第一讲 探究勾股定理(考点讲解)（含答案）

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第一讲
探究勾股定理
【学习目标】
1.经历勾股定理的探究过程，知道关于勾股定理的一些文化历史背景.
2.会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.
3.会用勾股定理进行简单的计算.
【知识结构】
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【考点总结】
一、勾股定理
(1)勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边．www.21-cn-jy.com
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(2)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．即：勾2＋股2＝弦2.
(3)勾股定理的表示方法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a2＋b2＝c2.2·1·c·n·j·y
应用勾股定理的几个误区
(1)勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．
(2)利用勾股定理时，必须
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分清谁是直角边，谁是斜边．尤其在记忆a2＋b2＝c2时，此关系式只有当c是斜边时才成立．若b是斜边，则关系式是a2＋c2＝b2；若a是斜边，则关系式是b2＋c2＝a2.
(3)勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)a2＋b2＝c2，得a2＝c2－b2，b2＝c2－a2等．熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助．www-2-1-cnjy-com
二、勾股定理的验证
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方法1：用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形．
由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得
(a＋b)2＝c2＋4×ab.
化简可得：a2＋b2＝c2.
方法2：用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形．
由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得
c2＝(b－a)2＋4×ab.
化简可得：a2＋b2＝c2.
方法3：用两个完全相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的梯形．
由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得：
(a＋b)(a＋b)＝2×ab＋c2.
化简可得：a2＋b2＝c2.
说明：勾股定理的验证还有很多方法．
三、利用勾股定理求长度
利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题．
常见的方法有：
(1)利用高(作垂线)构造直角三角形；
(2)利用已知直角构造直角三角形；
(3)利用勾股定理构造直角三角形．
已知直角三角形的两边，求第三边，关键是弄清已知什么边，求什么边，用平方和还是用平方差．
四、利用勾股定理求面积
(1)利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用．把所求的面积转化到已知的数量关系中去．
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如求图中阴影部分的面积，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)可转化为中间正方形的面积，而中间正方形的面积等于右侧直角三角形短直角边的平方，借助于右侧的直角三角形，利用勾股定理解答即可．21·世纪
教育网
(2)利用勾股定理求面积，还要注意整体思想的应用．
五、勾股定理与方程相结合的应用
(1)在进行直角三角形的有关计算时，一般要运用勾股定理，在运用过程中，有时直接运用，有时是通过勾股定理来列方程求解．【来源：21cnj
y.co
m】
具体问题如下：
①已知直角三角形的两边，求第三边的长；
②说明线段的平方关系；
③判断三角形的形状或求角的大小；
④解决实际问题．
(2)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)，利用列方程或方程组来解决．【版权所有：21教育】
(3)勾股定理与代数中的平方差公式相结合，解决此类问题可以先根据勾股定理列出关于两直角边的数量关系式，再通过恒等变形巧妙求解．
21教育名师原创作品
【例题讲解】
【类型】一、勾股定理的直接应用
例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．
（1）若＝5，＝12，求；
（2）若＝26，＝24，求．
【思路点拨】利用勾股定理来求未知边长．
解：（1）∵在△ABC中，∠C＝90°，，＝5，＝12，
∴．∴＝13．
（2）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝26，＝24，
所以．所以＝10．
【总结
】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．21教育网
【训练】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．
（1）已知＝2，＝3，求；
（2）已知，＝32，求、．
【答案】
解：（1）∵
∠C＝90°，＝2，＝3，
∴
；
（2）设，．
∵
∠C＝90°，＝32，
∴
．
即．
解得＝8．
∴
，．
【训练】分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
OA22=（）2+1=2
，S1=；
OA32=（）2+1=3，S2=；
OA42=（）2+1=4，S3=…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn=___________；
（2）推算出OA10=______________．
（3）求出
S12+S22+S32+…+S102的值．
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解：（1）+1=n+1
Sn=（n是正整数）；
故答案是：；
（2）∵OA12=1，
OA22=（）2+1=2，
OA32=（）2+1=3，
OA42=（）2+1=4，
∴OA12=，
OA2=，
OA3=，…
∴OA10=；
故答案是：；
（3）S12+S22+S32+…+S102
=（）2+（）2+（）2+…+（）2
=（1+2+3+…+10）
=．
即：S12+S22+S32+…+S102
=
．
【类型】二、勾股定理的证明
例2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，
试说明．
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解：∵
MN⊥AB，∴，，
∴．
∵AM是中线，∴MC＝MB．
又∵∠C＝90°，∴在Rt△AMC中，，
∴．
【总结】证明带有平方的问题，主要思想是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)找到直角三角形，利用勾股定理进行转化．若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明．21cnjy.com
【类型】三、利用勾股定理作长度为
的线段
例3、作长为、、的线段.
【思路点拨】由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作.21·cn·jy·com
作法：如图所示
　　　　　　　　　　
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　　（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
（2）作以AB为一条直角边，另一直角边为1的Rt，斜边为；
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、
的长度就是、、、.【来源：21·世纪·教育·网】
【总结
】（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长度时可自定，一般习惯用国际标准的单位，如1、1等，我们作图时只要取定一个长为单位即可.2-1-c-n-j-y
【类型】四、利用勾股定理解决实际问题
例4、
“中华人民共和国道路交通管理条例”规
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）
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【思路分析】本题求小汽车
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．21
cnjy
com
解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：
（m）
∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【总结】
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．【出处：21教育名师】
【训练】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？
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解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴
．
∴
()．
∴
BC＋AB＝5＋13＝18()．
∴
旗杆折断前的高度为18．
例5、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F
处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（
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A．3
B．4
C．5
D．6
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解：设AB＝，则AF＝，
∵
△ABE折叠后的图形为△AFE，
∴
△ABE≌△AFE．BE＝EF，
EC＝BC－BE＝8－3＝5，
在Rt△EFC中，
由勾股定理解得FC＝4，
在Rt△ABC中，，解得.
【总结
】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．
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精品试卷·第
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