第一讲 认识无理数(考点讲解)（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第一讲
认识无理数
【学习目标】
1.会通过拼图活动和勾股定理探索无理数。
2.会判断一个数是否是无理数。
3.理解无理数的概念，能区别无理数和有理数。
【知识结构】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【考点总结】
一、无理数
(1)无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数
学习无理数应把握住无理数的三个特征：21世纪教育网
1
无理数是小数；
2
无理数是无限小数；
3
无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．
(2)有理数与无理数的区别
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．
如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为这样的分数形式；
无限循环小数都可以化为分数，
如：3.14可化为3.
有理数与无理数的主要区别：
①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；21世纪教育网
②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．
二、无理数近似值的估算方法
要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．21世纪教育网版权所有
三、无理数的常见类型
判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：
(1)一般的无限不循环小数，如1.414
213
56…是无理数．21世纪教育网
看似循环而实质不循环的小数，如0.101
001
000
1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．
(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数．
(3)开方开不尽的数(下一节学到)．
四、无理数的应用
无理数的估算用的是“夹逼法”，要注意掌握其应用特征．估算无理数的近似值，应先确定被估算无理数的整数取值范围；21cnjy.com
再以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数开始逐步减0.1)，并求其平方确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求估算无理数的近似值．www.21-cn-jy.com
注：误差小于0.1与精确到0.1是不同的两个概念．在处理有关问题时要看清要求，再着手处理．
【例题讲解】
1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？21世纪教育网
3．141
592
6，－，2.，6.751
755
175
551
7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，，－5.2，－.
分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．
解：有理数有：3.141
592
6，－，2.，0，，－5.2；
无理数有：6.751
755
175
551
7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1)，－.
2、面积为7的正方形的边长为x，请你回答下列问题．
(1)x的整数部分是多少？
(2)把x的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？
(3)x是有理数吗？请简要说明理由．
解：令正方形的面积为S，则S＝x2＝7，当2＜x＜3时，4＜x2＜9，当2.6＜x＜2.7时，6.76＜x2＜7.29；
当2.64＜x＜2.65时，6.969
6＜x2＜7.022
5；
当2.645＜x＜2.646时，6.996
025＜x2＜7.001
316；
…
则有：
(1)x的整数部分为2.
(2)精确到十分位时，x≈2.6，精确到百分位时，x≈2.65.
(3)x不是有理数．因为没有一个整数的平方
等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x是无限不循环小数．
释疑点如何四舍五入
利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位．
3、下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？
0，，－4,0.，－，1.112
111
211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)，3.141
592
7.
分析：1.112
111
211…(相
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)邻两个2之间1的个数逐次加1)为无限不循环小数，为含π的数，两者都为无理数.0，－4为整数，是有理数；0.，－，3.141
592
7为分数或可化为分数，是有理数．
解：有理数为0，－4,0.，－，3.141
592
7；无理数为，1.112
111
211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)．21教育网
辨误区π与3.141
592
7的区别
3．141
592
7属于有限小数，不是π，要注意区分．
4、如图所示，要从离地面5
m的电线杆上的B处向地面C处拉一条钢丝绳来固定电线杆，要固定点C到A处的距离为3
m，求钢丝绳BC的长度(精确到十分位)．21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
分析：这是现实生活中的一个常见问题，解决这个问题首先要用到勾股定理，再利用“夹逼法”估算BC的长．21世纪教育网2·1·c·n·j·y
解：由勾股定理，得BC2＝AB2＋AC2＝34.
当5＜BC＜6时，25＜BC2＜36；
当5.8＜BC＜5.9时，33.64＜BC2＜34.81；
当5.83＜BC＜5.84时，33.988
9＜BC2＜34.105
6；
…
故当精确到十分位时，BC约为5.8
m.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)