2021-2022学年湘教版九年级上数学2.3一元二次方程根的判别式 同步练习（word版含解析）

《2.3一元二次方程根的判别式》同步练习
一、选择题（
本大题共10小题，共40分）
1．（4分）一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有实数根
D．没有实数根
2．（4分）下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+6x+9＝0
B．x2﹣5＝0
C．x2+x+3＝0
D．x2﹣2x﹣1＝0
3．（4分）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣5x+c＝0一定有实数根的是（　　）
A．a＝0
B．c＝0
C．a＞0
D．c＞0
4．（4分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣1＝0的两个实数根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2
B．x1+x2＞0
C．x1?x2＞0
D．＞0
5．（4分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（　　）
A．m＞1
B．m＝1
C．m＜1
D．m≤1
6．（4分）如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有实数根，那么实数m的取值范围为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）一元二次方程x2+mx+1＝0有实数根，不等式组有解，则m应满足的条件是（　　）
A．m≥2
B．m≤﹣2
C．m≤﹣2或2≤m≤3
D．2≤m＜3
8．（4分）关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣1
B．k＜﹣1
C．k≠﹣1
D．k＜0且k≠﹣1
9．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0
B．x2+4x﹣4＝0
C．（x﹣2）2﹣3＝0
D．3x2+2＝0
10．（4分）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
二、填空题（
本大题共5小题，共20分）
11．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　
　．
12．（4分）不解方程，判别3x2+4x＝2方程的根的情况：　
　．
13．（4分）已知a、b、c是等腰△ABC的三条边，其中b＝2，如果a、c是关于y的一元二次方程y2﹣6y+n＝0的两个根，则n的值是　
　．
14．（4分）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0没有实数根，则k的值可以是　
　．（填一个值即可）
15．（4分）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0有实数根，则k的最小值为　
　．
三、解答题（
本大题共5小题，共40分）
16．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有两个实数根，且都是整数，求正整数m值．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣4＝0
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
18．（8分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0．
（1）若方程有一根是1，求m的值；
（2）若该方程有实数根，求m的取值范围．
19．（8分）阅读下列例题的解答过程：
解方程：3（x﹣2）2+7（x﹣2）+4＝0．
解：设x﹣2＝y，则原方程化为：3y2+7y+4＝0．
∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b2﹣4ac＝72﹣4×3×4＝1．
∴y＝＝．∴y1＝﹣1，y2＝﹣．
当y＝﹣1时，x﹣2＝﹣1，∴x＝1；
当y＝﹣时，x﹣2＝﹣，∴x＝．
∴原方程的解为：x1＝1，x2＝．
请仿照上面的例题解一元二次方程：2（x﹣3）2+3（x﹣3）﹣5＝0．
20．（8分）我们规定：方程ax2+bx+c＝0的变形方程为a（x+1）2+b（x+1）+c＝0．例如，方程2x2﹣3x+4＝0的变形方程为2（x+1）2﹣3（x+1）+4＝0，化简得：2x2+x+3＝0．
（1）直接写出方程x2+2x﹣5＝0的变形方程　
　，化简得：　
　．
（2）若方程x2+2x+m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（3）若方程ax2+bx+c＝0的变形方程为x2+3x+1＝0，求a+3b+c的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（
本大题共10小题，共40分）
1．（4分）一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有实数根
D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝（a﹣2）2≥0，进而可得出方程x2+ax+a﹣1＝0有实数根，此题得解．
【解答】解：∵△＝a2﹣4×1×（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，
∴一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
2．（4分）下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+6x+9＝0
B．x2﹣5＝0
C．x2+x+3＝0
D．x2﹣2x﹣1＝0
【分析】利用根的判别式逐个判断得结论．
【解答】解：x2+6x+9＝0的△＝0，方程有两个相等的实数根；
x2﹣5＝0的△＝20＞0，方程有两个不相等的实数根；
x2+x+3＝0的△＝﹣11＜0，方程没有实数根；
x2﹣2x﹣1＝0的△＝8＞0，方程两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式．方程有没有实数根取决于△，△＝b2﹣4ac．
3．（4分）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣5x+c＝0一定有实数根的是（　　）
A．a＝0
B．c＝0
C．a＞0
D．c＞0
【分析】根据根的判别式，逐个判断得结论．
【解答】解：当a＝0时，方程ax2﹣5x+c＝0不是一元二次方程，故选项A错误；
当a＞0，ac＞时，方程ax2﹣5x+c＝0没有实数根，故选项C错误；
当c＞0，ac＞时，方程ax2﹣5x+c＝0没有实数根，故选项D错误；
当c＝0时，△＝b2﹣4ac
＝（﹣5）2＝25＞0
一元二次方程ax2﹣5x+c＝0一定有实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式△＝b2﹣4ac．
4．（4分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣1＝0的两个实数根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2
B．x1+x2＞0
C．x1?x2＞0
D．＞0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝a2+4＞0，进而可得出x1≠x2，此题得解．
【解答】解：∵△＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4＞0，
∴方程x2﹣ax﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴x1≠x2．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5．（4分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（　　）
A．m＞1
B．m＝1
C．m＜1
D．m≤1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＜0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＜0，
∴m＞1．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
6．（4分）如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有实数根，那么实数m的取值范围为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由于方程有实数根，则根的判别式△≥0，由此建立关于m的不等式，解不等式即可求得m的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x+m＝0有实数根，
∴△＝9﹣4×2m≥0，
解得m≤．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7．（4分）一元二次方程x2+mx+1＝0有实数根，不等式组有解，则m应满足的条件是（　　）
A．m≥2
B．m≤﹣2
C．m≤﹣2或2≤m≤3
D．2≤m＜3
【分析】根据根的判别式△≥0及不等式组有解，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，此题得解．
【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+1＝0有实数根，不等式组有解，
∴，
解得：m≤﹣2或2≤m≤3．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，由根的判别式△≥0及不等式组有解，列出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
8．（4分）关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣1
B．k＜﹣1
C．k≠﹣1
D．k＜0且k≠﹣1
【分析】根据根的判别式和一元二方程的定义得出△＝22﹣4（k+1）×0＞0且k+1≠0，求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝22﹣4（k+1）×0＞0且k+1≠0，
解得：k≠﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义、解不等式等知识点，能够得出关于k的不等式是解此题的关键．
9．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0
B．x2+4x﹣4＝0
C．（x﹣2）2﹣3＝0
D．3x2+2＝0
【分析】根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根，从而可以解答本题．
【解答】解：A．x2﹣2x＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根；
B．x2+4x﹣4＝0中△＝42﹣4×1×（﹣4）＝32＞0，有两个不相等实数根；
C．（x﹣2）2﹣3＝0，即x2﹣4x+1＝0中△＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0，有两个不相等实数根；
D．3x2+2＝0中△＝02﹣4×3×2＝﹣24＜0，没有实数根；
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是利用根的判别式可以判断方程的根的情况．
10．（4分）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【分析】分别讨论m＝0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1＝0根的情况，进而填空．
【解答】解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，△＝1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0，
当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．
二、填空题（
本大题共5小题，共20分）
11．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　m≤且m≠0　．
【分析】由于关于x的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于m的不等式，求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，
则△＝1﹣4m≥0，且m≠0．
解得m≤且m≠0．
故答案为：m≤且m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义．题目难度不大，解题过程中容易忽略m≠0条件而出错．
12．（4分）不解方程，判别3x2+4x＝2方程的根的情况：　有两个不相等的实数根　．
【分析】计算判别式的符号进行判断即可．
【解答】解：
∵3x2+4x＝2可变形为3x2+4x﹣2＝0，
∴△＝42﹣4×3×（﹣2）＝16+24＝40＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
13．（4分）已知a、b、c是等腰△ABC的三条边，其中b＝2，如果a、c是关于y的一元二次方程y2﹣6y+n＝0的两个根，则n的值是　9　．
【分析】分b＝2为腰长及底长两种情况考虑：当b＝2为腰长时，代入y＝2求出n值，进而可得出原方程为y2﹣6y+8＝0，解之可得出底边长度，由2、2、4不能围成三角形，可得出n＝8不符合题意；当b＝2为底长时，由根的判别式△＝0可求出n值，进而可得出原方程为y2﹣6y+9＝0，解之可得出腰长，由2、3、3能围成三角形，可得出n＝9符合题意．综上即可得出结论．
【解答】解：当b＝2为腰长时，将y＝2代入原方程，得：4﹣12+n＝0，
解得：n＝8，
此时原方程为y2﹣6y+8＝0，
解得：y1＝2，y2＝4．
∵2、2、4不能围成三角形，
∴n＝8不符合题意；
当b＝2为底长时，方程y2﹣6y+n＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4n＝0，
∴n＝9，
此时原方程为y2﹣6y+9＝0，
解得：y1＝y2＝3．
∵2、3、3能围成三角形，
∴n＝9符合题意．
故答案为：9．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，分b＝2为腰长及底长两种情况考虑是解题的关键．
14．（4分）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0没有实数根，则k的值可以是　3　．（填一个值即可）
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝9﹣4k＜0，解之即可得出k的取值范围，取其内的任意一数即可．
【解答】解：∵方程x2+3x+k＝0没有实数根，
∴△＝32﹣4k＝9﹣4k＜0，
解得：k＞．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
15．（4分）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0有实数根，则k的最小值为　﹣4　．
【分析】根据判别式的意义得到△＝42﹣4（﹣k）≥0，然后解不等式确定k的范围，再找出k的最小值即可．
【解答】解：根据题意得△＝42﹣4（﹣k）≥0，
解得k≥﹣4，
所以k的最小值为﹣4．
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
三、解答题（
本大题共5小题，共40分）
16．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有两个实数根，且都是整数，求正整数m值．
【分析】（1）分类讨论：当m＝0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△＝（m﹣2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根；
（2）利用因式分解法求得x1＝1，x2＝，根据方程的两个根均为整数且m为正整数，据此可得．
【解答】解：（1）证明：当m＝0时，方程变形为﹣2x+2＝0，解得x＝1；
当m≠0时，△＝（m+2）2﹣4m?2＝（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，
所以不论m为何值，方程总有实数根；
（2）由方程mx2﹣（m+2）x+2＝0，得：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或mx﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝，
因为方程有两个实数根，且都是整数，
所以正整数m的值为1或2．
【点评】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题的关键．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣4＝0
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝﹣4m+17＞0，解之即可得出结论；
（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b＝﹣2m+1＞0，即可确定m的值．
【解答】解：（1）∵方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣4＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣4）＝﹣4m+17＞0，
解得：m＜．
∴当m＜时，方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根分别为a、b，
根据题意得：a+b＝﹣2m+1，ab＝m2﹣4．
∵2a、2b为边长为的菱形的两条对角线的长，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣2m+1）2﹣2（m2﹣4）＝2m2﹣4m+9＝（）2＝39，
解得：m＝﹣3或m＝5．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝﹣2m+1＞0，
∴m＝﹣3．
若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△＝﹣4m+17＞0；（2）根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于m的一元二次方程．
18．（8分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0．
（1）若方程有一根是1，求m的值；
（2）若该方程有实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）将x＝1代入方程可得关于m的方程，解之可得答案；
（2）由方程有实数根知△≥0及一元二次方程的定义可得m的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，将x＝1代入（m﹣2）x2+2x﹣1＝0，得：m﹣2+2﹣1＝0，
解得：m＝1；
（2）∵方程有实数根，
∴△＝22﹣4×（m﹣2）×（﹣1）≥0，
解得：m≥1，
又∵此方程是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，即m≠2，
故m的取值范围是m≥1，且m≠2．
【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握方程的解的定义和根的判别式的值与方程的根的情况间的关系．
19．（8分）阅读下列例题的解答过程：
解方程：3（x﹣2）2+7（x﹣2）+4＝0．
解：设x﹣2＝y，则原方程化为：3y2+7y+4＝0．
∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b2﹣4ac＝72﹣4×3×4＝1．
∴y＝＝．∴y1＝﹣1，y2＝﹣．
当y＝﹣1时，x﹣2＝﹣1，∴x＝1；
当y＝﹣时，x﹣2＝﹣，∴x＝．
∴原方程的解为：x1＝1，x2＝．
请仿照上面的例题解一元二次方程：2（x﹣3）2+3（x﹣3）﹣5＝0．
【分析】设x﹣3＝y，则原方程化为2y2+3y﹣5＝0，求出y，再求出x即可．
【解答】解：设y＝x﹣3，
原方程可化为2y2+3y﹣5＝0，
则（y﹣1）（2y+5）＝0，
∴y﹣1＝0或2y+5＝0，
解得：y＝1或y＝﹣，
当y＝1时，x﹣3＝1，解得x＝4；
当y＝﹣时，x﹣3＝﹣，解得x＝；
∴原方程的解为x1＝4，x2＝．
【点评】本题主要考查换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
20．（8分）我们规定：方程ax2+bx+c＝0的变形方程为a（x+1）2+b（x+1）+c＝0．例如，方程2x2﹣3x+4＝0的变形方程为2（x+1）2﹣3（x+1）+4＝0，化简得：2x2+x+3＝0．
（1）直接写出方程x2+2x﹣5＝0的变形方程　（x+1）2+2（x+1）﹣5＝0　，化简得：　x2+4x﹣2＝0　．
（2）若方程x2+2x+m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（3）若方程ax2+bx+c＝0的变形方程为x2+3x+1＝0，求a+3b+c的值．
【分析】（1）根据变形方程的定义，即可找出方程x2+2x﹣5＝0的变形方程；
（2）根据变形方程的定义，可找出方程x2+2x+m＝0的变形方程，由根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（3）根据变形方程的定义，可找出方程ax2+bx+c＝0的变形方程，进而可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出a，b，c的值，将其代入a+3b+c中即可求出结论．
【解答】解：（1）方程x2+2x﹣5＝0的变形方程为（x+1）2+2（x+1）﹣5＝0，化简得：x2+4x﹣2＝0．
故答案为：（x+1）2+2（x+1）﹣5＝0；x2+4x﹣2＝0．
（2）方程x2+2x+m＝0的变形方程为（x+1）2+2（x+1）+m＝0，化简得：x2+4x+3+m＝0，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴△＝42﹣4×1×（3+m）＝4﹣4m＞0，
∴m＜1．
（3）∵方程ax2+bx+c＝0的变形方程为x2+3x+1＝0，
∴，解得：，
∴a+3b+c＝3．
【点评】本题考查了根的判别式、换元法解一元二次方程以及解多元一次方程组，解题的关键是：（1）根据变形方程的定义，找出给定方程的变形方程；（2）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（3）根据变形方程的定义，找出关于a，b，c的三元一次方程组．
第16页（共16页）