2021年新教材高中数学3.1.1第2课时函数的概念二 (word含解析）

函数的概念(二)
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．已知区间[2a－1,11]，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，6)　　　
B．(6，＋∞)
C．(1,6)
D．(－1,6)
2．下表表示y是x的函数，则函数的值域是(　　)
x
x<2
2≤x≤3
x>3
y
－1
0
1
A．{y|－1≤y≤1}
B．R
C．{y|2≤y≤3}
D．{－1,0,1}
3．函数y＝的值域为(　　)
A．[－1，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0]
D．(－∞，－1]
4．下列各组函数中是同一个函数的是(　　)
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
5．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是同一个函数，则函数y＝f(x)的定义域是(　　)
A．[－3,1]
B．(－3,1)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，1]
二、填空题
6．试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数________．
7．函数y＝的定义域用区间表示为________．
8．函数y＝的值域为__________.
三、解答题
9．求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝2x－.
10．已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域．
(1)x∈R；　
(2)x∈[0，＋∞)；
(3)x∈[－2,2];
(4)x∈[1,2]．
提升练
1．(多选)下列四个函数，其中定义域与值域相同的是(　　)
A．y＝x＋1
B．y＝x－1
C．y＝x2－1
D．y＝
2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有(　　)
A．10个
B．9个
C．8个
D．4个
3．已知集合A＝{x|y＝}，若函数f(x)＝－x，x∈A，则函数f(x)的值域是________．
4．在实数的原有运算中，我们定义新运算“
”如下：当a≥b时，a
b＝a；当ab＝b2.设函数f(x)＝(－2]　　　　.
拓展
已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．已知区间[2a－1,11]，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，6)　　　
B．(6，＋∞)
C．(1,6)
D．(－1,6)
A　[由题意可知，2a－1<11，解得a<6.]
2．下表表示y是x的函数，则函数的值域是(　　)
x
x<2
2≤x≤3
x>3
y
－1
0
1
A．{y|－1≤y≤1}
B．R
C．{y|2≤y≤3}
D．{－1,0,1}
D　[函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．]
3．函数y＝的值域为(　　)
A．[－1，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0]
D．(－∞，－1]
B　[由题意得，x＋1≥0，则有y≥0，所以B正确．]
4．下列各组函数中是同一个函数的是(　　)
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
B　[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.]
5．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是同一个函数，则函数y＝f(x)的定义域是(　　)
A．[－3,1]
B．(－3,1)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，1]
A　[由于y＝f(x)与y＝＋是同一个函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}，故写成区间形式为[－3,1]．故选A.]
二、填空题
6．试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数________．
y＝(x＋1)2(答案不唯一)　[函数y＝x2与y＝(x＋1)2的定义域和值域都相同．]
7．函数y＝的定义域用区间表示为________．
(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]　[要使函数有意义，需满足
即
∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．]
8．函数y＝的值域为__________.
　[∵x2＋x＋1＝2＋≥，
∴0<≤.∴值域为.]
三、解答题
9．求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝2x－.
[解]　(1)y＝＝＝2＋，
显然≠0，所以y≠2，
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(2)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，
所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋，
由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为.
10．已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域．
(1)x∈R；　
(2)x∈[0，＋∞)；
(3)x∈[－2,2];
(4)x∈[1,2]．
[解]　(1)∵y＝(x＋1)2－4，∴y≥－4，
∴值域为[－4，＋∞)．
(2)∵y＝x2＋2x－3的图象如图所示，当x＝0时，y＝－3，
∴当x∈[0，＋∞)时，值域为[－3，＋∞)．
(3)根据图象可得当x＝－1时，y＝－4；
当x＝2时，y＝5.
∴当x∈[－2,2]时，值域为[－4,5]．
(4)根据图象可得当x＝1时，y＝0；
当x＝2时，y＝5.
∴当x∈[1,2]时，值域为[0,5]．
提升练
1．(多选)下列四个函数，其中定义域与值域相同的是(　　)
A．y＝x＋1
B．y＝x－1
C．y＝x2－1
D．y＝
ABD　[对于A，y＝x＋1，定义域为R，值域为R；对于B，y＝x－1，定义域为R，值域为R；对于C，y＝x2－1，定义域为R，值域为[－1，＋∞)；对于D，y＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故ABD的定义域与值域相同．]
2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有(　　)
A．10个
B．9个
C．8个
D．4个
B　[由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]
3．已知集合A＝{x|y＝}，若函数f(x)＝－x，x∈A，则函数f(x)的值域是________．
(－∞，2]　[∵A＝{x|y＝}＝{x|x≥－2}，
∴－x≤2，即函数f(x)的值域是(－∞，2]．]
4．在实数的原有运算中，我们定义新运算“
”如下：当a≥b时，a
b＝a；当ab＝b2.设函数f(x)＝(－2]　　　　.
[－2,2]　[由题意知f(x)＝x2－2，
因为x∈(－2,2]，所以x2∈[0,4]，
所以f(x)∈[－2,2]．]
拓展
已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
[解]　存在．理由如下：
f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的对称轴为x＝1，顶点(1,1)且开口向上．
∵m>1，∴当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大，
∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，
则有
∴m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，
∴m＝3或m＝1(舍)，
∴存在实数m＝3满足条件.