2021年新教材高中数学3.1.2第2课时分段函数 (word含解析）

分段函数
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)
A．　　
B．3　　　　
C．　　
D．
2．函数f(x)＝x＋的图象是(　　)
A　
　　　B　　　　C　　　　D
3．函数f(x)＝的值域是(　　)
A．R
B．[0,2]∪{3}
C．[0，＋∞)
D．[0,3]
4．已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是(　　)
A．
B．9
C．－1或1
D．－或
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为
(　　)
A．13立方米
B．14立方米
C．18立方米
D．26立方米
二、填空题
6．已知f(x)＝则f
＋f
＝________.
7．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．
8．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
三、解答题
9．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5
000元的部分不必纳税，超过5
000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过3
000元的部分
3%
超过3
000元至12
000元的部分
10%
超过12
000元至25
000元的部分
20%
某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元．
(1)请写出y关于x的函数关系式；
(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？
10．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
提升练
1．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D(D(x))等于(　　)
A．0
B．1
C．
D．
2．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是
(　　)
A．f(x)的值域为(－∞，4)
B．f(1)＝3
C．若f(x)＝3，则x的值是
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
3．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
4．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的解析式为________，值域为________．
拓展
已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|，g(x)＝|x－3|.
(1)在平面直角坐标系里作出f(x)，g(x)的图象；
(2)?x∈R，用min(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记作min(x)＝{f(x)，g(x)}，请用图象法和解析法表示min(x)；
(3)求满足f(x)>g(x)的x的取值范围．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)
A．　　
B．3　　　　
C．　　
D．
D　[∵f(3)＝≤1，
∴f(f(3))＝2＋1＝.]
2．函数f(x)＝x＋的图象是(　　)
A　
　　　B　　　　C　　　　D
C　[当x>0时，f(x)＝x＋＝x＋1，
当x<0时，f(x)＝x－1，且x≠0，
根据一次函数图象可知C正确．
故选C.]
3．函数f(x)＝的值域是(　　)
A．R
B．[0,2]∪{3}
C．[0，＋∞)
D．[0,3]
B　[当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当14．已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是(　　)
A．
B．9
C．－1或1
D．－或
A　[依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若05．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为
(　　)
A．13立方米
B．14立方米
C．18立方米
D．26立方米
A　[该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.]
二、填空题
6．已知f(x)＝则f
＋f
＝________.
4　[∵f
＝f
＝f
＝f
＝f
＝2×＝，
f
＝2×＝，
∴f
＋f
＝＋＝＝4.]
7．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．
f(x)＝　[由题图可知，图象是由两条线段组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则∴即f(x)＝x＋1.
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f(x)＝－x.
综上，f(x)＝]
8．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
－　[在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示．
由题意，可知2a＝－1，则a＝－.]
三、解答题
9．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5
000元的部分不必纳税，超过5
000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过3
000元的部分
3%
超过3
000元至12
000元的部分
10%
超过12
000元至25
000元的部分
20%
某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元．
(1)请写出y关于x的函数关系式；
(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？
[解]　(1)由题意，得
y＝
(2)∵该职工八月份交纳了54元的税款，
∴5
000000，(x－5
000)×3%＝54，
解得x＝6
800.
故这名职工八月份的工资是6
800元．
10．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
[解]　当点P在BC上运动，即0≤x≤4时，y＝×4×x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8综上可知，f(x)＝
提升练
1．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D(D(x))等于(　　)
A．0
B．1
C．
D．
B　[当x为无理数时D(x)＝0，∴D(D(x))＝D(0)＝1；
当x为有理数时，D(x)＝1，∴D(D(x))＝D(1)＝1.
综上可知B正确．]
2．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是
(　　)
A．f(x)的值域为(－∞，4)
B．f(1)＝3
C．若f(x)＝3，则x的值是
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
AC　[当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－13．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
－　[当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－(舍去)．
当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.]
4．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的解析式为________，值域为________．
f(x)＝　(－∞，1]　[由题意可知，f(x)＝
画出函数f(x)的图象得值域为(－∞，1]．
]
拓展
已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|，g(x)＝|x－3|.
(1)在平面直角坐标系里作出f(x)，g(x)的图象；
(2)?x∈R，用min(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记作min(x)＝{f(x)，g(x)}，请用图象法和解析法表示min(x)；
(3)求满足f(x)>g(x)的x的取值范围．
[解]　(1)f(x)＝g(x)＝
则对应的图象如图：
(2)min(x)图象如图：
解析式为min(x)＝
(3)若f(x)>g(x)，
则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件．
此时对应的x满足x>0或x<－2，
即不等式f(x)>g(x)的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞).