直线的两点式方程（新课标A版）
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文档简介
(共27张PPT)
直线的
两点式方程
y=kx+b
y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点
k为斜率，b为截距
1). 直线的点斜式方程：
2). 直线的斜截式方程：
一、复习
解：设直线方程为：y=kx+b
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．
一般做法：
由已知得：
解方程组得：
所以:直线方程为: y=x+2
方程思想
举例
还有其他做法吗？
为什么可以这样做，这样做的根据是什么？
即：
得: y=x+2
设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：
二、直线的两点式方程
已知两点P1 ( x1 , y1 ),P2(x2 , y2),求通过这两点的直线方程．
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点．
可得直线的两点式方程：
∴
∵ kPP1= kP1P2
记忆特点：
1.左边全为y，右边全为x
2.两边的分母全为常数
3.分子，分母中的减数相同
推广
不是!
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式 写出直线方程呢？
两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
注意：
当x1 ＝x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因为x1 ＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢
三、直线的两点式方程的应用
若点P1 (x1 , y1 ),P2( x2 , y2)中有x1 ＝x2,或y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么
当x1 ＝x2 时方程为： x ＝x１
当 y1= y2时方程为： y = y１
例2:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程．
解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:
即
所以直线l 的方程为：
四、直线的截距式方程
②截距可是正数,负数和零
注意：
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线
直线与 x 轴的交点(a, o)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢
截距式直线方程:
直线与 y 轴的交点(0, b)的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距
⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条
解: ⑴ 两条
例3:
那还有一条呢？
y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
所以直线方程为：x+y-3=0
a=3
把(1,2)代入得：
设:直线的方程为:
举例
解：三条
(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条
解得：a=b=3或a=-b=-1
直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x
设
截距可是正数,负数和零
例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，
B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线
方程，以及该边上中线的直线方程.
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
整理得：5x+3y-6=0
这就是BC边所在直线的方程.
举例
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：
即
整理得：x+13y+5=0
这就是BC边上中线所在的直线的方程.
过A(-5,0),M 的直线方程
M
中点坐标公式：
则
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2)
且中点M的坐标为(x, y).
∵B(3,-3),C(0,2)
∴ M
即 M
已知直线l :2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的直线l 1的方程.
解：当x=0时,y=3.点(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7).
当x=-2时,y=1. 点(-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).
那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上.
因此,直线l 1的方程为：
化简得: 2x + y -11=0
思考题
还有其它的方法吗？
∵ l ∥l 1，所以l 与l 1的斜率相同
∴ kl1=-2
经计算，l 1过点(4,3)
所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)
化简得： 2x + y -11=0
名 称 几 何 条 件 方程 局限性
归纳
直线方程的四种具体形式
(1) 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x , y的二元一次方程表示吗？
(2) 每一个关于x , y的二元一次方程都表示直线吗？
思考
分析：直线方程 二元一次方程
(2) 当斜率不存在时L可表示为 x - x0=0,亦可看作y的系数为0的二元一次方程.
(x-x0+0y=0)
结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关于 x , y 的二元一次方程表示.
(1) 当斜率存在时L可表示为 y=kx+b 或 y - y0 = k ( x - x0 ) 显然为二元一次方程.
即：对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0 (A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？
（1）当B 0时，方程可变形为
它表示过点 ，斜率为 的直线.
（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不为零,于是方程可化为 ，它表示一条与 y 轴平行或重合的直线.
结论2: 关于 x , y 的二元一次方程,它都表示一条直线.
直线方程 二元一次方程
由1，2可知：
直线方程 二元一次方程
定义：我们把关于 x , y 的二元一次方程
Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)
叫做直线的一般式方程，简称一般式.
定义
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线
（1）平行于x轴：（2）平行于y轴：
（3）与x轴重合：（4）与y轴重合：
分析: (1)直线平行于x轴时,直线的斜率不存在,在x轴上的截距不为0．即 A=0 , B 0,C 0.
(2) B=0 , A 0 , C 0.
(3) A=0 , C=0 , B 0.
(4) B=0 , C=0 , A 0.
探究
例 1 已知直线过点A(6，4)，斜率为 ,求直线的点斜式和一般式方程.
解：代入点斜式方程有 y+4= (x-6).
化成一般式，得
4x+3y-12=0.
举例
例2 把直线L的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形.
解：化成斜截式方程
y= x+3
因此，斜率为k= ,它在y轴上的截距是3.
令y=0 得x=－6.即L在x轴上的截距是－6.
由以上可知L与x 轴,y轴的交点
分别为A(-6，0)B(0，3),过
A，B做直线,为L的图形.
举例
m , n 为何值时,直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直
解:（1）若两条直线的斜率都存在，则m不等于0， 且两条直线的斜率分别为 但由于
所以两条直线不垂直.
（2）若m=0，则两条直线中一条直线的斜率为0，另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方程分别为
综上知：m=0，n为全体实数时，两条直线垂直.
点评:分类讨论思想的运用,如不分类将找不到正确答案.
练习
3)中点坐标：
1)直线的两点式方程
2) 直线方程的一般式Ax+By+C=0
小结
直线的截距式方程：
直线的
两点式方程
y=kx+b
y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点
k为斜率，b为截距
1). 直线的点斜式方程：
2). 直线的斜截式方程：
一、复习
解：设直线方程为：y=kx+b
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．
一般做法：
由已知得：
解方程组得：
所以:直线方程为: y=x+2
方程思想
举例
还有其他做法吗？
为什么可以这样做，这样做的根据是什么？
即：
得: y=x+2
设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：
二、直线的两点式方程
已知两点P1 ( x1 , y1 ),P2(x2 , y2),求通过这两点的直线方程．
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点．
可得直线的两点式方程：
∴
∵ kPP1= kP1P2
记忆特点：
1.左边全为y，右边全为x
2.两边的分母全为常数
3.分子，分母中的减数相同
推广
不是!
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式 写出直线方程呢？
两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
注意：
当x1 ＝x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因为x1 ＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢
三、直线的两点式方程的应用
若点P1 (x1 , y1 ),P2( x2 , y2)中有x1 ＝x2,或y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么
当x1 ＝x2 时方程为： x ＝x１
当 y1= y2时方程为： y = y１
例2:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程．
解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:
即
所以直线l 的方程为：
四、直线的截距式方程
②截距可是正数,负数和零
注意：
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线
直线与 x 轴的交点(a, o)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢
截距式直线方程:
直线与 y 轴的交点(0, b)的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距
⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条
解: ⑴ 两条
例3:
那还有一条呢？
y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
所以直线方程为：x+y-3=0
a=3
把(1,2)代入得：
设:直线的方程为:
举例
解：三条
(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条
解得：a=b=3或a=-b=-1
直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x
设
截距可是正数,负数和零
例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，
B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线
方程，以及该边上中线的直线方程.
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
整理得：5x+3y-6=0
这就是BC边所在直线的方程.
举例
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：
即
整理得：x+13y+5=0
这就是BC边上中线所在的直线的方程.
过A(-5,0),M 的直线方程
M
中点坐标公式：
则
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2)
且中点M的坐标为(x, y).
∵B(3,-3),C(0,2)
∴ M
即 M
已知直线l :2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的直线l 1的方程.
解：当x=0时,y=3.点(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7).
当x=-2时,y=1. 点(-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).
那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上.
因此,直线l 1的方程为：
化简得: 2x + y -11=0
思考题
还有其它的方法吗？
∵ l ∥l 1，所以l 与l 1的斜率相同
∴ kl1=-2
经计算，l 1过点(4,3)
所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)
化简得： 2x + y -11=0
名 称 几 何 条 件 方程 局限性
归纳
直线方程的四种具体形式
(1) 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x , y的二元一次方程表示吗？
(2) 每一个关于x , y的二元一次方程都表示直线吗？
思考
分析：直线方程 二元一次方程
(2) 当斜率不存在时L可表示为 x - x0=0,亦可看作y的系数为0的二元一次方程.
(x-x0+0y=0)
结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关于 x , y 的二元一次方程表示.
(1) 当斜率存在时L可表示为 y=kx+b 或 y - y0 = k ( x - x0 ) 显然为二元一次方程.
即：对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0 (A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？
（1）当B 0时，方程可变形为
它表示过点 ，斜率为 的直线.
（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不为零,于是方程可化为 ，它表示一条与 y 轴平行或重合的直线.
结论2: 关于 x , y 的二元一次方程,它都表示一条直线.
直线方程 二元一次方程
由1，2可知：
直线方程 二元一次方程
定义：我们把关于 x , y 的二元一次方程
Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)
叫做直线的一般式方程，简称一般式.
定义
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线
（1）平行于x轴：（2）平行于y轴：
（3）与x轴重合：（4）与y轴重合：
分析: (1)直线平行于x轴时,直线的斜率不存在,在x轴上的截距不为0．即 A=0 , B 0,C 0.
(2) B=0 , A 0 , C 0.
(3) A=0 , C=0 , B 0.
(4) B=0 , C=0 , A 0.
探究
例 1 已知直线过点A(6，4)，斜率为 ,求直线的点斜式和一般式方程.
解：代入点斜式方程有 y+4= (x-6).
化成一般式，得
4x+3y-12=0.
举例
例2 把直线L的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形.
解：化成斜截式方程
y= x+3
因此，斜率为k= ,它在y轴上的截距是3.
令y=0 得x=－6.即L在x轴上的截距是－6.
由以上可知L与x 轴,y轴的交点
分别为A(-6，0)B(0，3),过
A，B做直线,为L的图形.
举例
m , n 为何值时,直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直
解:（1）若两条直线的斜率都存在，则m不等于0， 且两条直线的斜率分别为 但由于
所以两条直线不垂直.
（2）若m=0，则两条直线中一条直线的斜率为0，另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方程分别为
综上知：m=0，n为全体实数时，两条直线垂直.
点评:分类讨论思想的运用,如不分类将找不到正确答案.
练习
3)中点坐标：
1)直线的两点式方程
2) 直线方程的一般式Ax+By+C=0
小结
直线的截距式方程：