2021年新教材高中数学3.1.2第1课时函数的表示法 (word含解析）

函数的表示法
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　)
A．y＝2x　　
B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})
D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为(　　)
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A．3　　
B．2　　　　
C．1　　
D．0
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
4．如果f
＝，则当x≠0,1时，f(x)等于(　　)
A.
B．
C.
D．－1
5．若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝(　　)
A．3x＋2
B．3x－2
C．2x＋3
D．2x－3
二、填空题
6．已知f(2x＋1)＝x2－2x，则f(3)＝________.
7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
4
5
6
f(x)
1
3
1
　　
x
1
2
3
g(x)
4
5
4
则g(f(5))＝________；f(g(2))＝________.
8．若一个长方体的高为80
cm，长比宽多10
cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．
三、解答题
9．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)求函数f(x)的值域．
10．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；
(3)已知f
＝x2＋＋1，求f(x)的解析式．
提升练
1．(多选)已知f(x)＝，则f(x)满足的关系有(　　)
A．f(－x)＝f(x)
B．f
＝－f(x)
C．f
＝f(x)
D．f
＝－f(x)
2．(多选)已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是(　　)
A．f(3)＝9
B．f(－3)＝4
C．f(x)＝x2
D．f(x)＝(x＋1)2
3．已知f(x＋1)＝2x2＋1，则f(x－1)＝________.
4．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的表达式为________，自变量x满足的条件是________．
拓展
已知函数f(x)对任意实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．
(1)求f(0)与f(1)的值；
(2)求证：f
＝－f(x)；
(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均为常数)，求f(36)的值．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　)
A．y＝2x　　
B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})
D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})
D　[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.]
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为(　　)
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A．3　　
B．2　　　　
C．1　　
D．0
B　[由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.]
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
C　[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]
4．如果f
＝，则当x≠0,1时，f(x)等于(　　)
A.
B．
C.
D．－1
B　[令＝t，则x＝，代入f
＝，则有f(t)＝＝，故选B.]
5．若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝(　　)
A．3x＋2
B．3x－2
C．2x＋3
D．2x－3
B　[设f(x)＝ax＋b，由题设有
解得所以选B.]
二、填空题
6．已知f(2x＋1)＝x2－2x，则f(3)＝________.
－1　[由2x＋1＝3得x＝1，∴f(3)＝1－2＝－1.]
7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
4
5
6
f(x)
1
3
1
　　
x
1
2
3
g(x)
4
5
4
则g(f(5))＝________；f(g(2))＝________.
4　3　[由题表可知f(5)＝3，g(3)＝4，∴g(f(5))＝g(3)＝4.
又g(2)＝5，f(5)＝3，
∴f(g(2))＝f(5)＝3.]
8．若一个长方体的高为80
cm，长比宽多10
cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．
y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)　[由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0.]
三、解答题
9．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)求函数f(x)的值域．
[解]　f(x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示：
(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(1)>f(0)>f(3)．
(2)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，
则函数f(x)的值域为(－∞，4]．
10．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；
(3)已知f
＝x2＋＋1，求f(x)的解析式．
[解]　(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，
所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.
(2)因为f(x)为二次函数，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1，得c＝1.
又因为f(x－1)－f(x)＝4x，
所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，
所以f(x)＝－2x2－2x＋1.
(3)因为f
＝2＋2＋1＝2＋3，所以f(x)＝x2＋3.
提升练
1．(多选)已知f(x)＝，则f(x)满足的关系有(　　)
A．f(－x)＝f(x)
B．f
＝－f(x)
C．f
＝f(x)
D．f
＝－f(x)
ABD　[f(－x)＝＝＝f(x)，故A正确；
f
＝＝＝－f(x)，故B正确；
f
＝＝＝＝－f(x)，故D正确，故选ABD.]
2．(多选)已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是(　　)
A．f(3)＝9
B．f(－3)＝4
C．f(x)＝x2
D．f(x)＝(x＋1)2
BD　[令t＝2x－1，则x＝，
∴f(t)＝42＝(t＋1)2.
∴f(3)＝16，f(－3)＝4，f(x)＝(x＋1)2.]
3．已知f(x＋1)＝2x2＋1，则f(x－1)＝________.
2(x－2)2＋1　[∵f(x＋1)＝2x2＋1，
∴f(x)＝2(x－1)2＋1，
∴f(x－1)＝2(x－2)2＋1.]
4．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的表达式为________，自变量x满足的条件是________．
y＝x　{x|x>0}　[由题意可知正方形的边长为.
∴＝2y，
即y＝x，其中x>0.]
拓展
已知函数f(x)对任意实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．
(1)求f(0)与f(1)的值；
(2)求证：f
＝－f(x)；
(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均为常数)，求f(36)的值．
[解]　(1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，
解得f(0)＝0；令a＝1，b＝0，
得f(0)＝f(1)＋f(0)，解得f(1)＝0.
(2)证明：令a＝，b＝x，
得f(1)＝f
＋f(x)＝0，
∴f
＝－f(x)．
(3)令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p，
令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q.
令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.