2021年新教材高中数学3.1.1第1课时函数的概念一 (word含解析）

函数的概念(一)
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝，则f
＝(　　)
A．　　
B．
C．a
D．3a
2．下列表示y关于x的函数的是(　　)
A．y＝x2
B．y2＝x
C．|y|＝x
D．|y|＝|x|
3．(多选)下列各图中，可能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　)
A　　　
　B　　　　C　　　　
D
4．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．{x|x≥2}
B．{x|x>2}
C．{x|x>2且x≠3}
D．{x|x≥2且x≠3}
5．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　)
A．1
B．0
C．－1
D．2
二、填空题
6．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________.
7．下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是________．(填序号)
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
②A＝Z，B＝N
，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
8．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(3)＝__________，f(f(4))＝__________.(用数字作答)
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝.
10．已知函数f(x)＝x＋，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
提升练
1．(多选)设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A可能是(　　)
A．{1}
B．{－1}
C．{－1,1}
D．{－1,0}
2．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为(　　)
A．f(x)＝x＋1
B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝
D．y＝|x|
3．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
　
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
4．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，这样的函数有________个．
拓展
已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f
，f(3)＋f
的值；
(2)求证：f(x)＋f
是定值．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝，则f
＝(　　)
A．　　
B．
C．a
D．3a
D　[f
＝3a，故选D.]
2．下列表示y关于x的函数的是(　　)
A．y＝x2
B．y2＝x
C．|y|＝x
D．|y|＝|x|
A　[结合函数的定义可知A正确，选A.]
3．(多选)下列各图中，可能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　)
A　　　
　B　　　　C　　　　
D
ACD　[结合函数的定义可知，ACD均可能，只有B是1个x对应2个y，不满足函数的定义，故选ACD.]
4．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．{x|x≥2}
B．{x|x>2}
C．{x|x>2且x≠3}
D．{x|x≥2且x≠3}
C　[由题意可知∴∴x>2且x≠3，故选C.]
5．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　)
A．1
B．0
C．－1
D．2
A　[∵f(－1)＝a－1，∴f(f(－1))＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，
∴a(a－1)2＝0，∴a＝0或a＝1.
又a>0，∴a＝1.]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________.
16　[因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1.
又因为f(a)＝3，所以－1＝3，a＝16.]
7．下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是________．(填序号)
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
②A＝Z，B＝N
，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
④　[①中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应；②中也同样是集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应；对于③，集合A中负整数没有意义．]
8．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(3)＝__________，f(f(4))＝__________.(用数字作答)
1　0　[由题可知f(3)＝1，f(4)＝2，则f(f(4))＝f(2)＝0.]
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝.
[解]　(1)要使函数有意义，需x2－2x－3≥0，即(x－3)·(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函数的定义域为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)要使函数有意义，则|x|－x≠0，
即|x|≠x，得x<0，所以函数的定义域为(－∞，0)．
(3)要使函数有意义，则解得－≤x≤，且x≠±3，即定义域为{x|－≤x≤，且x≠±3}．
10．已知函数f(x)＝x＋，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
[解]　(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
∴f(a＋1)＝a＋1＋.
提升练
1．(多选)设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A可能是(　　)
A．{1}
B．{－1}
C．{－1,1}
D．{－1,0}
ABC　[结合选项可知，当x＝0时，在集合B中没有值与之对应．]
2．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为(　　)
A．f(x)＝x＋1
B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝
D．y＝|x|
A　[对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．
对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．
对于C选项，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立．
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．]
3．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
　
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
1　2　[∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f(g(1))＝1.
当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，
f(g(x))当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，
f(g(x))>g(f(x))，符合题意；
当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，
f(g(x))4．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，这样的函数有________个．
9　[因为一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，
所以函数的定义域可以为{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{－1,1，－2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2,2}，共9种可能，故这样的函数共9个．]
拓展
已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f
，f(3)＋f
的值；
(2)求证：f(x)＋f
是定值．
[解]　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＋f
＝＋＝1.
f(3)＋f
＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f
＝＋＝＋＝＝1.