2021年新教材高中数学3.4函数的应用一 (word含解析）

函数的应用(一)
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40
000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套(　　)
A．2
000双　
B．4
000双
C．6
000双
D．8
000双
2．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最后到达终点．若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是(　　)
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域
B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域
D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)
A．15　
B．40　　　
C．25　
D．130
4．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于(　　)
A．12
B．15
C．25
D．50
5．一个人以6
m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25
m时，交通灯由红变绿，汽车以1
m/s2的加速度匀加速开走，那么(　　)
A．此人可在7
s内追上汽车
B．此人可在10
s内追上汽车
C．此人追不上汽车，其间距最少为5
m
D．此人追不上汽车，其间距最少为7
m
二、填空题
6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________.
7．把长为12
cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.
8．某商品的单价为5
000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠800元．某单位需要购买x(x∈N
，x≤15)件该商品，设购买总费用是f(x)元，则f(x)的解析式是________．
三、解答题
9．已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C＝aQ2＋3
000，且当年产量是100时，总成本是6
000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q)．
(1)求f(Q)的解析式；
(2)求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值．
10．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元)．
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
提升练
1．(多选)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3
km(不超过3
km按起步价付费)；超过3
km但不超过8
km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8
km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是(　　)
A．出租车行驶2
km，乘客需付费8元
B．出租车行驶10
km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5
km两次的费用超过他乘出租车行驶10
km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9
km
2．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货(　　)
A．月初售出好
B．月末售出好
C．月初或月末售出一样
D．由成本费的大小确定
3．已知直角梯形ABCD，如图(1)所示，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)．如果函数y＝f(x)的图象如图(2)所示，则△ABC的面积为________．
　　　　　
图(1)　　　　　　　图(2)
4．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，则x＝________时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为________．
拓展
有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝x，Q2＝.今年有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？
参考答案：
基础练
一、选择题
1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40
000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套(　　)
A．2
000双　
B．4
000双
C．6
000双
D．8
000双
D　[由5x＋40
000≤10x，得x≥8
000，即日产手套至少8
000双才不亏本．]
2．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最后到达终点．若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是(　　)
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域
B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域
D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
A　[由图象，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A.]
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)
A．15　
B．40　　　
C．25　
D．130
C　[令y＝60.
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用25人．]
4．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于(　　)
A．12
B．15
C．25
D．50
B　[设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.]
5．一个人以6
m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25
m时，交通灯由红变绿，汽车以1
m/s2的加速度匀加速开走，那么(　　)
A．此人可在7
s内追上汽车
B．此人可在10
s内追上汽车
C．此人追不上汽车，其间距最少为5
m
D．此人追不上汽车，其间距最少为7
m
D　[设汽车经过t
s行驶的路程为s
m，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.]
二、填空题
6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________.
2t2＋108t＋400，t∈N　[日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.]
7．把长为12
cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.
2　[设一个三角形的边长为x
cm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝(x－2)2＋2≥2，
这两个正三角形面积之和的最小值是2cm2.]
8．某商品的单价为5
000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠800元．某单位需要购买x(x∈N
，x≤15)件该商品，设购买总费用是f(x)元，则f(x)的解析式是________．
f(x)＝　[当x≤5，x∈N
时，f(x)＝5
000x；当5时，f(x)＝(5
000－500)x＝4
500x；当10时，f(x)＝(5
000－800)x＝4
200x.所以f(x)的解析式是f(x)＝]
三、解答题
9．已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C＝aQ2＋3
000，且当年产量是100时，总成本是6
000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q)．
(1)求f(Q)的解析式；
(2)求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值．
[解]　(1)将Q＝100，C＝6
000代入C＝aQ2＋3
000中，可得1002a＋3
000＝6
000，
从而a＝，于是C＝＋3
000.
因此f(Q)＝＝Q＋，Q>0.
(2)因为f(Q)＝Q＋≥2＝60，
且Q＝，即Q＝100时，上述等号成立．
因此，当年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60.
10．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元)．
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
[解]　(1)当05时，产品只能售出500件．
所以f(x)＝
即f(x)＝
(2)当0f(x)最大值＝10.781
25(万元)．
当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
提升练
1．(多选)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3
km(不超过3
km按起步价付费)；超过3
km但不超过8
km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8
km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是(　　)
A．出租车行驶2
km，乘客需付费8元
B．出租车行驶10
km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5
km两次的费用超过他乘出租车行驶10
km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9
km
BCD　[在A中，出租车行驶2
km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误；
在B中，出租车行驶10
km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45(元)，B正确；
在C中，乘出租车行驶5
km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确；
在D中，设出租车行驶x
km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确．]
2．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货(　　)
A．月初售出好
B．月末售出好
C．月初或月末售出一样
D．由成本费的大小确定
D　[设这批货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%；
若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)．
可得100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)．
∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．]
3．已知直角梯形ABCD，如图(1)所示，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)．如果函数y＝f(x)的图象如图(2)所示，则△ABC的面积为________．
　　　　　
图(1)　　　　　　　图(2)
16　[由题中图象可知BC＝4，CD＝5，DA＝5，
所以AB＝5＋＝5＋3＝8.
所以S△ABC＝×8×4＝16.]
4．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，则x＝________时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为________．
3　30　[设四边形EFGH的面积为S，则
S＝13×3－2
＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，x∈(0,3]．
因为S＝－2(x－4)2＋32在(0,3]上是增函数，
所以当x＝3时，S有最大值为30.]
拓展
有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝x，Q2＝.今年有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？
[解]　设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元，则Q1＝x，Q2＝.
所以y＝x＋(0≤x≤3)．
令t＝(0≤t≤)，则x＝3－t2，
所以y＝(3－t2)＋t＝－2＋.
当t＝时，ymax＝＝1.05，
这时x＝＝0.75，所以3－x＝2.25.
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润为1.05万元.