2019-2020学年湖南省永州市宁远县八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2019-2020学年湖南省永州市宁远县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题4分，共48分.将答案填在表格内）
1．下列式子是分式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列各组线段，不能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3
B．2，3，4
C．3，4，5
D．5，12，13
3．下列各式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．下列命题中，真命题是（　　）
A．若
2x＝﹣1，则
x＝﹣2
B．任何一个角都比它的补角小
C．等角的余角相等
D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
5．某种生物细胞的直径约为0.00056m，将0.00056用科学记数法表示为（　　）
A．0.56×10﹣3
B．5.6×10﹣4
C．5.6×10﹣5
D．56×10﹣5
6．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．16
B．18
C．20
D．16或20
7．化简的结果为（　　）
A．﹣x﹣y
B．y﹣x
C．x﹣y
D．x+y
8．如图，AB＝AD，CB＝CD，则有（　　）
A．AC垂直平分BD
B．AC与BD互相垂直平分
C．BD垂直平分AC
D．BD平分∠ABC
9．若关于x的分式方程＝2有增根，则增根是（　　）
A．0
B．﹣1
C．2
D．3
10．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
11．要完成一件工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期3天才能完成，现甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成，求甲单独做要x天完成，以下所列方程错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
12．已知3cm、4cm和45°画三角形，画出的不同三角形的个数为（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二、填空题（每题4分，共32分.将答案填在横线上）
13．若82x﹣4＝1，则x＝　
　．
14．如图，∠ACD＝121°，∠B＝20°，则∠A＝　
　度．
15．化简：（a﹣2）?＝　
　．
16．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于　
　cm．
17．若，则﹣的值是　
　．
18．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　
　．
19．命题“若＞1，则a＞b．”的逆命题是　
　命题（填“真”或“假”）．
20．已知△ABC的两条边的长度分别为3cm，6cm，若△ABC的周长为偶数，则第三条边的长度是　
　cm．
三、解答题（共70分）
21．计算：
（1）?
（2）﹣x+1
22．化简求值：+﹣其中x＝5，y＝2．
23．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝CE，AC＝DF，且AC∥DF．
求证：△ABC≌△DEF．
24．解分式方程
（1）＝﹣2
（2）+1＝
25．某商家预测“华为P30”手机能畅销，就用1600元购进一批该型号手机壳．面市后果然供不应求，又购进6000元的同种型号手机壳，第二批所购手机壳的数量是第一批的3倍，但进货单价比第一批贵了2元．
（1）第一批手机壳的进货单价是多少元？
（2）若两次购进手机壳按同一价格销售，全部售完后，为使得获利不少于2000元，那么销售单价至少为多少？
26．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小．
（3）在DE上找一点M，使|MC﹣MB|值最大．
27．如图一，AB＝AC，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB．问：（答题时，注意书写整洁）
（1）图一中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）
（2）过D点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如图二，图中现在增加了几个等腰三角形，选一个进行证明．
（3）如图三，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）线段EF与BE、CF有什么关系，并证明．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分.将答案填在表格内）
1．下列式子是分式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解：∵，+y，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
分母中含有字母，因此是分式．
故选：B．
2．下列各组线段，不能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3
B．2，3，4
C．3，4，5
D．5，12，13
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、∵1+2＝3，∴1，2，3不能组成三角形，故本选项正确；
B、∵2+3＝5＞4，∴2，3，4能组成三角形，故本选项错误；
C、∵3+4＝7＞5，∴3，4，5能组成三角形，故本选项错误；
D、∵5+12＝17＞13，∴5，12，13能组成三角形，故本选项错误．
故选：A．
3．下列各式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先根据平方差公式分解因式，再根据分式的基本性质进行化简，即可判断A；先根据完全平方公式进行变形，再判断即可；根据分式的基本性质进行判断即可；先根据分式的乘方进行计算，再判断即可．
解：A．∵＝＝，（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∴≠，故本选项不符合题意；
B．＝＝﹣（）2，故本选项符合题意；
C．≠，故本选项不符合题意；
D．（）2＝＝≠，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．下列命题中，真命题是（　　）
A．若
2x＝﹣1，则
x＝﹣2
B．任何一个角都比它的补角小
C．等角的余角相等
D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
【分析】根据一元一次方程的解法、余角和补角的概念判断即可．
解：若
2x＝﹣1，则
x＝﹣，A是假命题；
90°＝180°﹣90°，则90°的角等于它的补角，B是假命题；
等角的余角相等，C是真命题；
30°+120°＝150°，则一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，D是假命题；
故选：C．
5．某种生物细胞的直径约为0.00056m，将0.00056用科学记数法表示为（　　）
A．0.56×10﹣3
B．5.6×10﹣4
C．5.6×10﹣5
D．56×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：将0.00056用科学记数法表示为5.6×10﹣4．
故选：B．
6．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．16
B．18
C．20
D．16或20
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故选：C．
7．化简的结果为（　　）
A．﹣x﹣y
B．y﹣x
C．x﹣y
D．x+y
【分析】先将原式化为同分母的分式，再进行加减即可．
解：原式＝﹣
＝
＝﹣x﹣y，
故选：A．
8．如图，AB＝AD，CB＝CD，则有（　　）
A．AC垂直平分BD
B．AC与BD互相垂直平分
C．BD垂直平分AC
D．BD平分∠ABC
【分析】由AB＝AD，CB＝CD，得A与C在BD的垂直平分线上，进而解决此题．
解：∵AB＝AD，CB＝CD，
∴A与C在BD的垂直平分线上．
∴AC是BD的垂直平分线．
∴AC垂直平分BD．
故选：A．
9．若关于x的分式方程＝2有增根，则增根是（　　）
A．0
B．﹣1
C．2
D．3
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．
解：方程两边都乘（x﹣3）
得2﹣（x+m）＝2x﹣6，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，
解得x＝3，
当x＝3时，﹣2﹣（x+m）＝0，解得m＝﹣1，符合题意；
所以增根的值为3．
故选：D．
10．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠4（或观察图形得到∠1＝∠4），然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解．
解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4（或观察图形得到∠1＝∠4），
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故选：C．
11．要完成一件工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期3天才能完成，现甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成，求甲单独做要x天完成，以下所列方程错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】本题用到的关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率．可根据甲做2天的工作量+乙全程的工作量＝1来列方程求解．
解：设甲单独做需x天，则乙单独做需（x+3）天，由题意得：
2（+）+＝1；
或+＝1．
+＝1可以变形为＝．
只有选项C错误．
故选：C．
12．已知3cm、4cm和45°画三角形，画出的不同三角形的个数为（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】利用尺规作图画出符合题意的三角形，数其个数就可得结果．
解：（1）∠A＝45°，AC＝3，AB＝4，可以画一个三角形，
（2）∠A＝45°，AC＝3，B′C＝4，可以画一个三角形，
（3）∠A＝45°，AC＝4，BC′＝BC″＝3可以画二个三角形．
综上所述符合题意的三角形有4个．
故选：C．
二、填空题（每题4分，共32分.将答案填在横线上）
13．若82x﹣4＝1，则x＝　2　．
【分析】根据零指数幂的性质可得2x﹣4＝0，进而求出x的值即可．
解：∵82x﹣4＝1，
∴2x﹣4＝0，
∴x＝2，
故答案为：2．
14．如图，∠ACD＝121°，∠B＝20°，则∠A＝　101　度．
【分析】根据三角形外角的性质，得∠ACD＝∠B+∠A，故∠A＝∠ACD﹣∠B＝101°．
解：∵∠ACD＝∠B+∠A，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝121°﹣20°＝101°．
故答案为：101．
15．化简：（a﹣2）?＝　a+2　．
【分析】先将分式用公式法进行因式分解，然后再进行约分、化简．
解：原式＝（a﹣2）×＝a+2．
16．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于　10　cm．
【分析】由已知条件，利用线段垂直平分线的性质得AE＝BE，再利用给出的周长即可求出AC的长．
解：∵AB的垂直平分线交AB于点D
∴AE＝BE
∴AE+CE＝BE+CE
∵△BCE的周长等于18cm，BC＝8cm
∴BE+CE+BC＝18，
∴AE+CE+BC＝18，
∴AC+BC＝18，
∴AC+8＝18，
∴AC＝10cm
故答案为：10．
17．若，则﹣的值是　﹣　．
【分析】将﹣变形为﹣，再代入计算即可求解．
解：∵，
∴＝，
∴﹣＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
18．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　11　．
【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．
解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2
∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5
∴x+y＝11．
故答案为：11．
19．命题“若＞1，则a＞b．”的逆命题是　假　命题（填“真”或“假”）．
【分析】写出该命题的逆命题后判断正误即可．
解：命题“若＞1，则a＞b．”的逆命题是若a＞b，则＞1，当a＝3，b＝﹣2时错误，为假命题，
故答案为：假．
20．已知△ABC的两条边的长度分别为3cm，6cm，若△ABC的周长为偶数，则第三条边的长度是　5或7　cm．
【分析】可根据三角形三边关系先求出第三边的取值范围．再根据3+6为奇数，周长为偶数，可知第三边为奇数，从而找出取值范围中的奇数，即为第三边的长．
解：设第三边长为ccm，
则6﹣3＜c＜6+3，即3＜c＜9．
又∵周长为偶数，
∴c为奇数，
∴c＝5或7．
故答案为：5或7．
三、解答题（共70分）
21．计算：
（1）?
（2）﹣x+1
【分析】（1）根据分式的乘法可以解答本题；
（2）根据分式的减法可以解答本题．
解：（1）?
＝
＝
＝；
（2）﹣x+1
＝
＝
＝
＝．
22．化简求值：+﹣其中x＝5，y＝2．
【分析】先通分，再根据分式的加减运算法则计算，最后约分即可化简原式，继而将x、y的值代入计算可得．
解：原式＝+﹣
＝
＝
＝，
当x＝5、y＝2时，
原式＝＝．
23．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝CE，AC＝DF，且AC∥DF．
求证：△ABC≌△DEF．
【分析】求出BC＝FE，∠ACB＝∠DFE，根据SAS推出全等即可．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
∴BC＝FE，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
24．解分式方程
（1）＝﹣2
（2）+1＝
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：2﹣x＝﹣1﹣2x+6，
解得：x＝3，
经检验x＝3是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：2+2x+1﹣x2＝x﹣x2，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
25．某商家预测“华为P30”手机能畅销，就用1600元购进一批该型号手机壳．面市后果然供不应求，又购进6000元的同种型号手机壳，第二批所购手机壳的数量是第一批的3倍，但进货单价比第一批贵了2元．
（1）第一批手机壳的进货单价是多少元？
（2）若两次购进手机壳按同一价格销售，全部售完后，为使得获利不少于2000元，那么销售单价至少为多少？
【分析】（1）设第一批手机壳进货单价为x元，则第二批手机壳进货单价为（x+2）元，根据单价＝总价÷数量结合第二批手机壳的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设销售单价为m元，根据获利不少于2000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
解：（1）设第一批手机壳进货单价为x元，
根据题意得：3?＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是分式方程的解．
答：第一批手机壳的进货单价是8元．
（2）设销售单价为m元，
根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥2000，
解得：m≥12．
答：销售单价至少为12元．
26．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小．
（3）在DE上找一点M，使|MC﹣MB|值最大．
【分析】（1）分别作出A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1即可；
（2）连接CB1交直线DE于点P，点P即为所求；
（3）延长CB交直线DE于M，点M即为所求；
解：（1）称的△A1B1C1即为所求；
（2）点P即为所求；
（3）点M即为所求；
27．如图一，AB＝AC，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB．问：（答题时，注意书写整洁）
（1）图一中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）
（2）过D点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如图二，图中现在增加了几个等腰三角形，选一个进行证明．
（3）如图三，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）线段EF与BE、CF有什么关系，并证明．
【分析】（1）由条件可证得∠DBC＝∠DCB，所以共有两个等腰三角形；
（2）由平行和角平分线的性质可得∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，且AE＝AF，所以增加了三个等腰三角形；
（3）此时同（2）只能得出∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，即只有两个等腰三角形，且EF＝BE+FC．
解：（1）有两个等腰三角形．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CD分别是角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC＝∠ACB＝∠DCB，
∴DB＝DC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵△ABC是等腰三角形，
即在图1中共有两个等腰三角形；
（2）增加了3个等腰三角形．
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠DBC，
∴∠DBE＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴△EBD为等腰三角形，同理△FDC为等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵AB＝AC，
∴△AEF为等腰三角形，
即在图2中增加了三个等腰三角形；
（3）同（2）可证明得△EBD为等腰三角形，△FDC为等腰三角形，
所以EF＝BE+CF，
即只有两个等腰三角形．