3.5.2 探索与表达规律同步练习(含解析）

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北师大版2021–2022学年度七年级数学上册第三章整式及其加减
3.5
探索与表达规律
第2课时
探索与表达规律—数字规律
【知识清单】
1.括号前面的数字因数，无论其正负都带着符号乘以括号里的每一项.
2.
整式的加减实质上就是合并同类项.进行整式的加减运算时，如果遇到括号先去掉括号，再合并同类项.
【经典例题】
例题1、观察下面一列数的规律并填空：2，5，10，17，26，…，则它的第99个数是______．第n个数是______．
【考点】?规律型：数字的变化类.?
【分析】通过观察不难发现，每一个数都是比它所在的位置数的平方数大1的数，然后写出第99个数以及第n个数的表达式即可．
【解答】∵2=12+1，5=22+1，10=32+1，17=42+1，26=52+1，…，
∴第99个数是992+1=9802，
第n个数是n2+1．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，比较简单，观察出每一个数都是比它所在的位置数的平方数大1的数是解题的关键．
例题2、下13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…
(1)想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？
(2)把这规律用一个等式表示出来，并按顺次写出第五个等式．
【考点】?规律型：数字的变化类．?
【分析】(1)通过观察和计算可知左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数；
(2)利用(1)中的结论即可得出规律并求得第五个等式．
【解答】(1)左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数；
(2)13+23+…+n3=(1+2+3+…+n)2=[]2
当n=5时，13+23+33+43+53=[]2=152，
所以，第5个等式：13+23+33+43+53=152．
【点评】?本题要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
理解并掌握“1+2+3+…+n=”是解题的关键．
【夯实基础】
1、观察下列各数：1，1，，，，…，根据你发现的规律推算第7个数为
(
)
A．
B．
C．
D．
2、下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是(
)
1
2
3
5
8
13
a
…
2
3
5
8
13
21
34
…
A．15
B．17
C．19
D．21
3、一组按规律排列的多项式：a+b，a2?b3，a3+b5，a4?b7，…，则第n(n为正整数)个式子是(
)
A．an+bn+1
B．an+(?1)
n+1b2n?1
C．an+(?1)
nb2n?1
D．an+(?1)
n+1bn+1
4、对于正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末位数为
(　　)
A．0
B．1
C．3
D．
5
5、观察，，，，，…，第n个数是
.
6、观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式④
；⑤
；
(2)根据上面算式的规律，请计算：1+3+5+…+199=?
?．
7、观察下列算式：
①1×3?22=?1；②2×4?32=?1；③3×5?42=?1；则④等式为
.
8、已知一列有规律的数：1，?2，3，?4，5，?6，7，?8，….
(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？
(2)它的第201个数是多少？
(3)2020是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？如果不是，请说明理由.
9、大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+n=？经过研究，这个问题的结论是1+2+3+…+n＝n(n+1)，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n(n+1)=？观察下面三个特殊的等式：1×2＝(1×2×3?0×1×2)，2×3＝(2×3×4?1×2×3)，3×4＝(3×4×5?2×3×4)，将这三个等式的两边相加，可以得到
1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20．根据上述规律，请你计算：
(1)1×2+2×3+…+99×100=
(直接写出结果)
；
(2)1×2+2×3+…+n(n+1)(给出计算过程)；
(3)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=
．
【提优特训】
10、计算的值为(　　)
A．
B．1
C．2
D．无法计算
11、找规律：①0.2a+4
②0.3a+8
③0.4a+12，则第四个为(
)
A．0.5a+12??????????????????B．0.4a+16?????????????????????C．0.5a+16?????????????????????D．0.4a+14
12、观察下列一组数的排列：1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1，…那么第2021个数是
A．1?????????????????????????????????B．2???????????????????????????C．3????????????????
????????D．4
13、观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，根据上述算式中的规律，你认为22023的末位数字是
(　　)
A．2?????????????????????????????????B．4???????????????????????????C．6????????????????
????????D．8
14、观察下列等式9?1=8，16?4=12，25?9=16，36?16=20，…这些等式反映的某种规律，设n表示自然数(n≥1)，用关于n的等式表示这个规律
．
15、观察下列等式：，，，…，则第n(正整数)个式子可
表示为
.
16、将1
2，
3，4，按下列方式排列，
若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，
则(7，3)与(8，2)表示的两个数之和是
.
17、从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：当n个由2开始的连续偶数相加时，它们的和S与n之间有什么样的关系？用n的式子表示出来，并由此计算．
加数的个数(n)
和(S)
1
2=1×2
2
2+4=2×3
3
2+4+6=12=3×4
4
2+4+6+8=20=4×5
5
2+4+6+8+10=30=5×6
…
…
①若n=8时，则S=
；
②求2+4+6+…+2022的值；
③根据表中的规律猜想，用n的式子表示S的公式为S=2+4+6+8+…+2n？
18、任意一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数字的百位．百位数字乘十位数
的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上
面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数与十位数相加，若和仍大于9，则
继续相加直到得出一位数．重复这个过程．例如，以832开始，运算以上规则依次可得到：
832，766，669，999，…(1)你选择的三位数是什么？你得到了什么结论？(2)换个数试试，你有什么进一步的猜想？
19、观察下列等式：第1个等式：a1=；
第2个等式：a2=；
第3个等式：a3=；
第4个等式：a4=；
……
请回答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5=
=
；
(2)用含n的代数式表示第n个等式：an=
=
；
(3)a1+a2+a3+a4+…+a100的值.
【中考链接】
20、(2021?江西)
下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而
人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字
是
(???)?
A.?1
?B.?2
?C.?3
?D.??3
21、(2021?贵州铜仁)
观察下列等式：
2+22=23?2；
2+22+23=24?2；
2+22+23+24=25?2；
2+22+23+24+25=26?2；
…
已知按规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，
则220+221+222+223+224+…+238+239+240=
.
参考答案
1、B
2、D
3、B
4、C
5、
6、(1)
④1+3+5+7=42；
⑤1+3+5+7+9=52；(2)1002
7、4×6?52
=
?1
10、B
11、C
12、C
13、D
14、4(n+1)
15、
16、6
20、C
21、m(2m?1)
8、已知一列有规律的数：1，?2，3，?4，5，?6，7，?8，….
(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？
(2)它的第201个数是多少？
(3)2020是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？如果不是，请说明理由.
解：(1)它的每一项可表示为：(?1)
n+1
n
；
(2)把n=201代入上式中
(?1)
n+1
n
=
(?1)
201+1
×201
=201；
(3)把n=2020代入上式中
(?1)
n+1
n
=
(?1)
2020+1
×2020
=?2020，
所以不是，?2020才是.
9、大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+n=？经过研究，这个问题的结论是1+2+3+…+n＝n(n+1)，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n(n+1)=？观察下面三个特殊的等式：1×2＝(1×2×3?0×1×2)，2×3＝(2×3×4?1×2×3)，3×4＝(3×4×5?2×3×4)，将这三个等式的两边相加，可以得到
1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20．根据上述规律，请你计算：
(1)1×2+2×3+…+99×100=
333300
(直接写出结果)
；
(2)1×2+2×3+…+n(n+1)(给出计算过程)；
(3)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=______．
解：(2)根据阅读材料中的例子得：1×2+2×3+…+n(n+1)
=(1×2×3?0×1×2)+(2×3×4?1×2×3)+…+
[n(n+1)(n+2)?(n?1)n(n+1)]
=n(n+1)(n+2)；
(3)依此类推：1×2×3=(1×2×3×4?0×1×2×3)，2×3×4=(2×3×4×5?1×2×3×4)，
∴1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)
=(1×2×3×4?0×1×2×3)+(2×3×4×5?1×2×3×4)+…+[(n(n+1)(n+2)(n+3)?(n?1)n(n+1)(n+2)]
=n(n+1)(n+2)(n+3)．
17、从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：当n个由2开始的连续偶数相加时，它们的和S与n之间有什么样的关系？用n的式子表示出来，并由此计算．
加数的个数(n)
和(S)
1
2=1×2
2
2+4=2×3
3
2+4+6=12=3×4
4
2+4+6+8=20=4×5
5
2+4+6+8+10=30=5×6
…
…
①若n=8时，则S=
；
②求2+4+6+…+2022的值；
③根据表中的规律猜想，用n的式子表示S的公式为S=2+4+6+8+…+2n？
解：①n=8时，S=8×9=72=72；
②2+4+6…+2022=1011×1012=1023132；
③S=2+4+6+8+…+2n==n(n+1).
18、任意一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数字的百位．百位数字乘十位数
的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上
面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数与十位数相加，若和仍大于9，则
继续相加直到得出一位数．重复这个过程．例如，以832开始，运算以上规则依次可得到：
832，766，669，999，…(1)你选择的三位数是什么？你得到了什么结论？(2)换个数试试，你有什么进一步的猜想？
解：(1)我选择的三位数是235，运算以上规则依次可得到：235，166，669，999，999…
(2)再换一个数为672，运算以上规则依次可得到：672，365，696，999，999，999…
根据运算的结果可以看出规律，999后边还是999；第(2)步举得例子也是999，
?
看来根据题中规律，总是会得到一个相同的三位数999．
答：我选择的三位数是235或672，运算以上规则依次可得到999；看来根据题中
规律，总是会得到一个相同的三位数999．
19、观察下列等式：第1个等式：a1=；
第2个等式：a2=；
第3个等式：a3=；
第4个等式：a4=；
……
请回答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5=
=
；
(2)用含n的代数式表示第n个等式：an=
=
；
(3)a1+a2+a3+a4+…+a100的值.
解：(3)a1+a2+a3+a4+…+a100=+++…+
=
=.
第21题图
第6题图
第17题图
第16题图
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