个人的比赛情况可知：丁只与甲、乙进行了比赛；
丙赛了3场，除去和甲、丁的两场比赛，还剩下一场，而丁和戊都没有和丙比赛，因此丙剩下的一场比赛必为和小强的比赛．
因此小强赛了三场，且对手为甲、乙、丙．
故选C．
点评：本题要首尾结合进行逐步推理．
28．有三位同学对校队与市队足球赛
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)进行估计，A说：校队至少进3个球，B说：校队进球数不到5个，C说：校队至少进1个球．比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是对的，你能知道，校队踢进球的个数是（
）www-2-1-cnjy-com
A．4个
B．3个
C．1个
D．0个
【答案】D
【解析】
试题分析：若A的估计是正确的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，则C也是正确的，所以A的估计错误；若C的估计是正确的，则A、B中，必有一人的估计是正确的，所以C的估计是错误的．所以校队踢进球的个数只能够是0个．
解：若A真，则C真，显然不符合题意的要求；
若C真，则A、B必有一个是真命题，显然也不符合题意；
因此只有一种情况，即：B真，A、C为假命题，那么此时球队踢进求的个数是0个．
故选D．
点评：此题可以先假设其中的一个人的估计是正确的，然后根据3个人中，只有1个人的估计是对的，进行分析．
29．老李到办公室后，他总要完成以下事
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)情：烧开水10分钟，洗茶杯1分钟，准备茶叶和冲茶1分钟，打扫办公室9分钟，收听新闻10分钟，问老李做好以上事情至少需要（
）分钟．
A．31
B．11
C．20
D．10
【答案】B
【解析】
试题分析：可以同时进行的项目为：烧开水10
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分钟，洗茶杯1分钟，打扫办公室9分钟，收听新闻10分钟，用时10分；再加上准备茶叶和冲茶1分钟，至少需要11分钟．
解：在烧水的过程种，可以同时收听新闻，洗茶杯，打扫办公室，这个过程需要10分钟；然后再准备茶叶和冲茶需1分钟；
因此至少需要10+1=11分钟．
故选：B．
点评：此题主要考查了推理与论证中时间的合理分配问题，解决本题的关键是找到可以同时进行的项目及所用时间．
30．图中小圆圈表示网络的结点，结点之
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．11
B．10
C．8
D．7
【答案】C
【解析】试题分析：先找出从结点A向
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)结点B传递信息可沿A﹣C﹣B和A﹣D﹣B路线同时传递，再找出每条路线通过的最大信息量，然后相加即可得到答案．
解：由于信息可以分开沿不同路线同
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)时传递，所以从结点A向结点B传递信息可经过结点D和结点B；又因为从结点A到结点D的最大信息量为5，从结点C到结点B的最大信息量为3，所以从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为5+3=8．
故选C．
点评：本题考查了推理与论证的方法：先分析题目所给的条件或要求，然后通过推理得到相关的结论．
二、填空题
31．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为________.
组合
连接
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得出结论．
【详解】
解：结合题表中前两个图可以看出：b代表正方形；
结合后两个图可以看出：d代表圆；
因此a代表线段，c代表三角形，
所以图形的连接方式为：.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过观察图形确定a，b，c，d各代表什么图形．【来源：21cnj
y.co
m】
32．有观察下列等式：①，②，③……若字母n表示为正整数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：_________.
【答案】
【分析】
假设中间项为2n，根据平方差公式，计算它的后一项与前一项的平方差即可.
【详解】
解，设中间项为2n，前一项为：（2n-1），后一项为：（2n+1），则
根据平方差公式有：
=
=.
故答案为.
【点睛】
本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式进行计算.
33．根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：
已知：_______________________________
求证：_______________
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线
求证：AD平分∠BAC.
【分析】
结合几何图形写出已知条件和结论．
【详解】
已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；
求证：AD平分∠BAC．
故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．2·1·c·n·j·y
三、解答题
34．命题证明.求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．
已知：________________
求证：___________________
证明：____________________．
【答案】见解析
【分析】
根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，求出，利用全等三角形的判定，证明,由全等三角形的性质即可证明．
【详解】
已知：在中，，、分别是和的角平分线，
求证：.
证明：,
,
、分别是和的角平分线,
,
,
在和中
，
，
即等腰三角形两底角的角平分线相等．
【点睛】
考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质和判定定理是解题的关键．
35．由幂的乘方的性质得，类比这个等式，能得到也成立吗？
【答案】不能.
【解析】
【分析】
根据积的乘方性质，几个因式积的乘方等于乘方的积，即可判断.
【详解】
解：不能.
∵，
∴不能得到成立.
【点睛】
检验教学结论的常用方法有：实验验证、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)举出反例、推理证明等.实验验证是最基本的方法，它是直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是需要掌握的重点实际上每一个正确的结论都需要经过严格的推理证明才能得出
36．如图，位于中心的两圆一样大吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】两圆一样大.
【解析】
【分析】
用圆规和刻度尺，比较中心两圆的半径或直径即可.
【详解】
解：借助圆规或刻度尺，可知位于中心的两圆的半径或直径相等，故两圆一样大.
【点睛】
仅凭观察得到的结论不一定正确.眼睛看到
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的并不一定可靠，因为眼睛有时会产生一些错觉.本题中感觉位于左图中心的圆好像比右图中心的圆要小一些，实际上这两个圆是一样大的.
37．我们知道：，.试问：对于任意实数a与b，是否一定有结论？
【答案】不一定.
【分析】
根据实数的乘法和加法法则即可判断.
【详解】
解：不一定.
假设，.因为，，而，
所以对于任意实数a与b，不一定有结论.
【点睛】
（1）说明一个结论错误，只需举出一个反例
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)即可，反例的选取一定要满足所给题设的要求，而不能满足原结论.（2）要证明一个结论正确，仅靠举例说明是不够的，需要进行推理证明.
38．先观察再验证：（如图）
（1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？
（2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？
（3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）中的实线是直的；（2）a与b一样长；（3）AB与CD平行
【详解】
试题分析：
在三条线段上分别取两点，连接得到直线，判断三条线段是否在直线上即可；
用直尺直接量出两线段的长度，比较即可；
测量的度数，若
则
试题解析：观察可能得出的结论是：
(1)中的实线是弯曲的；
(2)a更长一些；
(3)AB与CD不平行．
用科学的方法验证可发现：
(1)中的实线是直的；
(2)a与b一样长；
(3)AB与CD平行．
39．顺次连接等腰梯形四边中点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得到一个四边形。度量四边形的四条边，你能有什么结论？再换一个等腰梯形还有同样的结论吗？你能肯定这个结论对所有的等腰梯形都成立吗？
【答案】得到的四边形的四条边都相等；换一个等腰梯形仍有相同的结论；能
【解析】
试题分析：根据三角形的中位线定理可得中点四边形的四条边长均等于等腰梯形对角线长度的一半，根据等腰梯形的对角线相等即可判断结论.
∵等腰梯形的对角线相等
∴中点四边形的的四条边都相等，且这个结论适用于所有的等腰梯形.
考点：中点四边形的性质，三角形的中位线定理
点评：三角形的中位线定理在初中数学的学习中极为重要，与各个知识点结合较为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.
40．小洁、琳琳、晓彤、奇奇和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)聪聪5位同学身体都不怎么舒服，他们分别在医院的牙科、眼科、皮肤科、外科、耳鼻喉科就诊。请根据他们的对话猜一猜，他们分别去了哪一科看病？
小洁、琳琳、晓彤说：我们是在牙科、眼科和皮肤科各自接受治疗的。
奇奇说：我没有去耳鼻喉科和皮肤科。
晓彤说：我最近夜里牙老疼。
小洁说：我的皮肤好得很，我没有必要去皮肤科。
【答案】晓彤去了牙科，琳琳去了皮肤科，小洁去了眼科，聪聪去了耳鼻喉科，奇奇去了外科。
【解析】
试题分析：根据晓彤最近夜里
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)牙老疼，可判断晓彤去了牙科，根据小洁必要去皮肤科，可判断小洁去了眼科，从而可以判断琳琳去了皮肤科，根据奇奇没有去耳鼻喉科和皮肤科，可判断奇奇去了外科，，聪聪去了耳鼻喉科.
晓彤去了牙科，琳琳去了皮肤科，小洁去了眼科，聪聪去了耳鼻喉科，奇奇去了外科。
考点：逻辑推理
点评：此类问题对学生逻辑推理能力要求较高，贴近生活，角度新颖，但由于题型不太好把握，因而在中考中不太常见，难度较大.
41．观察下列各式，：×2=+2；×3=+3；×4=+4；×5=+5；……
想一想：什么样的两个数之积等于这两个数的和？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)设n表示正整数，用关于n的代数式表示这个规律为：
×
=
+
.你能说明吗？
【答案】＝，
【解析】
试题分析：仔细分析所给式子可得规律：分母部分是从1开始的整数，分子部分以及第二个加数均比分母大1.
＝+＝＝＝.
考点：找规律-式子的变化
点评：培养学生独立分析问题、发现规律的能力
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是数学学科的指导思想，因而找规律问题在中考中极为常见，常见的不仅有式子的变化规律，往往更多的是图形的变化规律，一般难度较大.
42．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半
（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“己知”和“求证”．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
已知：在锐角中，，______
求证：______
（2）证明上述命题
【答案】（1
）BD⊥AC于点D，∠DBC＝∠A；（2）见解析
【分析】
（1）先根据命题内容确定命题的题设和结论，画出符合条件的图形，并写出已知，根据结论写出求证内容；
（2）根据等腰三角形的性质，可得出底角与顶角的数量关系，再由内角和定理证明出结论．
【详解】
（1）解：已知：如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．
求证：∠DBC＝∠A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故答案为：BD⊥AC于点D，∠DBC＝∠A．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴
∠ABC＝∠C．
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴2∠C＝180°－∠A．
即∠C＝（180°－∠A）．
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＋∠C＝90°．
∴∠DBC＝90°－∠C＝90°－（180°－∠A）＝∠A．
即等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
【点睛】
本题考查了命题与证明，掌握命题的证明方法和基本步骤，并结合题设和结论画出符合条件的图形是解题的关键．21
cnjy
com
43．证明“全等三角形的对应角平分线相等”
命题证明应有四个步骤：画出图形，写出已知，求证，及证明过程．把下列证明补完整．
图形：如图所示
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
已知：
求证：
证明：
【答案】已知：如图，△，，分别是和△的角平分线．求证：．证明见解析．
【分析】
根据命题的条件和结论，画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的性质定理得，，，结合角平分线的定义，得，由ASA即可得到结论．
【详解】
已知：如图，△，，分别是和△的角平分线．
求证：．
证明：△，
，，，
，分分别是和△的角平分线，
，
，
在和△中
∵
△．
．
【点睛】
本题主要考查真命题的证明，掌握命题证明的步骤和三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．
44．（1）计算并观察下列各式：
①
②
③
（2）已知，那么_________．
（3）从上述过程中你发现了什么规律？请用含的代数式表示出来，并说明理由．
【答案】（1））①64，63
；
②25，24
；
③4.41，3.41；（2）404495；（3），见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据一般数据的计算进行解答即可；
（2）从（1）中找出规律，的值比的值相差1即可；
（3）从（1）和（2）中得出规律：．
【详解】
解：（1）①64
63
②25
24
③4.41
3.41；
（2）已知，那么404495；
（3）从以上过程中，发现的规律是：．
理由如下：
根据平方差公式，得
．
【点睛】
本题考查平方差公式，解题的关键是找出其中的规律进行解答．
45．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？
【答案】正确
【解析】
【分析】
两位数的十位数字与个位数字分别为a，b，表示出原两位数与新两位数，即可作出判断．
【详解】
解：正确，上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确性，可作如下证明：
∵原两位数的十位数字为a，个位数字为b（），
∴原两位数为，新两位数为.
∵，是11的整数倍，
∴这两个两位数的和能被11整除.
∵，一定不是11的整数倍，
∴这两个两位数的差不能被11整除，
∴上述说法正确.
【点睛】
此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
46．观察下列等式：，，，……
（1）探索这些等式中的规律，直接写出第n个等式（用含n的等式表示）．
（2）试说明你的结论的正确性．
【答案】解：（1）
（2）
【解析】
分析：（1）等号左边第一个因数为整数，与第二个因数的分子相同，第二个因数的分母比分子多1；等号右边为等号左边的第一个数式-第二个因数，即；21·cn·jy·com
（2）把左边进行整式乘法，右边进行通分．
解：（1）猜想：；
（2）证：右边===左边，即
点评：主要考查：等式找规律，难点是怎样证明，不是验证．此题隐含着逆向思维及数学归纳法的思想．
47．你写出两个判断，让其他同学判断一下是否正确.并且试着说明理由.
【答案】略
【分析】
此题答案不唯一,
具有一定的灵活性.
【详解】
解:
答案不唯一,如:（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
画出图形后根据HL证出Rt△ABM≌Rt△DEN，推出∠B=∠E，证△ABC≌△DEF即可；
如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AM⊥BC，DN⊥EF，
∴∠AMB=∠DNE=90°，
在Rt△ABM和Rt△DEN中
AB=DE，AM=DN，
∴Rt△ABM≌Rt△DEN，
∴∠B=∠E，
∵AB=DE，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF，
∴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等正确．
（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；
证Rt△BMC≌Rt△ENF推出∠C=∠F；根据SAS证出即可；
有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等正确；
如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵BM⊥AC，EN⊥DF，
∴∠BMC=∠ENF=90°，
在Rt△BMC和Rt△ENF中
BC=EF，BM=EN，
∴Rt△BMC≌Rt△ENF
∴∠F=∠C，
同理∠A=∠D，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF，
∴有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等正确．
【点睛】
本题主要考查对判断的理解,并能根据已知知识进行分析．
48．证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
已知:
21cnjy.com
求证：
.
证明：
【答案】见解析.
【解析】
试题分析：根据题意画出图形，写出已
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)知与求证，证明过程为：由AB与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠BEF+∠EFD=180°，再由EG与FG为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到∠GEF+∠EFG=90°，根据三角形的内角和定理即可得∠EGF=90°，结论得证．
试题解析：
已知：直线AB∥CD，直接EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF，∠EFD的平分线交于G点.
求证：EG⊥FG
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∵EG平分∠BEF,FG平分∠EFD，
∴∠GEF=∠BEF，∠EFG=∠EFD，
∴∠GEF+∠EFG=∠BEF+∠EFD=×180°=90°，
∴∠EGF=180°-(∠GEF+∠EFG)=90°，
∴EG⊥FG
49．如图，A，B，C，D，E五人围坐在圆桌旁，为A祝贺生日，小华问他们当时的座位．
A说：“我在B的旁边．”
B说：“我的左边不是C就是D．”
C说：“我在D的旁边．”
D说：“不，C在B的右边是错的．”
只有E作了如实回答：“除B说正确之外，A，C，D都说错了．”
你能确定他们的位置吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】答案见解析
【解析】
试题分析：首先根据A的说法是错误的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，则B的位置可能有两个．再根据B的说法正确和D的说法是错误的，说明C在B的右边，D在B的左边．剩下的位置即为E．www.21-cn-jy.com
试题解析：解：如图，有两种可能．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
50．用同样大小的黑色棋子按如图的规律摆放：
（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形有2
016颗黑色棋子？请说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）第5个图形有18颗黑色棋子；（2）第671个图形有2016颗黑色棋子
【解析】
试题分析：根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求解（1）与（2）．
试题解析：解：第1个图形有棋子6颗，第
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2个图形有棋子9颗，第3个图形有棋子12颗，第4个图形有棋子15颗，第5个图形有棋子18颗，…，第n个图形有棋子3（n+1）颗．【出处：21教育名师】
（1）第5个图形有18颗黑色棋子；
（2）第n个图形有棋子3（n+1）颗．
设第n个图形有2
016颗黑色棋子，
得3（n+1）=2016，
解得n=671．
所以第671个图形有2016颗黑色棋子．
点睛：此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
51．如图所示的方格纸中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)每一格小正方形的边长均为1，小莉画出一个等腰直角三角形ABC，她画得对吗？请你设法验证一下，并与同伴交流各自的方法．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】△ACB是等腰直角三角形
【解析】
试题分析：利用勾股定理计算出AC2，BC2，AB2，进而可根据勾股定理逆定理可得△ACB是直角三角形．
试题解析：解：AC2=32+12=10，BC=32+12=10，AB2=22+42=20，
∵10+10=20，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴△ACB是等腰直角三角形．
点睛：此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
52．观察下列各个等式的规律：
第一个等式：=1，第二个等式：
=2，第三个等式：=3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．
【答案】（1）=4；（2）=n．
【详解】
试题分析：（1）根据题目中的式子的变化规律可以写出第四个等式；
（2）根据题目中的式子的变化规律可以猜想出第n等式并加以证明．
试题解析：解：（1）由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是：=4；
（2）第n个等式是：=n．证明如下：
∵=
=
=n
∴第n个等式是：=n．
点睛：本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中式子的变化规律，求出相应的式子．
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精品试卷·第
2
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（共
2
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