2021年新教材高中数学3.2.2第1课时奇偶性的概念 (word含解析）

奇偶性的概念
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．(多选)下列函数是奇函数的是(　　)
A．y＝x(x∈[0,1])　　
B．y＝3x2
C．y＝
D．y＝x|x|
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝(　　)
A．－　
B．－　　　
C．　
D．
3．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有(　　)
A．f(x)f(－x)>0
B．f(x)f(－x)<0
C．f(x)D．f(x)>f(－x)
4．函数f(x)＝2x－的图象关于(　　)
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．直线y＝x对称
D．坐标原点对称
5．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　)
A．－2
B．2
C．1
D．0
二、填空题
6．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值为________．
7．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．
8．下列说法中正确的有________．(填序号)
①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过坐标原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
10．如图是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．
提升练
1．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A．21
B．－21
C．26
D．－26
2．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是奇函数
B．|f(x)|g(x)是偶函数
C．f(x)|g(x)|是偶函数
D．|f(x)g(x)|是偶函数
3．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.]
4．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，则f(－3)＝________；不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．
拓展
设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.
(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；
(2)若f(x)是偶函数，求a的值；
(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．(多选)下列函数是奇函数的是(　　)
A．y＝x(x∈[0,1])　　
B．y＝3x2
C．y＝
D．y＝x|x|
CD　[A不具有奇偶性；B是偶函数；CD是奇函数．]
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝(　　)
A．－　
B．－　　　
C．　
D．
A　[因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－.]
3．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有(　　)
A．f(x)f(－x)>0
B．f(x)f(－x)<0
C．f(x)D．f(x)>f(－x)
B　[∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
又f(x)≠0，
∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.]
4．函数f(x)＝2x－的图象关于(　　)
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．直线y＝x对称
D．坐标原点对称
D　[函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
则f(－x)＝－2x＋＝－＝－f(x)，
则函数f(x)是奇函数，则函数f(x)＝2x－的图象关于坐标原点对称．故选D.]
5．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　)
A．－2
B．2
C．1
D．0
A　[由题图可知f(1)＝，f(2)＝，又f(x)为奇函数，
∴f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.]
二、填空题
6．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值为________．
0　[∵f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，
∴f(－x)＋f(x)＝0，
∴f(a)＋f(－a)＝0.]
7．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．
2　[∵f(x)为偶函数，故m－2＝0，∴m＝2.]
8．下列说法中正确的有________．(填序号)
①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过坐标原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交．
①②　[由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以④说法错误．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
[解]　(1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，∴m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，定义域为{x|x≠0}．
∵?x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，
且f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
10．如图是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．
[解]　因为f(x)＝，所以f(x)的定义域为R.又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．
提升练
1．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A．21
B．－21
C．26
D．－26
B　[设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.]
2．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是奇函数
B．|f(x)|g(x)是偶函数
C．f(x)|g(x)|是偶函数
D．|f(x)g(x)|是偶函数
ABD　[∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．
再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得A为奇函数，B为偶函数，C为奇函数，D为偶函数．]
3．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
－1　[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.]
4．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，则f(－3)＝________；不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．
0　[－6，－3)∪(0,3)　[由图象可知f(3)＝0，又f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝0.由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．]
拓展
设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.
(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；
(2)若f(x)是偶函数，求a的值；
(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间．
[解]　(1)我同意王鹏同学的观点．理由如下：
假设f(x)是奇函数，
则由f(a)＝a2＋3，f(－a)＝a2－4|a|＋3，
可得f(a)＋f(－a)＝0，
即a2－2|a|＋3＝0，显然a2－2|a|＋3＝0无解，所以f(x)不可能是奇函数．
(2)若f(x)为偶函数，则有f(a)＝f(－a)，即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0.经验证，此时f(x)＝x2－2|x|＋3是偶函数．
(3)由(2)知f(x)＝x2－2|x|＋3，其图象如图所示，由图可得，其单调递增区间是(－1,0)和(1，＋∞)．