初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1.1 菱形的性质与判定
一、单选题
1.(2019·玉林)菱形不具备的性质是( )
A.是轴对称图形 B.是中心对称图形
C.对角线互相垂直 D.对角线一定相等
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解:A、是轴对称图形,故正确,但不符合题意;
B、是中心对称图形,故正确,但不符合题意;
C、对角线互相垂直,故正确,但不符合题意;
D、对角线不一定相等,故不正确,符合题意。
故答案为:D。
【分析】根据菱形的性质即可一一判断得出答案。
2.(2019八下·南浔期末)下列说法正确的是( )
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等的平行四边形是菱形
C.三个角都是直角的四边形是矩形
D.一组邻边相等的平行四边形是正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定
【解析】【解答】解:A、 一组对边平行且相等,或两组对边分别相等的的四边形是平行四边形 ,
不符合题意;
B、 对角线相等的平行四边形是矩形,不符合题意;
C、三个角都是直角的四边形是矩形,符合题意;
D、 一组邻边相等的平行四边形是菱形, 不符合题意.
故答案为:C
【分析】分别根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理分析即可判断。
3.(2019八下·南浔期末)在数学课拓展课上,小明发现:若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积.如图是由5个边长是1,且一个内角是60°的小菱形拼成的图形,P是其中4个小菱形的公共顶点,小新在小明的启发下,将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀,把它剪成了面积相等的两部分,则剪痕的长度是( )
A.2 B.3 C. D.
【答案】D
【知识点】勾股定理;菱形的性质
【解析】【解答】如图据题意,剪痕是连接两个菱形的对角线的交点的直线,
作OH⊥AC,PG⊥BC,OM⊥PG,
∵在小菱形中,∠OAC=30°,∠AOC=90°,
∴OC=,又∵∠OCH=60°,
,
同理PG= ,
,
由图可得: ,
,
∵菱形是中心对称图形,
∴LO=JO, KP=JP,
∴LO+KP=JO+JP,
∴剪痕: .
故答案为:D
【分析】先根据题意找出折痕,因为折痕同时平分两个菱形的面积,则折痕是两个菱形对角线的交点连线。作垂线,构造直角三角形,利用勾股定理求出有关线段的长,现知OP的长,由于菱形是中心对称图形,所以折痕是OP长的2倍,从而求出折痕的长。
4.(2019八下·赵县期末)在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上两点连接BE、BF、DE、DF,则A添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形( )
A.∠1=∠2 B.BE=DF C.∠EDF=60° D.AB=AF
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质;菱形的判定
【解析】【解答】可添加条件BE=BF,
∵AB=AD, ∠ DAE= ∠ BAE,AE=AE
∴A△ADEQ≌△ABE(SAS)
所以ED=EB,DF=EF,EB=FB,
∴四边形BEDF是菱形.
故答案为:B.
【分析】根据三角形全等的判定定理判定全等,利用性质和添加的条件可证得菱形。
5.(2019·雅安)如图,在四边形 中, , 是对角线, 分别是 的中点,连接 ,则四边形 的形状是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵ 分别是 的中点,
∴在 中, 为 的中位线,所以 且 ;同理 且 ,同理可得 ,
则 且 ,
∴四边形 为平行四边形,又 ,所以 ,
∴四边形 为菱形.
故答案为:C.
【分析】根据三角形中位线定理可得 且 , 且 , ,从而可得EH∥FG且EH=FG,利用一组对边平行且相等可证四边形EFGH为平行四边形,由AB=CD,即得EF=EH,利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即证.
6.(2019·泸州)一个菱形的边长为 ,面积为 ,则该菱形的两条对角线的长度之和为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】勾股定理;菱形的性质
【解析】【解答】如图所示:
四边形 是菱形,
, , ,
面积为 ,
①
菱形的边长为 ,
②,
由①②两式可得: ,
,
,
即该菱形的两条对角线的长度之和为 ,
故答案为:C.
【分析】根据菱形的面积=对角线乘积的一半=底×高,可得2OD·OA=28.利用菱形的性质及勾股定理可得OD2+OA2=36,从而求出OD+OA的长,继而求出菱形的两条对角线的长度之和.
7.(2019八下·苍南期末)如图,正方形ABCD的边长为3,点EF在正方形ABCD内若四边形AECF恰是菱形连结FB,DE,且AF2-FB2=3,则菱形AECF的边长为( ).
A. B. C.2 D.
【答案】A
【知识点】勾股定理;菱形的性质;正方形的性质
【解析】【解答】解:如图,连接AC、EF,
则AC垂直平分BD,也垂直平分EF,
∵AB=3,AC=
则OA=OB=,
AF2=OA2+OF2=OA2+(OA-FB)2,
AF2=+(-FB)2,
AF2=+-3FB+FB2,
AF2-FB2=9- 3FB=3,
3FB=6,
则FB=,
故答案为:A.
【分析】连接AC、EF,利用勾股定理先求出AC,则得OA和OB的长度,再根据已知条件 AF2-FB2=3 列式,求解FB即可。
8.(2019八下·天台期末)如图,在菱形 中,E,F分别是 的中点,若∠B=50°,则∠AFE的度数为( )
A.50° B.60° C.65° D.70°
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∵∠B=50°,
∴∠BCA=,
∵E、F分别是AB、AC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥BC,
∴∠AFE=∠ACB=65°.
故答案为:C
【分析】因为EF是中位线,根据两直线平行同位角相等,把∠AEF转化为∠ACB, 由四边形ABCD是菱形,得到AB=BC,再由三角形内角和定理得到∠ACB=65°,即可求出∠AFE。
9.(2019八下·嘉兴期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A( ,0),B(1,1).若平移点A到点C,使以点O,A,C,B为顶点的四边形是菱形,则正确的平移方法是( )
A.向左平移1个单位,再向下平移1个单位
B.向左平移(2 -1个单位,再向上平移1个单位
C.向右平移 个单位,再向上平移1个单位
D.向右平移1个单位,再向上平移1个单位
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质;菱形的性质;坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】 解:过B作射线BD∥OA,在射线BC上截取BC=OA,则四边形OACB是平行四边形,
过B作BH⊥x轴于H,
∵B(1,1),
∴BH=OH=1
∴OB=
∵A(,0),
∴OA=
∴OA=OB,
∴四边形OACB是菱形
∴点C的横坐标为OA+OH=+1
∴C(1+,1)
∵A(,0),
∴点A平移到点C,是向右平移1个单位,再向上平移1个单位而得到。
故答案为:D
【分析】过B作射线BC∥OA,在BC上截取BC=OA,则四边形OACB是平行四边形,过B作BH⊥x轴于H,在Rt△OBH中,利用勾股定理可求出OB的长,再根据点A的坐标可得到OA的长,就可证得OA=OB,可知四边形OACB是菱形,利用菱形的性质,可得到点C的坐标,然后根据点A、C的坐标变化,可得到点A向左或向右平移的距离,及向上或向下平移的距离。
二、填空题
10.(2019八下·温州期末)如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点C,D的对应点C',D'都落在直线AB上,折痕为EF,若EF=6.AC'=8,则阴影部分(四边形ED'BF)的面积为 。
【答案】10
【知识点】菱形的性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:如图,过E作EH⊥AC’,
由对称图形的特征可知:
EF=AB=D'C',
∴AD'+D'B=D'B+BC',
∴AD'=BC’,
∵AB+BC‘=AC'=8,
∴BC'=8-6=2=AD',
∴BD'=AB-AD'=6-2=4,
又∵EA=ED',
∴,
,
故答案为:10 ,
【分析】根据对称图形的特点,算出BC和AD’的长,则D'B的长可求,然后过E作EH垂直AB,
由勾股定理求出EH的长,将所求线段代入梯形面积公式即可求出阴影部分的面积。
11.(2019·北部湾)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,已知BO=4,S菱形ABCD=24,则AH= .
【答案】
【知识点】勾股定理;菱形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形
∴BD=2OB=2×4=8,
∵S菱形ABCD=
解之:AC=6
∴OC=AC=×6=3
在Rt△OBC中
BC=
∵ S菱形ABCD=24, AH⊥BC
∴BC·AH=24=5AH
解之:AH=
故答案为:
【分析】利用菱形的性质,可求出BD的长,再根据菱形的面积等于两对角线之积的一半,就可求出AC的长,从而可得OC的长,利用勾股定理求出BC,然后利用菱形的面积等于底乘以高,就可求出AH的长。
12.(2019·梧州)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是 .
【答案】 ﹣1
【知识点】含30°角的直角三角形;菱形的性质;旋转的性质
【解析】【解答】解:连接BD交AC于O,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=AB=2,∠BCD=∠BAD=60°,∠ACD=∠BAC= ∠BAD=30°,OA=OC,AC⊥BD,
∴OB= AB=1,
∴OA= OB= ,
∴AC=2 ,
由旋转的性质得:AE=AB=2,∠EAG=∠BAD=60°,
∴CE=AC﹣AE=2 ﹣2,
∵四边形AEFG是菱形,
∴EF∥AG,
∴∠CEP=∠EAG=60°,
∴∠CEP+∠ACD=90°,
∴∠CPE=90°,
∴PE= CE= ﹣1,PC= PE=3﹣ ,
∴DP=CD﹣PC=2﹣(3﹣ )= ﹣1。
故答案为 ﹣1。
【分析】连接BD交AC于O,如图所示:根据菱形的性质得出CD=AB=2,∠BCD=∠BAD=60°,∠ACD=∠BAC= ∠BAD=30°,OA=OC,AC⊥BD,根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出OB、OA的长,进而得出AC的长,由旋转的性质得:AE=AB=2,∠EAG=∠BAD=60°,根据线段的和差得出CE的长,根据二直线平行,同位角相等得出∠CEP=∠EAG=60°,进而根据三角形的内角和得出∠CPE=90°,根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出PE,PC的长,最后根据DP=CD﹣PC算出答案。
13.(2019·菏泽)如图, , 是正方形 的对角线 上的两点, , ,则四边形 的周长是 .
【答案】
【知识点】勾股定理;菱形的判定与性质;正方形的性质
【解析】【解答】如图,连接 交 于点 ,
∵四边形 为正方形,
∴ , ,
∵ ,
∴ ,即 ,
∴四边形 为平行四边形,且 ,
∴四边形 为菱形,
∴ ,
∵ , ,
由勾股定理得: ,
∴四边形 的周长 ,
故答案为: .
【分析】根据正方形的对角线相等且互相垂直平分得到=,且,则可得OE=OF,由对角线互相垂直平分的四边形为菱形可得四边形 为菱形,在Rt△DOE中根据勾股定理可得DE的长,则四边形 的周长=4DE。
三、作图题
14.(2019八下·温州期末)如图,在正方形方格纸中,线段AB的两个端点和点P都在小方格的格点上,分别按下列要求画格点四边形.
(1)在图甲中画一个以AB为边的平行四边形,使点P落在AB的对边上(不包括端点).
(2)在图乙中画一个以AB为对角线的菱形,使点P落在菱形的内部(不包括边界).
(注:图甲、图乙在答卷纸上)
【答案】(1)解:如下图
(2)解:如下图
【知识点】平行四边形的判定;菱形的判定
【解析】【分析】(1)根据一组对边平行且相等是平行四边形,过P作AB的平行线,使其作为平行四边形的一边,并且使这条边等于AB,端点在格点上即可。方案不唯一。
(2)根据四条边相等的四边形是菱形,由三角形全等的性质构造菱形的四条边,且使P点在菱形的内部即可。方案不唯一。
四、综合题
15.(2019·宿迁)如图,矩形 中, , ,点 、 分别在 、 上,且 .
(1)求证:四边形 是菱形;
(2)求线段 的长.
【答案】(1) 证明:∵在矩形 中, , ,
∴ , , , ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴四边形 是菱形
(2)解:过 作 于 ,
则四边形 是矩形,
∴ , ,
∴ ,
∴
【知识点】勾股定理;平行四边形的性质;菱形的判定;矩形的性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得出 , , , , 根据线段的和差得出 ,根据勾股定理得出AF=CE=,故 ,根据四边相等的四边形是菱形得出结论: 四边形 是菱形 ;
(2) 过 作 于 , 很容易得知 四边形 是矩形 根据矩形的性质得出 , ,进而利用勾股定理即可算出EF的长。
16.(2019·北京)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF.
(1)求证:AC⊥EF;
(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O,若BD=4,tanG= ,求AO的长.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=AD,AC平分∠BAD
∵BE=DF, ∴ , ∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形, ∵AC平分∠BAD, ∴AC⊥EF
(2)解:如图2所示:
∵四边形ABCD为菱形,∴CG∥AB,BO= BD=2,∵EF∥BD
∴四边形EBDG为平行四边形,∴∠G=∠ABD,∴tan∠ABD=tan∠G=
∴tan∠ABD= ,∴AO=1
【知识点】等腰三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质,即可判断三角形AEF为等腰三角形,即可求出答案。
(2)根据菱形的性质,证明四边形EBDG为平行四边形,得到答案即可。
17.(2019八下·南浔期末)如图,已知在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E、F分别在边CD、AB上,且DE=BF.
(1) 求证:四边形AFCE是平行四边形;
(2)若 AFCE是菱形,求菱形AFCE的周长.
【答案】(1)证明:在矩形ABCD中,
∴AB//CD,AB=CD,
∵DE=BF,
∴CE=AF,且CE//AF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
(2)解:∵平行四边形AFCE是菱形,
∴AE=CE,
设AE=CE=x,
∵AB=CD=8,AD=6,∴DE=8-x,
在矩形ABCD中,∠D=90°,
∴AD2+DE2=AE2,
(8-x)2+62=x2,
解得 .
∴菱形的周长为25.
【知识点】平行四边形的判定;菱形的性质
【解析】【分析】(1)矩形的对边互相平行且相等,由DE=BF,等量代换得EC=AF,根据一组对边平行且相等求得 四边形AFCE是平行四边形。
(2)设菱形的边长为x,把DE、AE用含x的代数式表示,在Rt△ADE中,用勾股定理列式,求出x. 则菱形的周长可求。
18.(2019·滨州)如图,矩形 中,点 在边 上,将 沿 折叠,点 落在 边上的点 处,过点 作 交 于点 ,连接 .
(1)求证:四边形 是菱形;
(2)若 ,求四边形 的面积.
【答案】(1)证明:由题意可得,
,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴四边形 是平行四边形,
又∵
∴四边形 是菱形
(2)解:∵矩形 中, ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
设 ,则 ,
∵ ,
∴ ,
解得, ,
∴ ,
∴四边形 的面积是:
【知识点】勾股定理;菱形的性质;菱形的判定;翻折变换(折叠问题)
【解析】【分析】(1)根据折叠的性质,可得∠BEC=∠BEF,EF=CE.根据两直线平行,内错角相等,可得∠FGE=∠BEF,即得∠FGE=∠FEG,由等角对等边,可得FG=EF,即得FG=EC,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可证四边形CEFG是平行四边形,由CE=EF,即证四边形CEFG是菱形。
(2)根据矩形的矩形的性质及折叠的性质,可得∠BAF=90°,AD=BC=BF=10,由勾股定理可求AF=8,从而可得DF=2,设 ,则 ,在Rt△DEF中,可得22+(6-x)2=x2,求出x的值,即得CE的长,利用平行四边形的面积公式计算即可.
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1.1 菱形的性质与判定
一、单选题
1.(2019·玉林)菱形不具备的性质是( )
A.是轴对称图形 B.是中心对称图形
C.对角线互相垂直 D.对角线一定相等
2.(2019八下·南浔期末)下列说法正确的是( )
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等的平行四边形是菱形
C.三个角都是直角的四边形是矩形
D.一组邻边相等的平行四边形是正方形
3.(2019八下·南浔期末)在数学课拓展课上,小明发现:若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积.如图是由5个边长是1,且一个内角是60°的小菱形拼成的图形,P是其中4个小菱形的公共顶点,小新在小明的启发下,将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀,把它剪成了面积相等的两部分,则剪痕的长度是( )
A.2 B.3 C. D.
4.(2019八下·赵县期末)在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上两点连接BE、BF、DE、DF,则A添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形( )
A.∠1=∠2 B.BE=DF C.∠EDF=60° D.AB=AF
5.(2019·雅安)如图,在四边形 中, , 是对角线, 分别是 的中点,连接 ,则四边形 的形状是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
6.(2019·泸州)一个菱形的边长为 ,面积为 ,则该菱形的两条对角线的长度之和为( )
A. B. C. D.
7.(2019八下·苍南期末)如图,正方形ABCD的边长为3,点EF在正方形ABCD内若四边形AECF恰是菱形连结FB,DE,且AF2-FB2=3,则菱形AECF的边长为( ).
A. B. C.2 D.
8.(2019八下·天台期末)如图,在菱形 中,E,F分别是 的中点,若∠B=50°,则∠AFE的度数为( )
A.50° B.60° C.65° D.70°
9.(2019八下·嘉兴期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A( ,0),B(1,1).若平移点A到点C,使以点O,A,C,B为顶点的四边形是菱形,则正确的平移方法是( )
A.向左平移1个单位,再向下平移1个单位
B.向左平移(2 -1个单位,再向上平移1个单位
C.向右平移 个单位,再向上平移1个单位
D.向右平移1个单位,再向上平移1个单位
二、填空题
10.(2019八下·温州期末)如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点C,D的对应点C',D'都落在直线AB上,折痕为EF,若EF=6.AC'=8,则阴影部分(四边形ED'BF)的面积为 。
11.(2019·北部湾)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,已知BO=4,S菱形ABCD=24,则AH= .
12.(2019·梧州)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是 .
13.(2019·菏泽)如图, , 是正方形 的对角线 上的两点, , ,则四边形 的周长是 .
三、作图题
14.(2019八下·温州期末)如图,在正方形方格纸中,线段AB的两个端点和点P都在小方格的格点上,分别按下列要求画格点四边形.
(1)在图甲中画一个以AB为边的平行四边形,使点P落在AB的对边上(不包括端点).
(2)在图乙中画一个以AB为对角线的菱形,使点P落在菱形的内部(不包括边界).
(注:图甲、图乙在答卷纸上)
四、综合题
15.(2019·宿迁)如图,矩形 中, , ,点 、 分别在 、 上,且 .
(1)求证:四边形 是菱形;
(2)求线段 的长.
16.(2019·北京)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF.
(1)求证:AC⊥EF;
(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O,若BD=4,tanG= ,求AO的长.
17.(2019八下·南浔期末)如图,已知在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E、F分别在边CD、AB上,且DE=BF.
(1) 求证:四边形AFCE是平行四边形;
(2)若 AFCE是菱形,求菱形AFCE的周长.
18.(2019·滨州)如图,矩形 中,点 在边 上,将 沿 折叠,点 落在 边上的点 处,过点 作 交 于点 ,连接 .
(1)求证:四边形 是菱形;
(2)若 ,求四边形 的面积.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解:A、是轴对称图形,故正确,但不符合题意;
B、是中心对称图形,故正确,但不符合题意;
C、对角线互相垂直,故正确,但不符合题意;
D、对角线不一定相等,故不正确,符合题意。
故答案为:D。
【分析】根据菱形的性质即可一一判断得出答案。
2.【答案】C
【知识点】菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定
【解析】【解答】解:A、 一组对边平行且相等,或两组对边分别相等的的四边形是平行四边形 ,
不符合题意;
B、 对角线相等的平行四边形是矩形,不符合题意;
C、三个角都是直角的四边形是矩形,符合题意;
D、 一组邻边相等的平行四边形是菱形, 不符合题意.
故答案为:C
【分析】分别根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理分析即可判断。
3.【答案】D
【知识点】勾股定理;菱形的性质
【解析】【解答】如图据题意,剪痕是连接两个菱形的对角线的交点的直线,
作OH⊥AC,PG⊥BC,OM⊥PG,
∵在小菱形中,∠OAC=30°,∠AOC=90°,
∴OC=,又∵∠OCH=60°,
,
同理PG= ,
,
由图可得: ,
,
∵菱形是中心对称图形,
∴LO=JO, KP=JP,
∴LO+KP=JO+JP,
∴剪痕: .
故答案为:D
【分析】先根据题意找出折痕,因为折痕同时平分两个菱形的面积,则折痕是两个菱形对角线的交点连线。作垂线,构造直角三角形,利用勾股定理求出有关线段的长,现知OP的长,由于菱形是中心对称图形,所以折痕是OP长的2倍,从而求出折痕的长。
4.【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质;菱形的判定
【解析】【解答】可添加条件BE=BF,
∵AB=AD, ∠ DAE= ∠ BAE,AE=AE
∴A△ADEQ≌△ABE(SAS)
所以ED=EB,DF=EF,EB=FB,
∴四边形BEDF是菱形.
故答案为:B.
【分析】根据三角形全等的判定定理判定全等,利用性质和添加的条件可证得菱形。
5.【答案】C
【知识点】菱形的判定;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵ 分别是 的中点,
∴在 中, 为 的中位线,所以 且 ;同理 且 ,同理可得 ,
则 且 ,
∴四边形 为平行四边形,又 ,所以 ,
∴四边形 为菱形.
故答案为:C.
【分析】根据三角形中位线定理可得 且 , 且 , ,从而可得EH∥FG且EH=FG,利用一组对边平行且相等可证四边形EFGH为平行四边形,由AB=CD,即得EF=EH,利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即证.
6.【答案】C
【知识点】勾股定理;菱形的性质
【解析】【解答】如图所示:
四边形 是菱形,
, , ,
面积为 ,
①
菱形的边长为 ,
②,
由①②两式可得: ,
,
,
即该菱形的两条对角线的长度之和为 ,
故答案为:C.
【分析】根据菱形的面积=对角线乘积的一半=底×高,可得2OD·OA=28.利用菱形的性质及勾股定理可得OD2+OA2=36,从而求出OD+OA的长,继而求出菱形的两条对角线的长度之和.
7.【答案】A
【知识点】勾股定理;菱形的性质;正方形的性质
【解析】【解答】解:如图,连接AC、EF,
则AC垂直平分BD,也垂直平分EF,
∵AB=3,AC=
则OA=OB=,
AF2=OA2+OF2=OA2+(OA-FB)2,
AF2=+(-FB)2,
AF2=+-3FB+FB2,
AF2-FB2=9- 3FB=3,
3FB=6,
则FB=,
故答案为:A.
【分析】连接AC、EF,利用勾股定理先求出AC,则得OA和OB的长度,再根据已知条件 AF2-FB2=3 列式,求解FB即可。
8.【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∵∠B=50°,
∴∠BCA=,
∵E、F分别是AB、AC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥BC,
∴∠AFE=∠ACB=65°.
故答案为:C
【分析】因为EF是中位线,根据两直线平行同位角相等,把∠AEF转化为∠ACB, 由四边形ABCD是菱形,得到AB=BC,再由三角形内角和定理得到∠ACB=65°,即可求出∠AFE。
9.【答案】D
【知识点】坐标与图形性质;菱形的性质;坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】 解:过B作射线BD∥OA,在射线BC上截取BC=OA,则四边形OACB是平行四边形,
过B作BH⊥x轴于H,
∵B(1,1),
∴BH=OH=1
∴OB=
∵A(,0),
∴OA=
∴OA=OB,
∴四边形OACB是菱形
∴点C的横坐标为OA+OH=+1
∴C(1+,1)
∵A(,0),
∴点A平移到点C,是向右平移1个单位,再向上平移1个单位而得到。
故答案为:D
【分析】过B作射线BC∥OA,在BC上截取BC=OA,则四边形OACB是平行四边形,过B作BH⊥x轴于H,在Rt△OBH中,利用勾股定理可求出OB的长,再根据点A的坐标可得到OA的长,就可证得OA=OB,可知四边形OACB是菱形,利用菱形的性质,可得到点C的坐标,然后根据点A、C的坐标变化,可得到点A向左或向右平移的距离,及向上或向下平移的距离。
10.【答案】10
【知识点】菱形的性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:如图,过E作EH⊥AC’,
由对称图形的特征可知:
EF=AB=D'C',
∴AD'+D'B=D'B+BC',
∴AD'=BC’,
∵AB+BC‘=AC'=8,
∴BC'=8-6=2=AD',
∴BD'=AB-AD'=6-2=4,
又∵EA=ED',
∴,
,
故答案为:10 ,
【分析】根据对称图形的特点,算出BC和AD’的长,则D'B的长可求,然后过E作EH垂直AB,
由勾股定理求出EH的长,将所求线段代入梯形面积公式即可求出阴影部分的面积。
11.【答案】
【知识点】勾股定理;菱形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形
∴BD=2OB=2×4=8,
∵S菱形ABCD=
解之:AC=6
∴OC=AC=×6=3
在Rt△OBC中
BC=
∵ S菱形ABCD=24, AH⊥BC
∴BC·AH=24=5AH
解之:AH=
故答案为:
【分析】利用菱形的性质,可求出BD的长,再根据菱形的面积等于两对角线之积的一半,就可求出AC的长,从而可得OC的长,利用勾股定理求出BC,然后利用菱形的面积等于底乘以高,就可求出AH的长。
12.【答案】 ﹣1
【知识点】含30°角的直角三角形;菱形的性质;旋转的性质
【解析】【解答】解:连接BD交AC于O,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=AB=2,∠BCD=∠BAD=60°,∠ACD=∠BAC= ∠BAD=30°,OA=OC,AC⊥BD,
∴OB= AB=1,
∴OA= OB= ,
∴AC=2 ,
由旋转的性质得:AE=AB=2,∠EAG=∠BAD=60°,
∴CE=AC﹣AE=2 ﹣2,
∵四边形AEFG是菱形,
∴EF∥AG,
∴∠CEP=∠EAG=60°,
∴∠CEP+∠ACD=90°,
∴∠CPE=90°,
∴PE= CE= ﹣1,PC= PE=3﹣ ,
∴DP=CD﹣PC=2﹣(3﹣ )= ﹣1。
故答案为 ﹣1。
【分析】连接BD交AC于O,如图所示:根据菱形的性质得出CD=AB=2,∠BCD=∠BAD=60°,∠ACD=∠BAC= ∠BAD=30°,OA=OC,AC⊥BD,根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出OB、OA的长,进而得出AC的长,由旋转的性质得:AE=AB=2,∠EAG=∠BAD=60°,根据线段的和差得出CE的长,根据二直线平行,同位角相等得出∠CEP=∠EAG=60°,进而根据三角形的内角和得出∠CPE=90°,根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出PE,PC的长,最后根据DP=CD﹣PC算出答案。
13.【答案】
【知识点】勾股定理;菱形的判定与性质;正方形的性质
【解析】【解答】如图,连接 交 于点 ,
∵四边形 为正方形,
∴ , ,
∵ ,
∴ ,即 ,
∴四边形 为平行四边形,且 ,
∴四边形 为菱形,
∴ ,
∵ , ,
由勾股定理得: ,
∴四边形 的周长 ,
故答案为: .
【分析】根据正方形的对角线相等且互相垂直平分得到=,且,则可得OE=OF,由对角线互相垂直平分的四边形为菱形可得四边形 为菱形,在Rt△DOE中根据勾股定理可得DE的长,则四边形 的周长=4DE。
14.【答案】(1)解:如下图
(2)解:如下图
【知识点】平行四边形的判定;菱形的判定
【解析】【分析】(1)根据一组对边平行且相等是平行四边形,过P作AB的平行线,使其作为平行四边形的一边,并且使这条边等于AB,端点在格点上即可。方案不唯一。
(2)根据四条边相等的四边形是菱形,由三角形全等的性质构造菱形的四条边,且使P点在菱形的内部即可。方案不唯一。
15.【答案】(1) 证明:∵在矩形 中, , ,
∴ , , , ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴四边形 是菱形
(2)解:过 作 于 ,
则四边形 是矩形,
∴ , ,
∴ ,
∴
【知识点】勾股定理;平行四边形的性质;菱形的判定;矩形的性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得出 , , , , 根据线段的和差得出 ,根据勾股定理得出AF=CE=,故 ,根据四边相等的四边形是菱形得出结论: 四边形 是菱形 ;
(2) 过 作 于 , 很容易得知 四边形 是矩形 根据矩形的性质得出 , ,进而利用勾股定理即可算出EF的长。
16.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=AD,AC平分∠BAD
∵BE=DF, ∴ , ∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形, ∵AC平分∠BAD, ∴AC⊥EF
(2)解:如图2所示:
∵四边形ABCD为菱形,∴CG∥AB,BO= BD=2,∵EF∥BD
∴四边形EBDG为平行四边形,∴∠G=∠ABD,∴tan∠ABD=tan∠G=
∴tan∠ABD= ,∴AO=1
【知识点】等腰三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质,即可判断三角形AEF为等腰三角形,即可求出答案。
(2)根据菱形的性质,证明四边形EBDG为平行四边形,得到答案即可。
17.【答案】(1)证明:在矩形ABCD中,
∴AB//CD,AB=CD,
∵DE=BF,
∴CE=AF,且CE//AF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
(2)解:∵平行四边形AFCE是菱形,
∴AE=CE,
设AE=CE=x,
∵AB=CD=8,AD=6,∴DE=8-x,
在矩形ABCD中,∠D=90°,
∴AD2+DE2=AE2,
(8-x)2+62=x2,
解得 .
∴菱形的周长为25.
【知识点】平行四边形的判定;菱形的性质
【解析】【分析】(1)矩形的对边互相平行且相等,由DE=BF,等量代换得EC=AF,根据一组对边平行且相等求得 四边形AFCE是平行四边形。
(2)设菱形的边长为x,把DE、AE用含x的代数式表示,在Rt△ADE中,用勾股定理列式,求出x. 则菱形的周长可求。
18.【答案】(1)证明:由题意可得,
,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴四边形 是平行四边形,
又∵
∴四边形 是菱形
(2)解:∵矩形 中, ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
设 ,则 ,
∵ ,
∴ ,
解得, ,
∴ ,
∴四边形 的面积是:
【知识点】勾股定理;菱形的性质;菱形的判定;翻折变换(折叠问题)
【解析】【分析】(1)根据折叠的性质,可得∠BEC=∠BEF,EF=CE.根据两直线平行,内错角相等,可得∠FGE=∠BEF,即得∠FGE=∠FEG,由等角对等边,可得FG=EF,即得FG=EC,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可证四边形CEFG是平行四边形,由CE=EF,即证四边形CEFG是菱形。
(2)根据矩形的矩形的性质及折叠的性质,可得∠BAF=90°,AD=BC=BF=10,由勾股定理可求AF=8,从而可得DF=2,设 ,则 ,在Rt△DEF中,可得22+(6-x)2=x2,求出x的值,即得CE的长,利用平行四边形的面积公式计算即可.
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