2019-2020学年河北省沧州市第十四中学九年级（上）第一次月考数学试卷（word版含解析）

2019-2020学年河北省沧州市第十四中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（共16个小题，1～10题，每小题3分；11～16小题，每小题3分，共42分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝3
B．x2+y＝2
C．3x2+2x＝4
D．
2．如果用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，那么原方程应变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝1
B．（x+1）2＝1
C．（x+1）2＝2
D．（x﹣1）2＝2
3．下列抛物线中，与y轴交点坐标为（0，3）的是（　　）
A．y＝（x﹣3）2
B．y＝x2﹣3
C．y＝2x2﹣3x
D．y＝x2﹣2x+3
4．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根是1，则（　　）
A．a＝2
B．a＝1
C．a＝﹣2
D．a＝0
5．下列方程中，有一个根是6的方程为（　　）
A．（x+5）（x﹣5）＝3
B．（x+6）（2x+7）＝0
C．x2﹣7x+6＝0
D．x2﹣6＝0
6．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2019的值为（　　）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
7．对于方程：x（x+1）＝0，下列判断正确的是（　　）
A．只有一个实数根
B．有两个不同的实数根
C．有两个相同的实数根
D．没有实数根
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），对称轴l如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝2a﹣b，P＝a+c，则M，N，P中，值小于0的数有（　　）个．
A．2
B．1
C．0
D．3
9．已知关于x的方程x2+mx+1＝0根的判别式的值为5，则m＝（　　）
A．±3
B．3
C．1
D．±1
10．对于实数a，b，定义运算“?”：a?b＝，例如：5?3，因为5＞3，所以5?3＝5×3﹣32＝6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1?x2等于（　　）
A．﹣1
B．±2
C．1
D．±1
11．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（　　）
A．2m
B．4m
C．10m
D．16m
12．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（　　）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
13．扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（　　）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
14．已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（　　）
A．x1＜﹣1＜2＜x2
B．﹣1＜x1＜2＜x2
C．﹣1＜x1＜x2＜2
D．x1＜﹣1＜x2＜2
15．如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数（如17，18，24，25），如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
A．40
B．48
C．52
D．56
16．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2交x轴于点A、B（A在B的右侧），与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，则△ACD面积的最大值是（　　）
A．
B．
C．
D．1
二、填空题（本大题共3个小题，共11分，17小题3分，18～19小题各有两个空，每空2分，把答案写在题中横线上）
17．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是　
　．
18．点P（2，17）为二次函数y＝ax2+4ax+5图象上一点，其对称轴为
　
　，则点P关于对称轴的对称点的坐标为
　
　．
19．在平面直角坐标系中xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数y＝﹣x2+a（a＞0）的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域（不含边界）为W．当a＝2时，区域W内的整点个数为　
　，若区域W内恰有7个整点，则a的取值范围是　
　．
三、解答题（本大题共7个小题：共67分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骠）
20．解方程：
（1）（2x﹣1）2＝3﹣6x；
（2）x2﹣2x﹣6＝0．
21．在国家“一带一路”发展战略等多种因素影响下，某企业的利润逐年提高，据统计，该企业2016年利润为3亿元，2018年利润为4.32亿元，若2019年保持前两年的年平均增长率不变，该企业2019年利润能否超过5亿元？
22．设二次函数y＝mx2+nx﹣（m﹣n）（m、n是常数，m≠0）．
（1）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，并说明理由；
（2）若该二次函数图象经过点A（2，3），B（1，4），求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
23．关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根大于3，求m的取值范围．
24．庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲，乙两种T恤共400件，其每件的售价与进货量m（件）之间的关系及成本如下表所示：
T恤
每件的售价/元
每件的成本/元
甲
﹣0.1m+100
50
乙
﹣0.2m+120（0＜m＜200）
60
（200≤m≤400）
（1）当甲种T恤进货250件时，求两种T恤全部售完的利润是多少元．
（2）若所有的T恤都能售完，求该店获得的总利润y（元）与乙种T恤的进货量x（件）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下已知两种T恤进货量都不低于100件，且所进的T恤全部售完，该商店如何安排进货才能获得的利润最大？
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
26．某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为4.5m，宽度OP为6米，现以地面（OP所在的直线）为x轴建立平面直角坐标系（如图1所示）
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图所示，公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为多少米？
（3）为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架“ABCD（由四根木杆AB﹣BC﹣CD﹣DA组成），使B，C两点在抛物线上．A，D两点在地面OP上（如图2所示），请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆？
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，1～10题，每小题3分；11～16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝3
B．x2+y＝2
C．3x2+2x＝4
D．
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
解：A、该方程中未知数的最高次数是1，不属于一元二次方程，故本选项错误；
B、该方程中未知数的最高次数是2且含有2个未知数，不属于一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程是分式方程，不属于一元二次方程，故本选项错误；
故选：C．
2．如果用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，那么原方程应变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝1
B．（x+1）2＝1
C．（x+1）2＝2
D．（x﹣1）2＝2
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
解：x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
则（x﹣1）2＝2，
故选：D．
3．下列抛物线中，与y轴交点坐标为（0，3）的是（　　）
A．y＝（x﹣3）2
B．y＝x2﹣3
C．y＝2x2﹣3x
D．y＝x2﹣2x+3
【分析】把x＝0分别代入四个选项的解析式即可判断．
解：A、当x＝0时，y＝9；
B、当x＝0时，y＝﹣3；
C、当x＝0时，y＝0；
D、当x＝0时，y＝3；
故选：D．
4．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根是1，则（　　）
A．a＝2
B．a＝1
C．a＝﹣2
D．a＝0
【分析】把x＝1代入方程x2﹣3x+a＝0得到关于a的方程，然后解关于a的方程即可．
解：把x＝1代入方程x2﹣3ax+a＝0得1﹣3+a＝0，解得a＝2．
故选：A．
5．下列方程中，有一个根是6的方程为（　　）
A．（x+5）（x﹣5）＝3
B．（x+6）（2x+7）＝0
C．x2﹣7x+6＝0
D．x2﹣6＝0
【分析】根据直接开平方法解方程可对A进行判断；利用因式分解法解方程可对B、C、D进行判断．
解：A．方程化为x2＝28，解得x1＝﹣2，x2＝2，所以A选项不符合题意；
B．方程转化为x+6＝0或2x+7＝0，解得x1＝﹣6，x2＝﹣，所以B选项不符合题意；
C．方程转化为x﹣6＝0或x﹣1＝0，解得x1＝6，x2＝1，所以C选项符合题意；
D．方程转化为x+＝0或x﹣＝0，解得x1＝﹣，x2＝，所以D选项不符合题意．
故选：C．
6．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2019的值为（　　）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
【分析】把（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+2019的值．
解：把（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝0，
所以m2﹣m＝1，
所以m2﹣m+2019＝1+2019＝2020．
故选：C．
7．对于方程：x（x+1）＝0，下列判断正确的是（　　）
A．只有一个实数根
B．有两个不同的实数根
C．有两个相同的实数根
D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．
解：原方程可变形为x2+x＝0．
∵Δ＝12﹣4×1×0＝1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），对称轴l如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝2a﹣b，P＝a+c，则M，N，P中，值小于0的数有（　　）个．
A．2
B．1
C．0
D．3
【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），和与y轴交点的位置，可以判断M的符号；由抛物线的开口方向和对称轴，可以判断N的符号；由抛物线的开口、对称轴的位置、和过（1，0）点可以判断P的符号，最后综合得出结论，做出选择．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），
∴a+b+c＝0，
又∵抛物线与y轴交在y轴的正半轴，
∴c＞0
∴a+b﹣c＜0，故M＜0；
（2）抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴左侧，﹣1的右侧，
∴﹣＞﹣1，
∴2a﹣b＜0，故N＜0；
（3）抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴左侧，因此a、b同号，∴b＜0
∵a+b+c＝0，
∴a+c＞0，因此P＞0
综上所述：M＜0，N＜0，P＞0；
故选：A．
9．已知关于x的方程x2+mx+1＝0根的判别式的值为5，则m＝（　　）
A．±3
B．3
C．1
D．±1
【分析】根据根的判别式得出方程m2﹣4×1×1＝5，求出方程的解即可．
解：∵关于x的方程x2+mx+1＝0根的判别式的值为5，
∴m2﹣4×1×1＝5，
解得：m＝±3，
故选：A．
10．对于实数a，b，定义运算“?”：a?b＝，例如：5?3，因为5＞3，所以5?3＝5×3﹣32＝6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1?x2等于（　　）
A．﹣1
B．±2
C．1
D．±1
【分析】先利用因式分解法解方程得到x＝4或x＝2，则x1＝2，x2＝4或x1＝4，x2＝2，然后利用新定义计算x1?x2．
解：解方程x2﹣3x+2＝0得x＝1或x＝2，
当x1＝1，x2＝2时，x1?x2＝12﹣2×1＝﹣1；
当x1＝2，x2＝1时，x1?x2＝2×1﹣12＝1．
故选：D．
11．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（　　）
A．2m
B．4m
C．10m
D．16m
【分析】先建立坐标系，根据题意，把x＝10直接代入解析式即可解答．
解：以拱顶为坐标原点，建立如图所示坐标系，
根据题意B的横坐标为10，
把x＝10代入y＝﹣x2，
得y＝﹣4，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
即水面与桥拱顶的高度DO等于4m．
故选：B．
12．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（　　）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y＝（x﹣2）2+1；
故选项D的说法正确，
故选：C．
13．扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（　　）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
【分析】根据空白区域的面积＝矩形空地的面积可得．
解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，
故选：D．
14．已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（　　）
A．x1＜﹣1＜2＜x2
B．﹣1＜x1＜2＜x2
C．﹣1＜x1＜x2＜2
D．x1＜﹣1＜x2＜2
【分析】可以将关于x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2看作直线y＝m与二次函数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，结合图象可以求出x1与x2的取值范围，进而做出判断．
解：二次函数y＝（x+1）（x﹣2）的图象如图所示：
它与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（2，0），
关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2，可以看作是直线y＝m（m＞0）与二次函数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，
由图象可知x1＜﹣1，x2＞2；
∴x1＜﹣1＜2＜x2，
故选：A．
15．如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数（如17，18，24，25），如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
A．40
B．48
C．52
D．56
【分析】根据题意和表格中的数据，可以先设出最小的数为x，然后即可表示出其它的数，再根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，即可列出相应的方程，然后求出x的值，从而可以得到其它的数，再将它们相加即可．
解：设的四个数中最小数为x，则其它三个数为x+1，x+7，x+8，
∵圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，
∴x（x+8）＝153，
解得x1＝﹣17（舍去），x2＝9，
∴x+1＝10，x+7＝16，x+8＝17，
∵9+10+16+17＝52，
∴这四个数的和为52，
故选：C．
16．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2交x轴于点A、B（A在B的右侧），与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，则△ACD面积的最大值是（　　）
A．
B．
C．
D．1
【分析】先计算当x＝0时的函数值得到C（0，2），解方程﹣x2+x+2＝0得A（2，0），易得直线AC的解析式为y＝﹣x+2，作DE∥y轴交AC于E，如图，设D（t，﹣t2+t+2），则E（t，﹣t+2），利用三角形面积公式得到△ACD面积＝×2×DE＝﹣t2+2t，然后根据二次函数的性质解决问题．
解：当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2），
当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，则A（2，0），
易得直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
作DE∥y轴交AC于E，如图，
设D（t，﹣t2+t+2），则E（t，﹣t+2），
∴DE＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∴△ACD面积＝×2×DE＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
当t＝1时，△ACD面积有最大值为1．
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题，共11分，17小题3分，18～19小题各有两个空，每空2分，把答案写在题中横线上）
17．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是　m≥0且m≠1　．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0，然后解不等式求出它们的公共部分即可．
解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0．
解得m≥0且m≠1．
故答案为m≥0且m≠1．
18．点P（2，17）为二次函数y＝ax2+4ax+5图象上一点，其对称轴为
　直线x＝﹣2　，则点P关于对称轴的对称点的坐标为
　（﹣6，17）　．
【分析】根据点P（2，17）为二次函数y＝ax2+4ax+5图象上一点，可以求得a的值，从而可以得到二次函数的解析式，然后化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，从而可以写出点P关于对称轴的对称点的坐标．
解：∵点P（2，17）为二次函数y＝ax2+4ax+5图象上一点，
∴17＝4a+8a+5，
解得a＝1，
∴二次函数解析式为y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣2，点P关于对称轴的对称点的坐标为（﹣6，17），
故答案为：直线x＝﹣2，（﹣6，17）．
19．在平面直角坐标系中xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数y＝﹣x2+a（a＞0）的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域（不含边界）为W．当a＝2时，区域W内的整点个数为　1　，若区域W内恰有7个整点，则a的取值范围是　3＜a≤4　．
【分析】当a＝2时，判断函数y＝﹣x2+2与x轴交点坐标，找到可能在W区域内的整数点，然后结合函数解析式判断点是否在W区域内；通过＝2能够得到在区域内整数点和在边界上的整数点，当a＝3时，会将a＝2的区域内和边界的整数点都包含在内，同时产生新的边界点，依此类推，可得到a＝4时符合条件的整数点7个，从而判断a的范围．
解：（1）当a＝2时，函数y＝﹣x2+2，函数与坐标轴的交点坐标分别为（0，2），（﹣，0），（，0），
函数y＝﹣x2+2的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域中，整数点有（﹣1，1），（1，1），（0，2）在边界上，不符合题意，点（0，1）在W区域内．
所以此时在区域W内的整数点有1个．
（2）由（1）发现，当（0，2）是顶点时，在W区域内只有1个整数点，边界上有3个整数点；
当a＝3时，在W区域内有4个整数点（﹣1，1），（1，1），（0，2），（0，1），边界上有3个整数点（0，3），（﹣1，2），（1，2）；
当a＝4时，在W区域内有7个整数点（﹣1，1），（1，1），（0，2），（0，1），（0，3），（﹣1，2），（1，2）；
所以区域W内恰有7个整点，3＜a≤4．
故本题答案是1；3＜a≤4．
三、解答题（本大题共7个小题：共67分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骠）
20．解方程：
（1）（2x﹣1）2＝3﹣6x；
（2）x2﹣2x﹣6＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
解：（1）∵（2x﹣1）2＝3﹣6x，
∴（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0，
则（2x﹣1）（2x+2）＝0，
∴2x﹣1＝0或2x+2＝0，
解得x1＝，x2＝﹣1；
（2）∵x2﹣2x﹣6＝0，
∴x2﹣2x＝6，
则x2﹣2x+1＝6+1，即（x﹣1）2＝7，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
21．在国家“一带一路”发展战略等多种因素影响下，某企业的利润逐年提高，据统计，该企业2016年利润为3亿元，2018年利润为4.32亿元，若2019年保持前两年的年平均增长率不变，该企业2019年利润能否超过5亿元？
【分析】设该企业2017、2018年的年平均增长率为x，根据该企业2016年及2018年的利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，再将其代入2019年的利润＝2018年的利润×（1+增长率）中即可求出结论．
解：设该企业2017、2018年的年平均增长率为x，
依题意，得：3（1+x）2＝4.32，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
∴4.32×（1+20%）＝5.184（亿元）．
答：该企业2019年利润能超过5亿元．
22．设二次函数y＝mx2+nx﹣（m﹣n）（m、n是常数，m≠0）．
（1）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，并说明理由；
（2）若该二次函数图象经过点A（2，3），B（1，4），求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
【分析】（1）首先求出Δ＝b2﹣4ac的值，进而得出答案；
（2）利用待定系数法确定二次函数解析式，然后由一元二次方程与二次函数解析式的转化关系求得抛物线与x轴的交点坐标．
解：（1）该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个，理由如下：
∵Δ＝b2﹣4ac＝n2﹣4m（m﹣n）＝n2+4m2﹣4mn＝（n﹣2m）2≥0，
∴该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个．
（2）把点A（2，3），B（1，4）代入，y＝mx2+nx﹣（m﹣n）中，得．
解得．
故该二次函数解析式是：y＝﹣x2+2x+3．
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0．
解得x1＝﹣1，x2＝3．
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0）．
23．关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根大于3，求m的取值范围．
【分析】（1）根据判别式Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0即可得；
（2）因式分解法得出x1＝1，x2＝m﹣1，由方程有一个根大于3知m﹣1＞3，解之可得．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，
∵（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）x2﹣mx+m﹣1＝0，
（x﹣1）（x﹣m+1）＝0，
∴x1＝1，x2＝m﹣1，
∵方程有一个根大于3，
∴m﹣1＞3，
∴m＞4．
∴m的取值范围是m＞4．
24．庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲，乙两种T恤共400件，其每件的售价与进货量m（件）之间的关系及成本如下表所示：
T恤
每件的售价/元
每件的成本/元
甲
﹣0.1m+100
50
乙
﹣0.2m+120（0＜m＜200）
60
（200≤m≤400）
（1）当甲种T恤进货250件时，求两种T恤全部售完的利润是多少元．
（2）若所有的T恤都能售完，求该店获得的总利润y（元）与乙种T恤的进货量x（件）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下已知两种T恤进货量都不低于100件，且所进的T恤全部售完，该商店如何安排进货才能获得的利润最大？
【分析】（1）根据销售利润＝单件利润×销售量，将甲、乙两种T恤的利润相加可得答案；
（2）分0＜x＜200和200≤x≤400两种情况，根据总利润＝甲种T恤的利润+乙种T恤的利润和T恤利润＝单件利润×销售量列出函数解析式；
（3）分100≤x＜200和200≤x≤300两种情况，将对应解析式配方成顶点，再利用二次函数的性质求解可得．
解：（1）当甲种T恤进货250件时，乙种T恤进货150件，
根据题意知两种T恤全部售完的利润是（﹣0.1×250+100﹣50）×250+（﹣0.2×150+120﹣60）×150＝10750（元）；
（2）当0＜x＜200时，y＝（﹣0.2x+120﹣60）x+[﹣0.1（400﹣x）+100﹣50]×（400﹣x）＝﹣0.3x2+90x+4000；
当200≤x≤400时，y＝（+50﹣60）x+[﹣0.1（400﹣x）+100﹣50]×（400﹣x）＝﹣0.1x2+20x+10000；
（3）若100≤x＜200，则y＝﹣0.3x2+90x+4000＝﹣0.3（x﹣150）2+10750，
当x＝150时，y的最大值为10750；
若200≤x≤300时，y＝﹣0.1x2﹣16x+10000＝﹣0.1（x﹣100）2+11000，
∵x＞100时，y随x的增大而减小，
∴当x＝200时，y取得最大值，最大值为10000元；
综上，当购进甲种T恤250件、乙种T恤150件时，才能使获得的利润最大．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；
（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．
解：（1）点P从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2＝9s，
点Q从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1＝18s，
∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，
∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：（6+12）﹣1×9＝9cm，
答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；
（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，
当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as，
∵△APQ的面积能否等于22cm2，
∴12×6﹣＝22，
解得，此方程无解；
当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为（b+6）s，
∵△APQ的面积能否等于22cm2，
∴12×6﹣＝22，
解得，b1＝1，b2＝14（舍去），
即需运动6+1＝7s，△APQ的面积能等于22cm2．
26．某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为4.5m，宽度OP为6米，现以地面（OP所在的直线）为x轴建立平面直角坐标系（如图1所示）
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图所示，公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为多少米？
（3）为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架“ABCD（由四根木杆AB﹣BC﹣CD﹣DA组成），使B，C两点在抛物线上．A，D两点在地面OP上（如图2所示），请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆？
【分析】（1）把抛物线的解析式设成顶点式，再代入（6，0），求得结果；
（2）令y＝3，求出＝3的解，再求其横坐标之差的绝对值便可；
（3）设B（x，），用x表示矩形ABCD的周长，根据周长关于x的函数解析式求出其最大值便可．
解：（1）由题意知抛物线的顶点坐标为（3，4.5），则
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+4.5，
∵抛物线上有一点（6，0），
∴0＝9a+4.5，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣+4.5，
即y＝（0≤x≤6）；
（2）当y＝3时，＝3，
解得，，，
∴该横幅的宽度为：（3+）﹣（3﹣）＝2（米），
答：该横幅的宽度为2米；
（3）设B（x，y）
∴B（x，）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝，
根据抛物线的轴对称性，可得：OA＝DP＝x，
∴AD＝6﹣2x，即BC＝6﹣2x，
∴令L＝AB+BD+DC+AD＝2（）+2（6﹣2x）＝﹣（x﹣1）2+13．
∴当x＝1，L最大值为13，
∴AB、BD、DC、AD的长度之和最大值为13米，
答：最多需要准备13米该种木杆．