2.2基本不等式课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共29张PPT)

(共29张PPT)
课前静思
设AE=a,BE=b你能从这个图案中找出正方形ABCD的面积，和4个直角三角形的面积之和
B
A
C
D
E
F
G
H
则正方形ABCD的面积是：
a2+b2
下图是2002年在北京召开第24届国际数学家大会会标
是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。
这4个直角三角形的面积之和是：
2ab
B
A
C
D
E
F
G
H
这4个直角三角形的面积之和是_________，
2ab
>
当且仅当a=b时，等号成立，
提示:
2.2
基本不等式
第1课时
基本不等式及简单的应用
1.通过对24届国际数学家大会会标的分析，引导学生推导基本不等式;
(重点）
2.构思几何图形解读这个基本不等式的几何意义;
3.知道定理中的不等号“≥”取等号的条件。
4.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大
最小值问题。
（难点）
目标完成定位
一般地，对于任意实数a，b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，
我们用
,
分别代替
可得
1.基本不等式的定义：
问题？这个不等式有没有几何意义？
D
A
B
C
E
如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
2:
探究基本不等式的几何意义
CD小于或等于圆的半径.
用不等式表示为
上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.
几何意义：半径不小于半弦.
可以叙述为:
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
基本不等式也叫做均值不等式
几何平均数
算术平均数
(1)重要不等式：对于任意实数a、b，
都有a2＋b2
2ab，
当且仅当
时，等号成立．
(2)基本不等式
①形式：
②成立的前提条件：
；
③等号成立的条件：当且仅当
时取等号．
≥
a＝b
a>0，b>0
a＝b
【对比两个不等式】
应用一：
利用基本不等式求最值
互动探究：
结论
:
两个正数和为定值，则积有最大值.
1.当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值
【提升总结】
结论:
两个正数积为定值，则和有最小值.
2.当xy的值是常数
时，
x+y有最小值
当且仅当x=y时，
自主练习
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
基本不等式
“a=b”时取“=”
“a=b”时取“=”
利用基本不等式求最大最小值的策略:
1、条件：一正、二定、三相等。所谓
“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指等号能取到。
2、关键：获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用“拆相、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件。
例2
(1)用篱笆围一个面积为100
m2的矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.
最短的篱笆是多少？
(2)一段长为36
m的篱笆围成一个矩形菜园,
问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面
积最大.最大面积是多少？
例3
某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为
4
800
m3,深为3
m.如果池底每平方米的造价为150元,
池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造
价最低?最低总造价是多少?
【解题关键】水池呈长方体形，高为3
m,底面的长与宽没有确定.
如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察
底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.
应用二：
实际应用问题中的基本不等式
由容积为4
800
m3
，可得3xy=4
800,因此xy=
1
600.由基本不等式与不等式的性质，可得
【解析】设底面的长为x
m，宽为y
m,水池总造价为z元，根据题意，有
所以，将水池的底面设计成边长为40
m的正方形时总造价最低，最低总造价是
297
600元.
思考总结：应用题书写表达格式：
1.设未知数；
2.列出相关函数式；
3.解数学式；
4.答实际问题。
【变式练习】
3.简单应用：
应用一：
利用基本不等式求最值
应用二：
利用基本不等式证明简单的不等式
应用二：
利用基本不等式证明简单的不等式
例1
还有其他证法吗？谁有想法？
已知
a>0,b>0,a+b=1,
求证：
【解题关键】由于不等式左边含字母a,b，右边无字母，直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实现“1”的代换？
例2
当且仅当
时取等号.
还有其他证法吗？谁有想法？
由公式
可以引申出的常用结论：
【规律总结】