2021年新教材高中数学3.3幂函数 (word含解析）

幂函数
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A．　　
B．1　　　　
C．　　
D．2
2．幂函数的图象过点(3,
)，则它的单调递增区间是(　　)
A．[－1，＋∞)　
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是(　　)
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
4．幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,4)，那么函数f(x)的单调递增区间是(　　)
A．(－2，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．[0，＋∞)
D．(－∞，－2)
5．当0A．h(x)B．h(x)C．g(x)D．f(x)二、填空题
6．已知幂函数f(x)＝xm的图象经过点，则f(6)＝________.
7．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.
8．已知4.1α>4.3α，则α的取值范围是__________．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
10．已知幂函数y＝f(x)经过点.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．
提升练
1．(多选)某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在区间(－∞，0)上单调递减．则以下幂函数符合这三个性质的有(　　)
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x
C．f(x)＝x－1
D．f(x)＝x－
2．(多选)已知函数f(x)＝xα图象经过点(4,2)，则下列命题正确的有(　　)
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若x>1，则f(x)>1
D．若03．已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，函数g(x)＝(x－2)f(x)，则函数g(x)的最大值为________，最小值为________．
拓展
已知幂函数f(x)＝x(p∈N)在(0，＋∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数．
(1)求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)＝－qf(f(x))＋(2q－1)f(x)＋1，问：是否存在实数q(q<0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，且在区间(－4,0)上是增函数？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A．　　
B．1　　　　
C．　　
D．2
C　[∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f
＝
α＝，即α＝，∴k＋α＝.]
2．幂函数的图象过点(3,
)，则它的单调递增区间是(　　)
A．[－1，＋∞)　
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
B　[设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3,
)，所以f(3)＝3α＝＝3，解得α＝，所以f(x)＝x，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.]
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是(　　)
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
A　[当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当α＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.]
4．幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,4)，那么函数f(x)的单调递增区间是(　　)
A．(－2，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．[0，＋∞)
D．(－∞，－2)
C　[由题意得4＝2α，即22＝2α，所以α＝2.所以f(x)＝x2.
所以二次函数f(x)的单调递增区间是[0，＋∞)．]
5．当0A．h(x)B．h(x)C．g(x)D．f(x)D　[特值法．取x＝代入排除A、B、C，可知D正确．故选D.]
二、填空题
6．已知幂函数f(x)＝xm的图象经过点，则f(6)＝________.
36　[依题意3＝()m，所以m＝2，
所以f(x)＝x2，所以f(6)＝62＝36.]
7．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.
－1　[∵f(x)＝(m2－m－1)x2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m＝－1时，f(x)＝x－5，符合题意．
综上可知，m＝－1.]
8．已知4.1α>4.3α，则α的取值范围是__________．
(－∞，0)　[因为0<4.1<4.3，而4.1α>4.3α，所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
[解]　(1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.
10．已知幂函数y＝f(x)经过点.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．
[解]　(1)设幂函数f(x)＝xα，由题意，得f(2)＝2α＝，即α＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3.
(2)∵f(x)＝x－3＝，∴要使函数有意义，则x≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，
∴该幂函数为奇函数．
当x＞0时，根据幂函数的性质可知f(x)＝x－3在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f(x)是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
提升练
1．(多选)某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在区间(－∞，0)上单调递减．则以下幂函数符合这三个性质的有(　　)
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x
C．f(x)＝x－1
D．f(x)＝x－
CD　[A.f(x)＝x2，为偶函数，排除；
B．f(x)＝x，值域为R，排除；
C．f(x)＝x－1，为奇函数，值域为{y|y∈R，且y≠0}，在区间(－∞，0)上单调递减，满足；
D．f(x)＝x，为奇函数，值域为{y|y∈R，且y≠0}，在区间(－∞，0)上单调递减，满足．]
2．(多选)已知函数f(x)＝xα图象经过点(4,2)，则下列命题正确的有(　　)
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若x>1，则f(x)>1
D．若0ACD　[将点(4,2)代入函数f(x)＝xα得：2＝4α，则α＝，所以f(x)＝x.
显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A正确．
f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正确．
当x>1时，>1，即f(x)>1，所以C正确．
当若02－2
＝2－2.
＝－
＝＝－<0，
即成立，所以D正确．故选ACD.]
3．已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)3易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(10－2a)所以
解得
所以34．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，函数g(x)＝(x－2)f(x)，则函数g(x)的最大值为________，最小值为________．
－1　－3　[因为f(x)的图象过点，所以＝2α，
所以α＝－1，所以f(x)＝x－1，
所以g(x)＝(x－2)·x－1＝＝1－.
又g(x)＝1－在上是增函数，
所以g(x)最小值＝g＝－3，
g(x)最大值＝g(1)＝－1.]
拓展
已知幂函数f(x)＝x(p∈N)在(0，＋∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数．
(1)求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)＝－qf(f(x))＋(2q－1)f(x)＋1，问：是否存在实数q(q<0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，且在区间(－4,0)上是增函数？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由幂函数的图象和性质知－p2＋p＋>0，解得－1因为p∈N，所以p＝2,1,0.
当p＝0或2时，f(x)＝x，不是偶函数；当p＝1时，f(x)＝x2，是偶函数．故p＝1，f(x)＝x2.
(2)g(x)＝－qx4＋(2q－1)x2＋1，令t＝x2，则h(t)＝－qt2＋(2q－1)t＋1(t≥0)．因为t＝x2在(－∞，0)上是减函数，所以当x∈(－∞，－4]时，t∈[16，＋∞)；当x∈(－4,0)时，t∈(0,16)．当h(t)在[16，＋∞)上是增函数，在(0,16)上是减函数时，g(x)在(－∞，－4]上是减函数，在(－4,0)上是增函数，此时二次函数h(t)的对称轴方程是t＝16，即t＝＝1－＝16，所以q＝－.故存在实数q＝－，使得g(x)在(－∞，－4]上是减函数，且在(－4,0)上是增函数.