吉林省吉林市第二中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

吉林二中2020-2021学年度下学期期中考试
高一数学试卷
第Ⅰ卷
说明：1、本试卷分第I试卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分；
2、满分150分，考试时间
120分钟。
1、单选题（共8题，每题5分，共40分）
1．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为(
)
A．
B．
C．1
D．
2．已知向量，满足，，则向量，的夹角为(
)
A．
B．
C．
D．
3．如图，在平行四边形中，E是的中点，，则=（
）
A．
B．
C．
D．
4.
若一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的倍（
）
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
5．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(
)
A．，，，
B．，，
C．，
D．，
7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(
)
A.
14斛
B.
22斛
C.
36斛
D.
66斛
8．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，若，，，且，则球O的表面积为（
）
A．48π
B．
C．12π
D．
二、多选题（共4题，每题5分，共20分，全对得5分，漏选得2
分，错选得0分）
9．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么（
）
A．z的虚部为
B．z的虚部为1
C．z＝－－i
D．z＝＋i
10．下列说法中正确的是（
）
A．
B．
若非零向量且，则
C．若且，则
D．若，则有且只有一个实数，使得
11．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．的面积为6
12．如图，在长方体中，，，M、N分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（
）
A．A、M、N、B四点共面
B．平面平面
C．与BN所成角
D．平面ADM
第II卷
三、填空题（共4题，每题5分，共计20分）
13．如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高_____m．
14．正方体中，异面直线与所成角的大小为________．
15．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长___________.
16．已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①_____；②若，则_______.
四、解答题（共6题，17题10分，18-22每题12分，共计70分）
17．已知复数
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值.
18．已知是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求；
（2）若，且与垂直，求实数的值．
19．
中，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．
22．如图，在四棱锥中，是正方形，平面，为线段中点，，
分别是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面.
吉林二中2020-2021学年度下学期期中考试
高一数学
答案
分值：150
1、
单选题（共8题，每题5分，共40分）
ACCD
ADBC
二、多选题（共4题，每题5分，共20分，全对得5分，漏选得2
分，错选得0分）
9.BD
10.AB
11.ABD
12.BC
三、填空题（共4题，每题5分，共计20分）
13
.30
14.
1或2
15.
16.
3；
四、解答题（共6题，17题10分，18-22每题12分，共计70分）
17.
解：（1）为纯虚数，
且
（2）在复平面内的对应点为
由题意：，．
即实数的取值范围是．
而，
当时，．
18解（1）因为，，
所以，，，
所以．
（2）因为，，所以，．
因为与垂直，所以，
即，．
19【解析】（1）由正弦定理可得：，，
，．
（2）由余弦定理得：，
即．（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为．
20【解析】选择条件①的解析：
由可得：，不妨设，
则：，即．
据此可得：，，此时．
选择条件②的解析：由可得：，不妨设，
则：，即．
据此可得：，则：，此时：，则：．
选择条件③的解析：由可得：，不妨设，
则：，即．
据此可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．
21证明：（1）取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示：
∵F是PD的中点，
∴FG∥CD，且，
又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，
∴BE∥CD，且，
∴BE∥FG，且BE＝FG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴EF∥BG，
又EF?平面PBC，BG?平面PBC，
∴EF∥平面PBC；
（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，连接PO，
∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又∵PB＝PD，O是BD中点，
∴BD⊥PO，
又AC∩PO＝O，AC?平面PAC，PO?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.
22【详解】（1）分别是线段的中点，
所以，又为正方形，，
所以，
又平面，所以平面.
因为分别是线段的中点，所以，
又平面，所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
（2）连接，
由于，所以为平面四边形，
由平面，得，
又，，所以平面，
所以，
又三角形为等腰直角三角形，为斜边中点，所以，
因为，平面.，所以平面.
备选22．三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积.
(1)证明：∵、分别为、的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
(2)证明：∵，为的中点，∴，
又∵平面平面，平面平面，
且平面，∴平面，又平面，
∴平面平面；
(3)解：在等腰直角三角形中，，
∴，，∴等边三角形的面积，
又∵平面，∴三棱锥的体积，
∴.