相反数和绝对值
知识结构导图
知识点四：相反数（重点）
1概念：只有符号不同的两个数叫做相反数。（在数轴上分别位于原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。）
注意：⑴相反数是成对出现的；
⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0
2相反数的性质与判断：
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
（常考点）
3相反数的表示方法：
⑴一般地，数a
的相反数是-a
，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
4多重符号的化简：
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；
“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
例题：如果a+b=0，那么a，b两个实数一定是
（
）
A.都等于0
B.一正一负
C.互为相反数
D.互为倒数
检测：
1化简符号：－[－(－3)]
=
，－[＋(－3)]
=
相反数是它本身的数是
3、写出下列各数的相反数，并把所有的数(包括相反数)在数轴上表示出来．
4，，，+(－4.5)，0，－(+3)
知识点五：绝对值（难点）
1概念：
绝对值的定义：数轴上表示a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记为
∣a∣，读作：a的绝对值
2绝对值的代数定义：
正数的绝对值是本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
反之，绝对值等于本身的数必然为正数和0；绝对值为它的相反数的数为负数和0；
绝对值的性质：
绝对值非负：正数和负数的绝对值都为正数；0的绝对值为0，0的绝对值最小;
如果一个数的绝对值为0，那么这个数必然为0;
如果一个式子的绝对值为0，那么这个式子必然为0；
如果两个式子的绝对值之和为0，那么这两个式子同时为0；
绝对值为正数的数有两个，这两个数互为相反数；
所以当绝对值确定时，数并不能确定，而是一正一负都有可能。
（4)
如果一个数与它的绝对值和为0，那么这个数为负数或0
4有理数大小的比较：（1)
绝对值法：两个正数，绝对值大的大；两个负数，绝对值大的小；正数与负数，正数大于负数。
（2）数轴法：在数轴上表示（想象）出两个数的位置，右边>
左边。
例题：|＋2|＝________，|－2|＝________，－|－2|＝________，
－|＋2|＝________，|0|＝________；
检测：1、绝对值最小的数是
，绝对值等于|-6|的数是
2、已知?，且?，求的值.
3、已知|a+2|+|b-3|=0，则
b-a/5
=
知识点六：倒数与负倒数
倒数：若a与b的乘积是1，则称a与b互为倒数；反之，若a与b互为倒数，则ab=1;
注意：1.
0没有倒数
2.求带分数的倒数时要先将其变成假分数，然后再求倒数；
3.求小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数。
2.负倒数：若a与b的乘积是-1，则称a与b互为倒数；反之，若a与b互为倒数，则ab=
-1.
例题、已知、互为相反数，、互为倒数，=2且,则的值为_________.
检测、
已知、互为相反数，、互为倒数．且，求的值．
出门考：
日期：_______
科目：数学
1．一个数的相反数不是负数，则这个数一定是（ ）
A.负数
B.正数
C.正数或零
D.负数或零
2、1-的相反数是________;
绝对值不大于4.5的整数有________；
已知2＜＜4，化简|2－|＋|－4|＝________.
5、已知：||＝7，||＝4，求的值．
课后作业
一、选择题
1．-的相反数是（ ）
A.2
B.－2
C.
D.
2．下列各数中是负数的是（ ）
A.-（-4）
B.-0
C.
D.
3．下列说法正确的是（ ）
A.
符号不同的数互为相反数
B.
所有的有理数都有相反数
C.
正数与负数互为相反数
D.
在数轴上原点两边的两个数互为相反数
4．－2的绝对值等于(
)
A.2
B.－2
C.
D.－
5．若，则下列结论正确的是（
?）?
A.??
B.??
C.?
D.
6．下列说法不正确的是（????）?
A.有理数的绝对值一定是正数?
B.数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远?
C.一个有理数的绝对值一定不是负数?
D.两个互为相反数的绝对值相等
7．已知为有理数，下列式子一定正确的是（
?）?
A.??
?B.??
C.???
?D.
二、填空题
1．-5的相反数是________，-（-5）的相反数是________；
2．若,则=________,若,
则=________;若,则=________,若，则=________,若,则=_________;
3．已知、互为相反数，、互为倒数，=2且,则的值为_________.
4．已知||＝2.5，则＝________，________的绝对值是6；
5．绝对值不大于4.5的整数有________；
6．已知2＜＜4，化简|2－|＋|－4|＝________.
三、解答题
1．如图所示,一个单位长度表示2,观察图形,回答问题:
（1）若B与D所表示的数互为相反数,则点D所表示的数字为_________;
（2）若A与D所表示的数互为相反数,则点D所表示的数字为_________;
（3）若B与F所表示的数互为相反数,则点D所表示的数字的相反数为_________.
?
2．小李在做题时，画了一条数轴，在数轴上原有一点A，其表示的数是－3，由于粗心，把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在－3的相反数的位置，想一想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度？
3．已知表示数的点在数轴上位置如图所示.
（1）在数轴上表示出数的相反数的位置；
（2）若数与其相反数相距20个单位长度，则表示的数是多少？
（3）在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，求表示的数是多少？
4．已知：||＝7，||＝4，求的值．
5．若，求与的值．有理数
知识结构导图
第一节
有理数的概念及分类
知识结构导图
知识点：正数和负数
正数：大于零的数
如：2，3，6，，+4，1.5
。
正号
+
可省略
负数：小于零的数
如：-2，-1，-5，-，-2.3。
负号
-
不可省略
（在正数前面加上负号“—”的数）
零
：“0”既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点
注意：①、字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。
②、“0”既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点
。
③、“0”并不是没有意义（如冰水结合点，地平面高度）。
4、具有相反意义的量：正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。（前和后，东和西......)
例题：1、下列说法错误的是（
）
A、0是自然数
B、0是整数
C、0是偶数
D、海拔0米表示没有海拔
2.、既是分数，又是正数的是（
）
A．+5
B
-5
C．0
D
8
3、
下列结论中正确的是
（
）
A．0
既是正数，又是负数
B．0
是最小的正数
C．0
是最大的负数
D．0
既不是正数，也不是负数
检测.1、
给出下列各数：3，0，+5，
2
1
，+3.1，
-4.5，2004，+2008．其中是负数的有（
）
A．2
个
B．3
个
C．4
个
D．5
个
2、
向东行进-50
m
表示的意义是（
）
A．向东行进
50m
B．向南行进
50m
C．向北行进
50m
D．向西行进
50m
3、任意写出
5
个正数：____________________________；任意写出
5
个负数：______________________________．
知识点：有理数
1、有理数：整数与分数统称为有理数
注意：1、有理数只包括整数和分数，（那小数呢？）
无限不循环小数不是有理数,叫做无理数。如圆周率π就不是有理数了。
2、0是整数不是分数。
3、引入负数后，奇、偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,也是偶数，-1,-3,-5也是奇数。
有理数的分类
除无限不循环小数外，如圆周率π。其他的数都是有理数。
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
例题、1、把下列各数填在相应的大括号内???
15，，0.81，－3，，－3.1，－4，171，0，3.14
正数集合{????????
?????????????????????????…}
负数集合{?????????????
????????????????????…}
正整数集合{???????????????????????????????…}
负整数集合{???????????????????????????????…}
有理数集合{???????????????????????????????…}
2、（
）
统称为整数，
（
）
统称为有理数；
（
)和(
)
统称为非负数；
(
)
和
(
)统称为非正数；
(
)和
(
)统称为非正整数；
(
)
和
(
)统称为非负整数。
检测1、下列既不是正数又不是负数的是（
）
A、－1
B、＋3
C、0.12
D、0
2、下列说法正确的是（
）
A、整数就是正整数和负整数
B、分数包括正分数、负分数
正有理数和负有理数组成全体有理数
D、一个数不是正数就是负数。
3、下列一定是有理数的是（
）
A、π
B、
C、
D、
知识点三：数轴（重点）
1概念：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。
概念解释：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸
（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可，原点表示数0
(3)数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，
单
位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。
（4）同一数轴的单位长度必须一致
2.数轴的画法：（1）通常情况下，画一条水平直线
（画竖直的直线也可以。）
（2）在直线上选取一点为原点，原点表示数0，在原点下边标上0
（3）规定从原点向右的为正方向，用箭头表示→
；那么相反的方向（从原点向左）为负方向。
（4）选择适当的长度为单位长度
数轴上的点与有理数的关系：
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
利用数轴表示两数大小：
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
例题：请画出一条数轴，在并且在数轴上标出下面的有理数：3，-2，-3.5，0，+2，0.5.
检测1、在同一个数轴上表示下列有理数：1.5，－2.5，，0，．
2、在数轴上有四个点A、B、C、D，如图所示：
(1)写出这四个点所表示的数；
(2)将点B向左移动3个单位，再向右移动5个单位到达的点表示的是什么数？
出门考：
日期：_______
科目：数学
有理数中，最小的正整数是___________，最大的负整数是_____________;
2、把下列各数填在表示集合的相应大括号中：
+6，－8，－0.4，25，0，－，9.15，1
整数集合
﹛
﹜
分数集合
﹛
﹜
非负数集合﹛
﹜
正数集合
﹛
﹜
负数集合
﹛
﹜
3、数轴上到原点的距离为5的点所表示的数是（
）
A．5
?B．|-5|
C．|±5|?
D．+5或-5
4、下列说法中，错误的是( )
A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示
B．数轴上的原点表示0
C．在数轴上表示－3的点与表示－1的点的距离是－2
D.数轴上表示的点，在原点左边个单位
5、把数4，－3,1.5,表示在数轴上，并将它们按从小到大的顺序排列．
课后作业
一、选择题
1．在－3，－1，0，－，2002各数中，是正数的有（
）
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
2．下列既不是正数又不是负数的是（
）
A、－1
B、＋3
C、0.12
D、0
3．下列说法正确的是（
）
A、整数就是正整数和负整数
B、分数包括正分数、负分数
C、正有理数和负有理数组成全体有理数
D、一个数不是正数就是负数。
4．数轴上到原点的距离为5的点所表示的数是（
）
A．5
?B．|-5|
C．|±5|?
D．+5或-5
5．下列说法中，错误的是( )
A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示
B．数轴上的原点表示0
C．在数轴上表示－3的点与表示－1的点的距离是－2
D.数轴上表示的点，在原点左边个单位
6．下列绘制的数轴正确的是( )
7．点A为数轴上表示－2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长到B时，点B所表示的实数是( )
A．1??????
?B．－6????
??C．2或－6???
D．不同于以上
二、填空题
1．某日，泰山的气温中午12点为5℃，到晚上8点下降了6℃.那么这天晚上8点的气温为_____________;
2．若上升10m记作10m，那么－3m表示___________________.
3．最小的正整数为______，最大的负整数为________，最小的自然数为________，最小的非负数为______，最大的非正数为________，最大的负整数为________．
4．点A在数轴上表示的数是＋1，从点A出发，沿数轴向左平移3个单位长度到达点B，则点B所表示的数是________．
5．在数轴上，与表示－1的点距离为2的点所表示的数为________．
三、解答题
1．把数4，－3,1.5,表示在数轴上，并将它们按从小到大的顺序排列．
2．在数轴上有三个点A，B，C如图所示，请回答：
（1）将B点向左移动3个单位长度后，三个点表示的数谁最小？
（2）与A点相距3个单位长度的点所表示的数是什么？
（3）将C点左移6个单位长度后，这时B点表示的数比C点表示的数大多少？
3．一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走4千米到达小明家，继续向东走1千米到达小红家，然后向西走10千米到达小刚家，最后回到百货大楼．以百货大楼为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置．第二节
一元一次方程的解法
知识结构导图
知识点：一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤
变型名称
注意事项
去分母
防止漏乘（尤其是没有分母的项常数项），
注意添括号；
去括号
注意系数符号，
防止漏乘；
移项
移项要变号，
防止漏项；
合并同类项
系数为1或-1时,记得省略1；
系数化为1
分子、分母不要写倒了；
一、去分母
去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；
注意：去分母时要
注意什么问题?
(1)方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数
(2)去分母后如分子中含有两项,应将该分子添上括号
例1、
解：去分母(方程两边同乘以6）,得
3（x+1)-2x=6
去括号,得
3x+3-2x=6
移项,得
3x-2x=6-3
合并同类项,得
X=3
检测：解方程：
二、去括号
1．去括号------就是乘法分配律???
注意：（1）括号内，每一项都要乘?
同号为正------“＋字母数字”?异号为负------“－字母数字”?
去完括号后不存在括号?
有多重括号时，从内到外。既小括号、中括号、大括号。?
化简就是把答案化为最简单的形式?-------①去括号；②合并同类项?
2、去括号法则?
（1）要注意括号前面的符号，它是去括号括号内各项是否变号的依据；
（2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉；?
（3）要注意括号前是“－”号时，去掉括号后，括号内的各项都要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而忘记改变其余的符号。
（4）若括号前是数字因数时，应利用乘法分配律先将该数与括号内的各项分别相乘再去括号，以免发生符号错误；?
（5）多层括号的去法；?
①对于含有多层括号的问题，应先观察式子的特点，再决定去掉多层括号的顺序，以使运算简便，一般由内到外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，有时也可从外到内，先去大括号，再去中括号，最后去小括号，去大括号时，要将中括号视为一个整体，去中括号时，要将小括号视为一个整体。
例1、10x－4(3－x)－5(2＋7x)＝15x－9(x－2)
解：去括号，得10x-12+4x-10-35x=15x-9x+18
移项，得10x+4x-35x-15x+9x=18+12+10
合并同类项，得-27x=40
系数化为1，得x=-
检测：1、解方程3(2－3x)－3[3(2x－3)＋3]＝5
2.
解方程
三、移项
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
注意：1、移项后一定要变号
解方程时，既要移含未知数的项，又要移常数项
思考：上面解方程中“移项”起了什么作用？
通过移项，含未知数的项与常数项分别列于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式。
例3、解方程5+2x=1
解：移项，得
2x=1-5
即
2x=-4
两边同除以2得x=-2
例4解方程8-x=3x+2
解：移项，得
合并同类项，得
两边同除以-4，得x=
检测：1、解方程
(1)2x－19＝7x＋6；
(2)x－2＝x＋；
(3)2.4x－3x－1.4x＝5.2－8；
(4)＋＋＝4－30；
四、合并同类项
1同类项：含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。
注意：a、同类项必须具备两个条件：所含字母相同；相同字母的指数也分别相同。二者缺一不可。
b、同类项与系数、字母的排列顺序无关。
c、所有的常数项都是同类项，单独的一项不能说是同类项，同类项至少针对两项而言。
2合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
注意：(1)
合并的前提是同类项。
(2)
合并指的是系数相加，字母和字母的指数保持不变。
(3)
合并同类项的根据是加法交换律、结合律以及分配律。
例1某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍，前年这个学校购买多少台计算机？
分析：设前年购买计算机______台
那么去年购买计算机______台，今年购买计算机______台
由前年购买量+去年购买量+今年购买量＝________台
列方程得：x+2x+4x=140
把含有x的项合并，得7x=140
系数化为1,得x=20
温馨提示：
上面的问题蕴含着一个基本的相等关系，即总量＝各部分量的和
思考：上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？
合并同类项的作用：合并同类项起到了“化简”的作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为ax=b，使其更接近x=a的形式(其中a,b是常数)
5、系数化为1
方程的解写成
x=a
的形式。
注意：分子、分母不要写倒了
例题
解方程：
(1)＝；
(2)＝x＋3；
（3）2(3x－2)－5x＝0；
（4）(x－2)＝3－(x－2)．
一、归纳总结
去分母时一定要注意不含分母的项也得乘以它们的最小公倍数
去括号时是一定要注意去括号的顺序，并注意括号前面的性质符号，且括号外面要与括号里面的每一项都要相乘
3、做应用题时，首先要认真审题，寻找关系式，列方程，然后再解方程！
二、归纳总结
1、理解什么是同类项
合并同类项指的是系数进行加减
移项时一定要变号
检测：1．解方程2x－3＝1时，移项正确的是( )
A．2x＝1－3
B．2x＝1＋3
C．2x＝－1－3
D．2x＝－1＋3
2.下列方程变形中，移项正确的是( )
A．从8＋x＝12得x＝12＋8
B．从5x＋8＝4x得5x－4x＝8
C．从10x－2＝4＋2x得10x－2x＝4＋2
D．从2x＝3x－5得2x－3x＝5
3.已知x＝3是关于x的方程2x－a＝ax－2的解，则a的值为( )
A．－2
B．2
C．－4
D．4
4.方程4x－2＝3－x解答过程顺序是( )
①合并，得5x＝5；②移项，得4x＋x＝3＋2；③系数化为1，得x＝1.
①②③
B．③②①
C．②①③
D．③①②
5.若关于x的方程2mx－3m＝3x＋2的解是8，则m的值为( )
A．2 B．8 C．－2 D．－8
6.关于x的方程3－x＝2a与方程x＋3x＝28的解相同，则a的值为( )
A．2
B．－2
C．5
D．－5
7.
解下列方程：
(1)4x＝9＋x；
(2)4－x＝7+x；
（3）6x＝3+5x；
(4)－＝9-x；
出门考：
日期：_______
科目：数学
1、方程－2(x－1)－4(x－2)＝1去括号正确的是(
)
A．－2x＋2－4x－8＝1
B．－2x＋1－4x＋2＝1
C．－2x－2－4x－8＝1
D．－2x＋2－4x＋8＝1
2、若与互为倒数，则x的值为(
)
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3、若的值比的值小1，则的值为（
）.
（A）
（B）－
（C）
（D）－
4、下列各方程合并同类项不正确的是(
)
A．由3x－2x＝4，合并同类项，得x＝4
B．由2x－3x＝3，合并同类项，得－x＝3
C．由5x－2x＋3x＝12，合并同类项，得x＝－2
D．由－7x＋2x＝5，合并同类项，得－5x＝5
5、解下列方程：
（1）；
（2）
1.解方程时，移项法则的依据是（
）.
（A）加法交换律
（B）加法结合律
（C）等式性质1
（D）等式性质2
2.
解方程，去括号正确的是（
）.
（A）
（B）
（C）
（D）
3.解方程的步骤中，去分母一项正确的是（
）.
（A）
（B）
（C）
（D）
4.若的值比的值小1，则的值为（
）.
（A）
（B）－
（C）
（D）－
5.解方程步骤下：
①去括号，得
②移项，得
③合并同类项，得
④系数化为1，得
检验知：不是原方程的根，说明解题的四个步骤有错，其中做错的一步是（
）.
（A）①
（B）②
（C）③
（D）④
6.
某项工作由甲单独做3小时完成，由乙独做4小时完成，乙独做了1小时后，甲乙合做完成剩下的工作，这项工作共用（
）小时完成.
（A）
（B）
（C）
（D）
二、耐心填一填
7.当=_____时，的值等于－的倒数.
8.已知，则的值是________.
9.当=_____时，式子与式子的值相等.
10.
在公式y=kx+b中,b=-3,x=2,y=3,则k=_______.
11.一列火车匀速驶入长300米的隧道，从它开始进入到完全通过历时25秒钟，隧道顶部一盏固定灯在火车上垂直照射的时间为10秒钟，则火车的长为________.
12.
一艘轮船航行在A、B两码头之间，已知水流速度是3千米/小时，轮船顺水航行需要5小时，逆水航行需要7小时，则A、B两码头之间的航程是_________千米.
三、用心想一想
13.解下列方程：
（1）；
（2）；
已知关于x的方程
的解互为倒数,求m的值.
有一个只允许单向通过的窄道口,通常,每分钟可通过9人,一天,王老师到达通道口时,发现由于拥挤,每分钟只能3人通过道口,此时,
自己前面还有36人等待通过(假定先到先过,王老师过道口的时间忽略不计),通过道口后,
还需7分钟到学校.
(1)此时,若绕道而行,要15分钟到达学校,以节省时间考虑,
王老师应选择绕道去学校还是选择通过拥挤的道口去学校?
(2)若在王老师等人的维持下,几分钟后,秩序恢复正常(维护秩序期间,
每分钟仍有3
人通过道口),结果王老师比拥挤的情况提前了6分钟通过道口,
向维持秩序的时间是多少?
16．我校初中一年级120名同学,在植树节那天要栽50棵树,
其中有30
棵小树,20棵大树,两位同学一起可以完成一棵小树的栽植,3位同学一起可以完成一棵大树的栽植,结果当天顺利地完成了全部任务.
阅读上面的材料,编制适当的题目,利用数学知识求解.第一节
单项式和多项式
知识结构导图
知识点一：单项式
1.概念：式子,它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
注意：单项式是一种特殊的式子，它包含一种运算、三种类型。
一种运算是指数与字母、字母与字母之间只能是乘法的一种运算，不能有加、减、除等运算符号；
三种类型是指：一是数字与字母相乘组成的式子，如;二是字母与字母组成的式子，如;三是单独的一个数或字母，如
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
注意：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是2；的系数是，2.7m的系数是2.7。
（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如－的系数是－2
（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或－1，不能认为是0，如－的系数是－1；的系数是1。
（4）表示圆周率的，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2xy的系数就是2
3单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母Z的指数是1而不是0.
（2）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数。
（3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式－的次数是2＋3＋4=9而不是13次。
（4）单项式通常根据单项式的次数进行命名。如是一次单项式，是三次单项式。
例题：下列说法正确的是(
)
A．单项式的系数是
B．单项式的次数是
C．是单项式
D．单项式可能不含有字母
检测：
1、判断下列各代数式是不是单项式？若是，写出它的系数与次数。
(2)abc；
(3)b；
(4)－5ab；
(5)y；
(6)－xy；
(7)－5
2、用含有字母的式子填空,看看列出的式子有什么特点？
（1）边长为a的正方体的表面积为（
），体积为（
）。
（2）铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍，圆珠笔的单价是（
）元。
（3）一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶的路程为（
）。
（4）数n的相反数是（
）。
3、用单项式填空，并指出它们的系数和次数
（1）每包书有12册，n包书有
册；
（2）底边长为a，高为h的三角形的面积是
；
（3）一个长方体的长和宽都是a，高是h，它的体积是
；
（4）产量由m千克增长，就达到
千克；
知识点二：多项式
1.概念：几个单项式的和叫做多项式。
相关概念：
多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项。
常数项：不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数。
（4）整式：单项式与多项式统称整式。
注意：
概念中“几个单项式的和”是指两个或两个以上的单项式相加。如,
2＋3－7等这样的式子都是多项式。
2、多项式的每一项都包含前面的符号，如多项式－共有三项，它们分别是
－,,－9,一个多项式中含有几个单项式就说这个多项式是几项式如－共有三项，所以就叫三项式。
3、多项式的次数不是所有项的次数之和，也不是各项字母的指数和，而是组成这个多项式的单项式中次数最高的那个单项式的次数，如多项式－是由三个单项式－,,－9组成，而在这三个单项式中－的次数最高，且为4次，所以这个多项式的次数就是4.这是一个四次三项式。对于一个多项式而言是没有系数这一说法的。
例题：
多项式是
次
项式，关于字母的最高次数项是
，关于字母的最高次项的系数
，把多项式的项按的降幂排列
。
多项式3n4－2n2＋1的项为（
），次数为（
），常数项为（
）。
检测：
已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值。
填空：－a2b－ab＋1是
次
项式，其中三次项系数是
，二次项为
，常数项为
，写出所有的项
。
3、已知代数式2x2－mnx2＋y2是关于字母x、y的三次三项式，求m、n的条件。
出门考：
日期：_______
科目：数学
1、用单项式填空，并指出它们的系数和次数
（1）每包书有12册，n包书有（
）册，系数（
），次数（
）
（2）底边长为a，高为h的三角形的面积是（
），系数（
），次数（
）
2、多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为（
），次数为（
）。
3、指出下列多项式的项和次数：
(1)3x－1＋3x2；
(2)4x3＋2x－2y2。
4、指出下列多项式是几次几项式。
(1)x3－x＋1；
(2)x3－2x2y2＋3y2。
5、已知代数式3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件。
1.
某粮食的亩产量为n
，增产
20％后的亩产量应为(
)
A.
(1-20％)n
B.
(1+20％)n
C.(n+20％)
D.
(n-20％)
2.
与2a-1
的和是
8
的数是（
）
A.(2a-1)+8
B.
8-2a-1
C.8-(2a-1)
D.
2a-1-8
3.
代数式：2x2
、-3
、x-2y
、t
、m3+2m2-m，其中单项式的个数是(
)
A．4
个
B．3
个
C．2
个
D．1
个
4.a与
5
的和的
3
倍用代数式表示是________________。
5.单项式
102ab2c是________次单项式。
6.
下列多项式是二次三项式的是(
)
A．2x2+3
B．3x2+2
C．2x+3y+1
D．2x2+3y+1
7.
下列各式不是整式的是(
)
A.3x2+5y
B.
x2-2xy-y2
C.
4x+7y-
D.
(x3+y3)
8.
下列多项式是二次四项式的是(
)
A.
X4－y2
B.
a－
b－7
C.
5＋m
－n2
D.
a2＋b2
－
a＋
1
9.
单项式-7x2y
，3x2y2z
，
-4x3的和是(
)
A.
五次三项式
B.
五次四项式
C.
三次多项式
D.
四次多项式
10.
多项式1+2xy-3xy2
的次数及最高次项的系数分别是(
)
A.
3，-3
B.
2，-3
C.
5，-3
D.
2，3
11.
下列多项式是二次三项式的是(
)
A．2x2+3
B．3x2+2
C．2x+3y+1
D．
2x2+3y+1
12.
下列各式-2
，3xy
，x-y
，
3x＞2
，-x
，0
，+x
中，是整式的是_______
，是单项式的是
_________
，是多项式的是__________
，是常数项的是_________
.
能力提升
1.
x是一个两位数，
y是一个三位数，把x
放在
y的左边构成一个五位数，则这个五位数的表达
式是(
)
xy
B．10x+y
C．1000+y
D．100x+1000y
某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多
10
人，
两种都会的有
7
人.设会弹古筝的有m
人，则该班同学共有____
____
人(用含
m的代数式表示).
如果(a-5)mnb+2
是关于m，
n的五次单项式，则
a________，
b_______.
4.
对于多项式-3x+2xy2-1
，下列说法正确的是(
)
A．一次项系数是
3
B．最高次项是2xy2
C．常数项是
1
D．是四次三项式
5.
一个两位数的个位数字是a
，十位数字是b
，那么这个两位数可以表示为(
)
A．Ab
B．10a+b
C．a+10b
D．
10(a+b)
6.多项式
xy-4x2y+1是________次_______项式，最高次项的系数是___________．
7.若
x3+(m+1)x2+x+2没有二次项，则
m=________.
8.
多项式
3xm+(n-5)x-2是关于
x的二次三项式，则m
，n
应满足的条件是__________________.
9.关于
x的二次三项式的二次项系数是-1
，一次项系数是
2，常数项是-3
，则这个二次三项式是
___________.
10.多项式xym+2x-3
的次数和单项式-x2y3
的次数相同，求m
的值.
11.
如果2xay4
与b2x2ya-b
都是关于
x，y
的六次单项式，且系数相等，试求a
，b
的值.第四章
几何图形的初步
知识结构导图
知识点：几何图形
多面体：棱柱、棱锥等
立体图形：
旋转体：圆柱、圆锥、球体等
几何图形
平面图形：直线、射线、线段、三角形、四边形、圆等
基本概念
几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。
立体图形：有些几何图形的各部分不都在同一平面内，他们是立体图形；如长方体、正方体。
平面图形：有些几何图形的各部分都在同一平面内，他们是平面图形；如线段，角，正方形。
立体图形的三视图：从正面、左面、上面三个不同方向看几何图形往往会得到不同形状的平面图形，我们把这样得到的图形叫做立体图形的三视图。
展开图：将立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
几何图形的组成
：
点
线
面
体。
点：线于线相交成点；点是构成图形的基本元素。
线：面和面相交的地方形成线，线分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，面有平面和曲面。
体：几何体也可简称为体，如长方体、正方体。
点动成线、线动成面、面动成体。
几何图形都是由点、线、面、体构成的。点是构成图形的基本元素。
三、立体图形转化为平面图形（视图与展开图）
常见立体图形的三视图与展开图
名
称
图形
三视图
展开图（一般不止一种）
四
棱
锥
长
方
体
圆
锥
圆
柱
四、欧拉公式
简单的多面体的顶点数V，面数F及棱数E之间的关系为
：
V+F-E=2.
五、正方体的11种展开图
1、1-4-1型
六种
2、2-3-1型
三种。
3、3-3型
一种
4、2-2-2型
一种
例题：如图所示的图形中，不能经过折叠围成正方体的是（ ）
注意：判断一个图形能否围成正方体，关键是要看这个平面图形是否是某一个正方体的侧面展开图，如果是，即能围成一个正方体，否则就不是.另外，一个立体图形可以有不同的平面展开图.也就是说，同一个立体图形，按不同方式展开得到的平面展开图是不一样的.反之，一些平面图形也可以围成立体图形，就是说，平面图形可以围成立体图形.但要注意，并不是所有的平面图形都能够围成多面体
检测：
如下图所示的图形中，不是正方体平面展开图的是（ ）
2、下面左边是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的图是.（
）
知识点：直线、射线、线段
直线：
用一个小写字母表示，如直线a,或用两个大写字母(直线上的)表示,如直线AB。直线没有端点，无反向延长线和延长线。
射线
是直线的一部分，用一个小写字母表示，如射线a，用两个大写字母表示，端点在前，如射线OA。
注意用两个字母表示时，端点的字母放在前面，射线有一个端点，只有反向延长线。
线段
线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a。用两个表示端点的字母表示，如线段AB（或线段BA）。有两个端点，延长线和反向延长线都有。
直线、射线、线段三者的区别与联系
名称
图形
表示方法
延伸方向
端点个数
能否度量
联系
直线
1用两个大写字母表示
2用一个小写字母表示
直线AB(或BA)
直线a
0
0
否
射线与线段都是直线的一部分
射线
射线OA
射线a
1
1
否
线段
线段AB（或BA）
线段a
2
2
能
注：几何中，一般用大写字母表示“点”，用小写字母表示“线”。
两个重要公理
直线公理：经过两点有且只有一条直线，简称两点确定一条直线。
线段公理：两点的所在连线中可以有无数种连法，如折线，曲线
线段等，这些所有的线中，线段最短。简称：两点之间线段最短。。
线段的中点
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。
数学表达形式：点C为线段AB的中点，则AC=BC=AB
数线段的方法
如果一条线段上有n个点，含有（n-1）条基本线段（把相邻两点间的线段叫做基本线段），直线上的线段条数是：n×(n-1)。
8、点与直线及直线与直线的位置
图形
语言描述
。A
a
点A在直线a上（或直线a经过点A）
.
P
a
点P在直线a外（或直线a不经过点P）
a
b
O
直线a、b相交于点O
例题：1、观察下边的图形，下列说法中正确的个数是( )．
（1）直线BA和直线AB是同一条直线；（2）射线AC和射线AD是同一条射线；（3）线段BD和DB是两条不同的线段；
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
检测：1、如图，对于直线AB、线段CD、射线EF，其中能相交的是(
)．
2、如图所示，你知道图中共有几条直线、几条射线？（不添加字母，直接可以读出．）几条线段？它们分别是什么？
3、根据下列语句，画出图形.⑴已知四点A、B、C、D.①画直线AB；②连接AC、BD，相交于点O；③画射线AD、BC，交于点P.
知识点三：角
一、角的定义
1、角的静态定义；有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关，这是因为角的两条边是两条射线。
2、角的动态定义：角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所形成的图形。处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边。
平角：如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到的，这样的角叫平角，平角等于180
度。
周角：如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到的，这样的角叫周角，周角等于360度。
注意：有角的定义可知
角的组成部分为：两条边和一个顶点
顶点是这两条边的交点
角的两条边是射线，是可以无限延伸的
射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部
二、角的表示方法
（必须以符号“∠”（读作“角”）带头）
利用三个大写字母来表示，如图：
B
O
A
∠AOB
顶点一定要写在中间，可表示为∠AOB或∠BOA，但不能写成∠ABO或BAO
利用一个大写字母来表示，如图：
A
∠A
用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个。
3、用数字来表示角，如图：
1
∠1
4、用希腊字母来表示角，如图：
∠α
α
三、角的分类度量和换算
1、角的大小可分为三类：锐角、直角、钝角①
①锐角-----小于90?的角（0?<α<90?）
②直角-----等于90?的角（α=90?）
③钝角-----大于90?而小于180?的角（90?<α<180?）
2、角的度量单位是度、分、秒
1度=60分
（1?=60′）
1分=60秒（1′=60″）
1周角=360°
1平角=180°
1直角=90°
角度的记法：（1）单一单位“度”记录，如：30°，
45.5°，
51.8°
（2）度分秒混合记录，如：15°20′，
36°48′，
50°30′18″
3、度量角的工具
-----量角器。
①对中：顶点对中心
②重合：角的一边与量角器上的零刻度重合
③读数：角在另一边所在线的度数
四、角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
用尺规作已知角的平分线方法
作法：1、
用尺规，一以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交角的两边于A、B两点。
2、分别以AB两点为圆心，以大于
AB长为半径画弧交于C点。
过C点作射线OC。
如图；射线OC就是所求作的已知角的角平分线。
B
C
O
A
四、余角与补角
如果两个角的和等于90°（直角），就称这两个角互为余角，简称这两个角互余。（如果∠1＋∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角，即∠1与∠2互余。）
如果两个角的和等于180°（平角），就称这两个角互为补角，简称这两个角互补。（如果∠1＋∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角，即∠1与∠2互补。）
同角（等角）的补交相等；同角（等角）的余角相等。
五、方位角
1、以正北或正南为基准方向，观察点为端点，将基准方向看作始边，要指示的方向看作终边，这样形成的角称为方位角。一般方位角小于直角。
2、报告方位角时一般说成“南偏东（西）多少度”或“北偏东（西）多少度”。例如：如图，射线OA表示南偏西30°方向，射线OB表示北偏东75°方向等。
其中比较特殊的四个方位分别是：东北（北偏东45°），东南（南偏东45°），西北（北偏西45°），西南（南偏西45°）。
六、钟表问题
研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合等问题，叫做时针问题。
分针每分钟走=6?,时针每分钟走=0.5?,分针每分钟比时针多走(6-0.5)度。
例题：
1、下列语句正确的是(
)．
A．两条射线组成的图形叫做角；B．一个角的两边越长，这个角越大；
C．一条直线就是一个平角；
D．角可以看成由一条射线绕它的端点旋转而成的图形
2、如图，你知道以A为顶点的角有哪些吗？除了以A为顶点的角外，图中还有哪些角？你会将它们表示出来吗？
检测：
计算：（1）53°39′＋36°40′
（2）92°3′－48°34′
（3）53°25′28″×5
（4）15°20′÷6
如图，OM是的平分线，射线OC在内，ON是的平分线，已知，求的度数．
归纳总结
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。
两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。
同角（等角）的余角相等。如果∠1＋∠2=90°，∠1＋∠3=90°，那么∠2=∠3。如果∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，且∠1=∠2，那么∠3=∠4。
同角（等角）的补角相等。如果∠1＋∠2=180°，∠1＋∠3=180°，
那么∠2=∠3。如果∠1＋∠2=180°，∠3＋∠4=180°，且∠1=∠2，那么∠3=∠4。
出门考：
日期：_______
科目：数学
1、下列说法中正确的是（
）
A.画一条3厘米长的射线
B.画一条3厘米长的直线
C.画一条5厘米长的线段
2、如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是.（
）
A.
正方体、圆柱、三棱柱、圆锥
B.
正方体、圆锥、三棱柱、圆柱
C.
正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D.
正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
3、C是线段AB上一点，D是BC的中点，若AB＝12cm，AC＝2cm，则BD的长为（
）
A.
3cm
B.
4cm
C.
5cm
D.
6cm
4、已知线段AB=10,直线AB上有一点C,且BC=4,M是线段AC的中点,则AM的长为
5、上午8:30时，时针和分针的夹角为
6、
34°25/×3＋35°42/
7、一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角。
1、用度、分、秒表示91.34°为.……….….（
）
A.
91°20/24//
B.
91°34/
C.
91°20/4//
D.
91°3/4//
2、下列说法中正确的是（
）
A.若∠AOB＝2∠AOC，则OC平分∠AOB
B.延长∠AOB的平分线OC
C.若射线OC、OD三等份∠AOB，则∠AOC＝∠DOC
D.若OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC
3、如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠
与∠
互余的是（
）
4、我们在用玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为
5、如图，∠AOB=，∠BOC=，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。
（1）求∠MON的度数。
（2）设∠AOB=
，∠BOC=（其中为锐角），其它条件不变，求∠MON的度数。
（3）从（2）的解答过程中你发现怎样的规律？请用简短的语句描述这个规律。
6、如图线段AB的长为8cm，点C为线段AB上任意一点，点M为线段AC的中点，点N为线段CB的中点。
（1）在图中分别画点M和点N（不用写画法）
（2）求线段MN的长
7、如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE＝∠EOC
，∠DOE＝70°．
（1）图中互补的角共有
对；
（2）
求∠AOD和∠EOC的度数；第三节
一元一次方程的应用
知识结构导图
知识点：一元一次方程的实际问题
一元一次方程解实际应用问题的一般步骤：
审--找--设--列--解--验--答
审题：分析题意，找出题中的已知量和未知量，明确数量关系
找关系：找出题目中的等量关系
（3）设元：选择一个适当的未知数用字母表示，如x；
直接设元和间接设元
（4）列方程：根据相等关系列出方程
（5）解方程：求出未知数的值；
（6）检验：检验求得的值是否正确且符合实际情形，并写出。
（7）答：写出答案，注意单位
二、初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系
行程问题：
基本量及关系
：：路程=速度×时间；
时间=
：速度=
相遇问题中的相等关系：一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离
追及问题中的相等关系：追及者的行程－被追者的行程=相距的路程
顺（逆）风（水）行驶问题
顺速=V静＋风（水）速
逆速=V静－风（水）速
销售问题：
基
本
量：成本（进价）、售价（实售价）、利润（亏损额）、利润率（亏损率）
基本关系：利润=售价－成本、利润=成本×利润率
工程问题：
基本量及关系：工作总量=工作效率×工作时间
例题：1、一元一次方程在行程问题上的应用
某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。
问往返共需多少时间？
解析：这一问题实际上分为两个过程：①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；
②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。在追及过程中，设追及的时间为x秒，队伍行进（即排头）速度为90米/分=1.5米/秒，则排头行驶的路程为1.5x米；追及者的速度为3米/秒，则追及者行驶的路程为3x米。由追及问题中的相等关系“追赶者的路程－被追者的路程=原来相隔的路程”，有：3x－1.5x=450
∴x=300
在相遇过程中，设相遇的时间为y秒，队伍和返回的人速度未变，故排尾人行驶的路程为1.5y米，返回者行驶的路程为3y米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有：
3y+1.5y=450
∴y=100，故往返共需的时间为
x+y=300+100=400（秒）
一元一次方程在利润问题上的应用
某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3?种不同型号的电视机，出厂价分
别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元。（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案。（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，?销售一台C种电视机可获
利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
解析：解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台。（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程1500x+2100（50-x）=90000
即5x+7（50-x）=300
，2x=50
，
x=25
，50-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，可得方程1500x+2500（50-x）=90000+5（50-x）=1800得
x=35
所以50-x=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台。可得方程2100y+2500（50-y）=90000
，21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意
。由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台。（2）若选择（1）中的方案①，可获利150×25+250×15=8750（元）若选择（1）中的方案②，可获利150×35+250×15=9000（元），9000>8750
故为了获利最多，选择第二种方案．
3、一元一次方程在工程问题上的应用
例3、加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务。问乙
需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？
解析：将全部任务的工作量看作整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为,乙的工作效率为，设乙需工作x
天，则甲再继续加工（12－x）天，乙完成的工作量为，甲完成的工作量为。则有+=1
检测：
1．一船由甲地开往乙地，顺水航行要t小时，逆水航行比顺水航行多用0.5小时，已知船在静水中的速度为v千米/时，求水流速度．若设水流速度为x千米/时，则可列方程______________________
2.小明与小彬骑自行车去郊外游玩，事先决定早8点出发，预计每小时骑7.5千米，上午10时可到达目的地，出发前他们决定上午9点到达目的地，那么每小时要骑多少千米？
运动场的跑道一圈长400米。甲练习骑自行车，平均每分骑350米，乙练习跑步，平均每分跑250米，两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇？又经过多少时间再次相遇？
4.一水池装有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。现在三管齐开，需多少时间注满水池？
5.
乙两人分别从相距10千米的两地同时同向出发，乙在前，甲在后，甲乙两人的时速分别为5千米和3千米，则甲经过多少小时后追上乙？
6.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度以及两个码头之间的航程。
三、归纳总结
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
实际问题
设未知数，列方程
解方程
一元一次方程的解
实际问题的答案
检
验
这一过程包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，列方程，解方程，检验所得结果，确定答案。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。
出门考：
日期：_______
科目：数学
一、选择题
1.
父子二人早上去公园晨练，父亲从家出了跑步到公园需30分钟，儿子只需20分钟，如果父亲比儿子早出发5分钟，儿子追上父亲需(
)
A、8分钟
B、9分钟
C、10分钟
D、11分钟
2.
学校到县城有28千米，除公共汽车以外，还需步行一段路程，公共汽车的速度为36千米/时，步行的速度为4千米/时，全程共需1小时，则步行所用时间是(
)
3、
某船顺流而下的速度是20千米/时，逆流航行的速度为16千米/时，则在水中的速度是( )千米/时
A、2
B、4
C、18
D、36
4.一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是(
)
A、26
B、62
C、71
D、53
5.
若一艘轮船在静水中的速度是7千米/时，水流速度是2千米/时，那么这艘船逆而上的速度是___________千米/时，顺流而下的速度是_________千米/时.
一、选择题
1.
父子二人早上去公园晨练，父亲从家出了跑步到公园需30分钟，儿子只需20分钟，如果父亲比儿子早出发5分钟，儿子追上父亲需(
)
A、8分钟
B、9分钟
C、10分钟
D、11分钟
2.
学校到县城有28千米，除公共汽车以外，还需步行一段路程，公共汽车的速度为36千米/时，步行的速度为4千米/时，全程共需1小时，则步行所用时间是(
)
3、
某船顺流而下的速度是20千米/时，逆流航行的速度为16千米/时，则在水中的速度是( )千米/时
A、2
B、4
C、18
D、36
4.一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是(
)
A、26
B、62
C、71
D、53
二、填空题
5.
若一艘轮船在静水中的速度是7千米/时，水流速度是2千米/时，那么这艘船逆而上的速度是___________千米/时，顺流而下的速度是_________千米/时.
6.
环形跑道400米，小明跑步每秒行9米，爸爸骑车每秒行16米，两人同时同地反向而行，经过_________秒两人相遇？
7.甲、乙两站相距36千米，一列慢车从甲站出发，每小时行52千米，一列快车从乙站出发，每小时行70千米，两车同时开出，同向而行，快车在后，________小时追上慢车。
8.一列长a千米的队伍以每分钟60千米的速度向前行进，队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，这位同学走的路程为_____________千米.
三、解答题
9.某行军纵队以7千米/时的速度行进，队尾的通讯员以11千米/时的速度赶到队伍前送一封信，送到后又立即返回队尾，共用13.2分钟，求这支队伍的长度。
10.甲、乙两人骑自行车同时从相距80千米的两地出发，相向而行，2小时后相遇，已知甲每小时比乙多走2.4千米，求甲、乙每人每小时走多少千米？
11.某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时，“
”？(阴影部分表示被墨水覆盖的若干文字)，请你将这道作业题补充完整，并列方程解答。
四、拓展提高
12.一名通讯员，骑自行车在规定时间内把文件送到某处，如果他每小时骑行15公里，可以早到24分钟，如果他每小时骑行12公里，那么迟到15分钟，求通讯员到某处的距离。第三节
有理数的加减及混合运算
知识结构导图
有理数的加减（重难点）
有理数加法
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）互为相反数的两个数相加得零；
（4）一个数与零相加，仍得这个数。
注：加法的运算定律
⑴加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a
⑵加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=a+(b+c)
有理数减法
（1）有理数减法法则中，字母a,b表示任意有理数；0减去任何数得这个数的相反数
有理数的减法可转化为有理数的加法进行计算，不要将减法法则与加法法则中异号两数相加混淆。
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b)
去括号法则
括号前为
+
号时，去括号后，括号内每一个式子的符号不变
括号前为
-
号时，去括号后，括号内每一个式子的符号相反
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
例题：计算(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
检测：计算：
①
②
③
④
有理数的乘法、除法
一、有理数的乘法
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
(2)任何数与零相乘，都得零；
(3)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba.
乘法结合律：三个数相乘，先把两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即（ab）c=a(bc)。
分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加a（b+c）=ab+ac。
(4)几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。
注：当乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数。用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是
的倒数，
是a的倒数。
二、有理数除法（1）两数相除，同号得正，异号得负，
（2）零除以任何一个不为零的数，都得零，
除以一个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数）
乘方
求n
个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an
中，a
叫做底数，n
叫做指数。
注：乘方的性质：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
（3）任何非零数的0次幂都是1
四、有理数混合运算法则：
先乘方，再乘除，最后加减；
同级运算，从左到右进行；
如有括号先做括号内运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
例题：1、已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为5．试求下式的值：
X2-（a+b+cd）+（a+b）1998+（-cd）1999
检测：1、?计算：
(＋4)×(－5)
（2）(－0.75)×(－1.2)
（3）－29×0.3
（4）0×(－17)
2、计算：
（1）
（2）
（3）
近似数、有效数字与科学计数法
1、近似数：一个与实际数比较接近的数，称为近似数。
2、有效数字：从左边第一个不是0的数字开始，到最末一个数字止，都是这个数的有效数字
3、把一个大于10的数表示成
a×10n的形式（其中1≦a<10，n是正整数），这种记数法是科学记数法。（重点）
例题1、用科学记数法表示下列各数：
（1）900200
（2）300
（3）10000000
（4）－510000
2、已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数：
（1）2.01×104
（2）6.070×105
（3）6×105
（4）104
出门考：
日期：_______
科目：数学
1、下列说法中正确的是（
）
A.23表示2×3的积
B.任何一个有理数的偶次幂是正数
C.－32
与
(－3)2互为相反数
D.一个数的平方是，这个数一定是
2、下列说法正确的是（
）
A、两个数之差一定小于被减数
B、减去一个负数，差一定大于被减数
C、减去一个正数，差一定大于被减数
D、0减去任何数，差都是负数[来源:
Z
xx
3、
4、
实施西部大开发战略是党中央的重大决策，我国国土面积约为960万平方千米，而我国西部地区占我国国土面积的，用科学记数法表示我国西部地区的面积约为
平方千米；
5、用简便方法计算：
（1）
（2）
课后作业
1、选择题：
（1）计算2—3的结果是（
）
A、5
B、—5
C、1
D、—1
（2）计算（—10）—3的结果是（
）
A、—13
B、—7
C、+7
D、13
（3）下列说法正确的是（
）
A、两个数之差一定小于被减数
B、减去一个负数，差一定大于被减数
C、减去一个正数，差一定大于被减数
D、0减去任何数，差都是负数[来源:Z
xx
k.Com]
2、填空题：
（1）计算：—︱—1︱—3=
；
（2）3比—3大_______，比—3小2的数是
；
—的相反数比—的绝对值大
。
3．(－1)×()×5的结果是（
）
A.25
B.
－25
C.1
D.－1
4．有四个互不相等的整数，，，，如果=9,那么的值是(
)
A.0
B.8
C.4
D.9
5．若，则与0的大小关系是(
)
A.大于
B.小于
C.等于
D.无法确定
6．若2014个有理数的积为0,下列说法正确的是(
)
A.全部为0
B.至少有一个为0
C.
只有一个为0
D.有两个互为相反数
7．下列计算正确的是(??
?)?
A.－45÷15=3
B.(－8)÷(－16)=2
C.(－12)÷8=－
D.69÷(-23)=3
8．下列算式变形正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
9．两个互为相反数的数的商是（
）
A.－1
B.1
C.0
D.－1或没有意义
二、填空题
1．(1-2)×(2-3)×(3-4)×…×(99-100)=___________；
2．如果三个有理数，，满足，,那么=___________；
3．若，则=___________；
4.将绝对值小于2014的所有整数相乘，积是___________.
5．如果，,那么________0；
6．－0.125的相反数的倒数是________；
7．若，则=________;若，则=_________.
三、解答题
1计算
（1）
（2）
（3）
(4)
(5)
2．计算：
（1）(－1)×2×(－3)×4
（2）
（3）
（4）
3．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
有理数的乘方
一、选择题
1.下列各式运算结果为正数的是（
）
A.－24×5
B.(1－2)4×5
C.(1－24)×5
D.1－(3×5)6
2.
如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（
）
A.正数
B.负数
C.非负数
D.任何有理数
3.
(－1)2001＋(－1)2002÷＋(－1)2003的值等于（
）
A.0
B.1
C.－1
D.2
填空题
5.
平方等于的数是
，立方等于的数是
；
6.
一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是
；
7.
平方等于它本身的数是
，立方等于它本身的数是
；
8.
，
，
；
解答题
9.
计算
（1）
（2）
（3）
（4）
科学计数法
一、选择题
1.
57000用科学记数法表示为（
）
A.57×103
B.5.7×104
C.5.7×105
D.0.57×105
2.
3400=3.4×10n，则n等于（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
3.
－72010000000=，则的值为（
）
A.7201
B.－7.201
C.－7.2
D.7.201
4.
若一个数等于5.8×1021，则这个数的整数位数是（
）
A.20
B.21
C.22
D.23
填空题
5.
3.65×10175是
位数，0.12×1010是
位数；
6.
比较大小：
3.01×104
9.5×103；3.01×104
3.10×104；
我国建造的长江三峡水电站，估计总装机容量达16780000千瓦，则用科学记数法表示的总装机容量为
；
三、解答题
9．用科学记数法表示下列各数．
（1）地球的体积约是1080000000000立方千米；
（2）银河系中的恒星约有一千六百亿个；
（3）国家统计局、国务院第五次人口普查办公室公布我国人口达12.9533亿．
10.
下列用科学记数法记的数，原来各是什么数？
（1）
（2）
（4）第三章
一元一次方程
知识结构导图
一元一次方程的基础概念
知识结构导图
知识点：等式
一、等式的概念：像m+n=n+m,
3×3+1=5×2,
x+2x=3x,
3x+1=5y这样的式子,都是等式。我们可a=b以用表示一般的等式。
注意:
用”=”连接的式子叫做等式。但是等式不一定表示相等关系。
二、等式的类型。
1、恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母等式总成立。如3x=3x。无论字母的取值如何变化，等式两边恒相等。
2、条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母。等式才能成立。如2x=2。只有当x=1时，等式两边才相等。
3、矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母等式都不能成立。如x-2=x+2。无论字母取什么值，等式两边恒不相等。
等式的性质
性质：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。如a=b那么a+c=b+c，或a-c=a-c
2、性质:
等式两边同时乘以同一个数,或除以同一个不为零的数，结果仍相等。
如a=b那么a×b=b×c。
若a=b。c不等于零。那么，a÷c=b÷c。
3、对称性:
等式左、右两边互换所得的结果仍是等式。如。a=b那么b=a。
4、传递性:
如果a=b，b=c。那么a=c。
知识点：方程
方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。
注意：方程是等式，但是等式不一定是方程。
方程中的已知数和未知数
已知数指具体的数值，未知数指要求的数。通常。未知数用x、y、z来表示。如方程x+1=y-3，其中3和1指的是已知数，x和y指的是未知数。
方程的解和解方程。
使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。如x=2是方程3-x=1的解。而求出x=2的过程叫做解方程，
注意:
1、方程的解一定要写成x=2的形式。而2=x不是方程的解的形式。
2、方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。
四、方程解的检验。
要验证某个数是否为一个方程的解。只需将该数带入这个方程中。若此时方程左右两边数值相等，则这个数为方程的解，否则不是方程的解。
知识点：一元一次方程
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于零的整式方程，叫做一元一次方程。
最简形式:
ax=b
a不等于0,
a、b均为已知数。
标准形式:
ax+b=0
a不等于0
,
a、b均为已知数。
注意:
1、方程中的
元
指的是未知数。
次
则是未知数项的最高次数。
一元一次方程一般情况下有唯一解，绝对值符号里有字母的方程，不是一元一次方程。
例1.
根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：
某校女生人数占全体学生数的44%，比男生少90人，这个学校有多少学生？
2.利用等式的性质解下列方程：
（1）；
（2）；
；
（2）
检测
1.下面有（
）个方程的解为.
①；②；③；④.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若是方程的解，则也是方程（
）的解.
A.
B.
C.
D.
3、下列说法中，正确的个数是(
)
①若mx=my,则mx－my=0
②若mx=my,则x=y
③若mx=my,则mx+my=2my
④若x=y,则mx=my
A、1
B、2
C、3
D、4
4、已知，则 。
5、已知t=3是方程at－6=
18的解，则a=________
出门考：
日期：_______
科目：数学
1、下列变形符合等式性质的是(
)
A.如果2x－3=7,那么2x=7－3
B.如果3x－2=x+1,那么3x－x=1－2
C.如果－2x=5,那么x=5+2
D.如果－x=1,那么x=－3
2、已知方程（a-2）x=1是一元一次方程，则a满足____________
用等式表示：
x的2倍比30大6：
；
4、判断下列说法是否成立，并说明理由：
(1)由a=b,得;
(2)由x=y,y=,得x=;
（3）由－2=x,得x=－2.
5、利用等式的性质解下列方程并检验：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
选择题
1.已知是方程的一个解，那么的值是（
）
A.1
B.3
C.-3
D.-1
2.某工厂在第一季度生产机器300强，比原计划超产了20%.若设原计划第一季度生产台，则这个问题中所含的相等关系及相应的方程是（
）
A.实际产量+超产量=原计划产量，
B.
实际产量+超产量=原计划产量，
C.
实际产量-超产量=原计划产量，
D.
实际产量-超产量=原计划产量，
3、下列结论正确的是（
）
A、x
+3=1的解是x=
4
B、3-x
=
5的解是x=2
C、的解是
D、的解是x
=
-1
4、方程的解是，那么等于（
）
A、－1
B、
1
C、0
D、2
填空题
5.比a的2倍大2的数等于a与b的差：
；
6.的25%比它的5倍少3：
；
7、当y=_______时，y的2倍与3的差等于17。
8、代数式x+6的值与3互为相反数，则x的值为
。
解答题
9.根据下列条件列出方程：
（1）某数的7倍比它本身大15；
（2）小明为班级买了三副羽毛球拍，付出50元，找回3.50元.每副羽毛球拍的单价是多少元？
10.设未知数列出方程：
（1）用一根长为100cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？
（2）长方形的周长为40cm，长比宽多3cm，求长和宽分别是多少。
（3）某校女生人数占全体学生数的55%，比男生多50人，这个学校有多少学生？
（4）A、B两地相距200千米，一辆小车从A地开往B地，3小时后离B地还有20千米，求小卡车的平均速度。
10、已知2x2-3=7，求x2+1的值.
11、利用等式的性质解下列方程并检验：
；
五、拓展提高
11、已知3b-2a-1=3a-2b，利用等式的性质比较a、b大小。第二节
整式的加减
知识结构导图
知识点三：整式
1概念：单项式和多项式统称为整式
整式的书写：
（1）书写含乘法运算的式子
省乘号要小心。当式子中出现乘法运算时，有些乘号可以省略不写。字母与字母相乘、数字与字母相乘、数字（字母）与带括号的式子相乘、带括号的式子之间相乘时，其乘号可以不写或写作“”，但对于数字与数字相乘时乘号则不能省略，也不能用“”。
数字在前，字母在后。数字与字母相乘，数字与带括号的式子相乘时除中间乘号可以省略不写之外，还必须把数字写在字母或括号的前面。
带分数一定要化成假分数。
（2）书写含除法运算的式子
当式子中出现含有字母的除法运算时，结果一般不用“÷”，而改成分数线，如应写作，应写作
（3）书写含单位名称的式子
a、遇和差，括号加
b、是积商，直接放
例题：下列代数式中，不是整式的是（
）
A、
B、
C、
D、－2005
检测：
一、选择题
1.
一个n次多项式，它的每一项的次数（
）
A.都等于n
B.都小于n
C.都不小于n
D.都不大于n
2.
多项式的次数及最高次项的系数分别是（
）
A.2,1
B.2，-1
C.3，-1
D.5，-1
3.
下列代数式书写正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
知识点四：整式的加减
1同类项：像与－,与这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。
注意：a、同类项必须具备两个条件：所含字母相同；相同字母的指数也分别相同。二者缺一不可。
b、同类项与系数、字母的排列顺序无关。
c、所有的常数项都是同类项，单独的一项不能说是同类项，同类项至少针对两项而言。
2合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
注意：(1)
合并的前提是同类项。
(2)
合并指的是系数相加，字母和字母的指数保持不变。
(3)
合并同类项的根据是加法交换律、结合律以及分配律。
3去括号
法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相等；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；
4整式加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
例题：1若与是同类项，则
。
检测：1、先计算，再求值，其中，
2、已知是同类项，则（
）
A、
B、
C、
D、
3、写出一个关于x的二次三项式，使得它的二次项系数为-5，则这个二次三项式为
。
4、若是绝对值等于的有理数，是倒数等于的有理数。求代数式的值。
5、（1）当时，代数式－=
，=
。
（2）已知：，则代数式的值是
。
（3）－的相反数是
，
=
，最大的负整数是
。
（4）已知是同类项，则（
）
A、
B、
C、
D、
（5）下列代数式书写正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
（6）下列说法正确的是（
）
A、0不是单项式
B、没有系数
C、是多项式
D、是单项式
6、化简求值：
其中：.
归纳总结
1、
2、整体思想
整体思想就是从问题的整体性质出发，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理。
整体思想方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用。
例如：1、如果，，则
，
。
2、已知
；
。
出门考：
日期：_______
科目：数学
1、在代数式中，整式有（
）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2、在代数式中，单项式有___个，
多项式有__个；
3、
若多项式的值为10，则多项式的值为_____；
4、－变形后的结果是（
）
A、－
B、－
C、－
D、－
5、下列各式中,去括号或添括号正确的是（
）
A、
B、
C.
D.－
一、选择题
1.
一个n次多项式，它的每一项的次数（
）
A.都等于n
B.都小于n
C.都不小于n
D.都不大于n
2.
多项式的次数及最高次项的系数分别是（
）
A.2,1
B.2，-1
C.3，-1
D.5，-1
3.
在代数式中，整式有（
）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
4.
下列代数式书写正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
5.下列等式中正确的是（
）
A、
B、
C、－
D、
6.下列各式中,去括号或添括号正确的是（
）
A、
B、
C、
D、－
7.代数式
中单项式的个数是（
）
A、3
B、4
C、5
D、6
8.若A和B都是4次多项式，则A+B一定是（
）
A、8次多项式
B、4次多项式
C、次数不高于4次的整式
D、次数不低于4次的整式
二、填空题
1.
单项式的系数是
,次数是
.
单项式的系数是____
，次数_____；
2．多项式2－－4是
次
项式，它的项数为
，次数是
；
3.
在代数式中，单项式有___个，多项式有__个；
4.
若
，=
。
5.已知
；
。
6.多项式是
次
项式，最高次项是
，常数项是
。
解答题
1、已知：是同类项.
求代数式:的值。
2、已知：A=
，B=，求（3A-2B）－（2A+B）的值。
3、
小王购买了一套经济适用房，地面结构如图
（1）用含x、y的代数式表示地面总面积；
（2）准备在地面铺设地砖，铺1m2地砖的平均费用为80元，当x=4，
y=1.5时，求铺地砖的总费用为多少元？
4、若关于，的多项式不含二次项，求的值.
