第五章 函数应用 能力提升 单元测试卷——2021-2022学年高一数学上学期北师大版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

第五章
函数应用
能力提升__2021-2022学年高一数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷
【满分：100分】
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性脂肪胺，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏.已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t（分）满足的函数关系式为.若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（参考数据：）(
)
A.33分钟
B.43分钟
C.50分钟
D.56分钟
2.函数的图象向左平移个单位长度得到函数，在上有且只有5个零点，则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为R；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为(
)
A.6
B.7
C.8
D.9
4.已知函数是定义域为R的偶函数，且是奇函数，当时，有，若函数的零点个数为5，则实数k取值范围是(
)
A.
B.
C.或
D.或
5.函数在区间上的零点个数为(???)
A.2
B.3
C.4
D.
5
6.已知函数在上有两个零点，则a的取值范是(
)
A．
B．
C．
D．
7.定义在R上的函数满足：，且当时，，则函数的零点个数是（
）
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
8.已知函数，，若恰有3个零点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9.已知函数，若存在2个零点，则a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
10.已知函数，.若存在2个零点，则a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知函数若函数有且只有4个不同的零点，则实数m的取值范围是___________.
12.若函数存在零点,则实数的取值范围是______________.
13.已知函数有两个不同的零点，则实数k的取值范围是_________.
14.已知函数,若函数有三个零点，则实数的取值范围是________．
15.已知偶函数满足,且当时,若在区间
内,函数有且仅有3个零点,则实数的取值范围
是_______________.
三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.
（10分）如图,等腰直角中,
分别在直角边上,过点作边的垂线,垂足分别为,设,矩形的面积与周长之比为
1.求函数的解析式及其定义域
2.求函数的最大值
17.
（15分）用长为的铁丝弯成下部为矩形、上部为半圆形的框架(如图所示),若矩形底边长为,求此框架围成的面积与的函数关系式,并写出其定义域.
答案以及解析
1.答案：A
解析：本题考查指数型函数模型的应用.由题意得两式相除得所以，所以若使这种鱼失去的新鲜度，即所以两边取常用对数，得所以故选A.
2.答案：D
解析：依题意得，，如图：
因为，，所以，
解得，所以D正确.
3.答案：A
解析：当时，，故，同理可得当时，，
此时，
故在无零点，
同理在也无零点.
因为，故将，上的图象向右平移π个单位后，图象伸长为原来的两倍，
在平面直角坐标系，、在上的图象如图所示：
因为，，，
故、在上的图象共有5个不同交点，
下证：当，有且只有一个零点.
此时，而，
故在上为减函数，
故当，有，当且仅当时等号成立.
故、在上的图象共有6个不同交点，
即在有6个不同的零点.故选A.
4.答案：C
解析：偶函数，，是奇函数，得，即，，得，函数的零点个数即方程根的个数即与的图像交点的个数，因为的图像为半圆，因为如图所示：
故由图像可知斜率k应该在与之间或为，点到直线的距离为1，故（舍）
点到直线的距离为1，故（舍）
点到直线的距离为1，故（舍）所以或，故选：C.
5.答案：D
解析：令,∴或
,即
或
,
,∵
,∴,
,
,
,
,故选D
6.答案：C
解析：由题意得，，
所以原题转化为求在上有一个零点，
，
当时，，则在上单调递减，且，不符合题意，
当时，令，解得，
当，即时，，此时在上单调递减，且，不符合题意，
当，即时，，此时在上单调递增，且，不符合题意，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上有一个零点，
所以，解得，所以．
综上：a的取值范是.故选C
7.答案：A
解析：定义在R上的函数满足：，且当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
在坐标系中画出两个函数与的图象如图：
由图象可知两图象有5个交点，故函数有5个零点，
故选A．
8.答案：D
解析：由恰有3个零点，即方程恰有3个实数根.
即函数的
图像与的图像有三个交点，如图.
与函数的
图像恒有一个交点，即函数与有两个交点.
设与函数相切于点，由
所以，得，所以切点为，此时，切线方程为
将向下平移可得与恒有两个交点，
所以
故选：D
9.答案：C
解析：由，得，
作出函数和的图象如图：
当直线的截距，即时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数存在2个零点，
故实数a的取值范围是，
故选C．
10.答案：C
解析：详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
11.答案：
解析：本题考查函数的零点.由题意得函数有且只有4个不同的零点等价于偶函数与偶函数的图象有且只有4个不同的交点，即有两个不等正根，即有两个不等正根.令函数，则，当时，；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.又当时，，当时，.
12.答案：
解析：设,则函数存在零点等价于的图象与的图象有交点,作出的大致图象与的图象,如图所示,
函数的图象恒过点,当其和函数的图象相切时,,所以存在零点时,,故的取值范围是.
13.答案：
解析：令，则由函数的定义域知，且为增函
数，故函数有两个不同的零点转化为关于t的方程
在区间上有两个不等实根即曲线
个单位圆）与经过定点的直线
有两个不同交点.如图，
设过点P的直线与曲线
相切于点A，连接.设切线的方程为，即
.由，得，解得（正值
已舍去）.又易得直线的斜率是，故，
解得，即实数k的取值范围是.
14.答案：
解析：∵有三个零点，∴与
的图象有三个交点，画出图象如图．
当时不合题意，当时，如图，当与相切时，方程联立，消，由得；当与相切时，设切点，则解得；当过点时，
∴由图得当或时，两图象有三个交点，即的取值范围是.
15.答案：
解析：由题意,函数满足,即,即函数的周期为2,
当时,可得函数为单调递增函数,且,
当时,
,
由图象可知当时,
,当时,
,即,
当直线经过点时,此时在区间内两个函数有2个交点,
此时,解得.直线经过点时,此时在区间内两个函数有4个交点,此时,解得直线经过点时,此时在区间内两个函数有3个交点,此时·
所以要使得函数有且仅有3个零点,则直线的斜率满足即实数的取值范围是.
16.答案：1.由题,
,则,
,又,
∴的定义域为
2.
,
∵,
,
于是,即当时,
的最大值为
17.答案：因为
所以的长为,
所以
由解得,
故函数的定义域为