正余弦定理的应用(新课标A版）
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(共38张PPT)
数学网络自习室
主讲：朱成
2011.1
正弦定理及其变形
正弦定理及其变形
边角分离
正弦定理及其变形
边角分离
正弦定理及其变形
边角分离
练习.在 ABC中，已知 ,判断三角形的形状。
练习.在 ABC中，已知 ,判断三角形的形状。
练习.在 ABC中，已知 ,判断三角形的形状。
解(略)等腰三角形或直角三角形
练习
2，在△ABC 中，已知
（a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin2A=sinBsinC,
判断三角形的形状。
一、要点复习：余弦定理
一、要点复习：余弦定理
一、要点复习：余弦定理
一、要点复习：余弦定理
变形
一、要点复习：余弦定理
变形
二、余弦定理应用
（1）已知三边
（2）已知两边和夹角
二、余弦定理应用
（1）已知三边
（2）已知两边和夹角
练习题答案: 1. 7; 2. 90°; 3. 7.
在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A.
问题2：
在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A.
问题2：
解：条件整理变形得
C
A
B
a
c
b
A=120
0
动手实践：在 ABC中，已知
,求角B.
变式3：
在 ABC中，已知
求角C.
开拓创新：
1.在 ABC中，证明:
2.求
的值.
例4 在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a=bcosC+ccosB
例4 在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a=bcosC+ccosB
证明：由余弦定理知： ，
右边=
A
B
C
D
c
b
a
三，已知三角形形状，
讨论边的取值范围。
2 当△ABC直角三角形时（c>a>b）
当△ABC为钝角三角形时（c>b>a）
当△ABC为锐角三角形时（c>b>a）
当△ABC为锐角三角形时
例1，a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求a 的取值范围。
例2，锐角三角形的三边长为2,x,3，
求x的取值范围。
练习：
三条线段长度为2,x,6
(1)求构成直角三角形时，x的取值范围
(2)求构成锐角三角形时，x的取值范围
(3)求构成钝角三角形时，x的取值范围
例题精选
例3 已知△ABC的三内角A、B、C成等差，而A、B、C三内角的对边a、b、c成等比.试证明：△ABC为正三角形.
例题精选
例3 已知△ABC的三内角A、B、C成等差，而A、B、C三内角的对边a、b、c成等比.试证明：△ABC为正三角形.
证明：
∵a、b、c成等比，∴b2=ac
∵A、B、C成等差，∴2B=A+C，
又A+B+C=180o，∴B=60o，A+C=120o
又由余弦定理得：
∴
，即
，∴a=c
又∵B=60o，∴△ABC是正三角形.
例题精选
例4 在△ABC中，如果 ，
并且B为锐角，试判断此三角形的形状特征。
例题精选
例4 在△ABC中，如果 ，
并且B为锐角，试判断此三角形的形状特征。
解：由 ，
得：
B=45o
，将A=135o-C代入上式，得
∴C=90o
，综上所述，△ABC是等腰直角三角形。
例题精选
例5 在△ABC中，已知， 且
则∠B等于多少？
例题精选
例5 在△ABC中，已知， 且
则∠B等于多少？
答案： ∠B=30o
本课小测
1、在△ABC中，一定成立的等式是（ ）
（A）asinA=bsinA （B）asinB=bsinA
（C）acosA=bcosB （D）acosB=bcosA
2、在△ABC中，A>B是sinA>sinB的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
3、在△ABC中，若A：B：C=3：4：5，则a：b：c等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）
本课小测
4、 在△ABC中，A=60o，b=1，S△ABC=
？
5、已知△ABC中，满足acosA=bcosB，试判断△ABC的形状。
练习1 在△ABC中，已知
1）A=120o，B=30o，a=8，求c；
2）a=14，b=7 ，B= ，求A；
3）b= ，c= ，A=120o，求a；
4）a=2，b=3，c= ，求C
经验：根据已知条件适当选用正弦定理、余弦定理。
数学网络自习室
主讲：朱成
2011.1
正弦定理及其变形
正弦定理及其变形
边角分离
正弦定理及其变形
边角分离
正弦定理及其变形
边角分离
练习.在 ABC中，已知 ,判断三角形的形状。
练习.在 ABC中，已知 ,判断三角形的形状。
练习.在 ABC中，已知 ,判断三角形的形状。
解(略)等腰三角形或直角三角形
练习
2，在△ABC 中，已知
（a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin2A=sinBsinC,
判断三角形的形状。
一、要点复习：余弦定理
一、要点复习：余弦定理
一、要点复习：余弦定理
一、要点复习：余弦定理
变形
一、要点复习：余弦定理
变形
二、余弦定理应用
（1）已知三边
（2）已知两边和夹角
二、余弦定理应用
（1）已知三边
（2）已知两边和夹角
练习题答案: 1. 7; 2. 90°; 3. 7.
在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A.
问题2：
在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A.
问题2：
解：条件整理变形得
C
A
B
a
c
b
A=120
0
动手实践：在 ABC中，已知
,求角B.
变式3：
在 ABC中，已知
求角C.
开拓创新：
1.在 ABC中，证明:
2.求
的值.
例4 在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a=bcosC+ccosB
例4 在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a=bcosC+ccosB
证明：由余弦定理知： ，
右边=
A
B
C
D
c
b
a
三，已知三角形形状，
讨论边的取值范围。
2 当△ABC直角三角形时（c>a>b）
当△ABC为钝角三角形时（c>b>a）
当△ABC为锐角三角形时（c>b>a）
当△ABC为锐角三角形时
例1，a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求a 的取值范围。
例2，锐角三角形的三边长为2,x,3，
求x的取值范围。
练习：
三条线段长度为2,x,6
(1)求构成直角三角形时，x的取值范围
(2)求构成锐角三角形时，x的取值范围
(3)求构成钝角三角形时，x的取值范围
例题精选
例3 已知△ABC的三内角A、B、C成等差，而A、B、C三内角的对边a、b、c成等比.试证明：△ABC为正三角形.
例题精选
例3 已知△ABC的三内角A、B、C成等差，而A、B、C三内角的对边a、b、c成等比.试证明：△ABC为正三角形.
证明：
∵a、b、c成等比，∴b2=ac
∵A、B、C成等差，∴2B=A+C，
又A+B+C=180o，∴B=60o，A+C=120o
又由余弦定理得：
∴
，即
，∴a=c
又∵B=60o，∴△ABC是正三角形.
例题精选
例4 在△ABC中，如果 ，
并且B为锐角，试判断此三角形的形状特征。
例题精选
例4 在△ABC中，如果 ，
并且B为锐角，试判断此三角形的形状特征。
解：由 ，
得：
B=45o
，将A=135o-C代入上式，得
∴C=90o
，综上所述，△ABC是等腰直角三角形。
例题精选
例5 在△ABC中，已知， 且
则∠B等于多少？
例题精选
例5 在△ABC中，已知， 且
则∠B等于多少？
答案： ∠B=30o
本课小测
1、在△ABC中，一定成立的等式是（ ）
（A）asinA=bsinA （B）asinB=bsinA
（C）acosA=bcosB （D）acosB=bcosA
2、在△ABC中，A>B是sinA>sinB的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
3、在△ABC中，若A：B：C=3：4：5，则a：b：c等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）
本课小测
4、 在△ABC中，A=60o，b=1，S△ABC=
？
5、已知△ABC中，满足acosA=bcosB，试判断△ABC的形状。
练习1 在△ABC中，已知
1）A=120o，B=30o，a=8，求c；
2）a=14，b=7 ，B= ，求A；
3）b= ，c= ，A=120o，求a；
4）a=2，b=3，c= ，求C
经验：根据已知条件适当选用正弦定理、余弦定理。