江苏省如东县掘港高级中学2011-2012学年高一第二学期第四次学情调研考试数学试题

如东县掘港高级中学高一第二学期数学第四次调研考试
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．函数的最小正周期为 ．
2．已知向量，，若，则实数的值为 ．
3．已知过点和的直线与直线平行，则的值为 ．
4．已知，，则 ．
5． ．
6．已知，，，则向量的夹角为 ．
7．圆心在直线上的圆与轴交于两点,则圆的方程为 ．
8．从原点向圆作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 ．
9．将函数的图象向右平移个单位，得到图象的函数解析式为，则的值等于 ．
10．若圆上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R的取值范围是 ．
11．若，， 则 ．
12．在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC等于 ．
13．下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 （（写出所有真命题的编号））．
14．设集合,,
若 则实数m的取值范围是
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．已知，，且．（1）求的值；
（2）若，，且，求的值．
16、已知圆C与圆x2+y2－2x =0相外切，并且与直线相切于点，
求圆C的方程.
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知c＝2，C＝．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b的值；（2）若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求角A的大小．
19．某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=米，为了便于居民平时休闲散步，
该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，
要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．
（1）设∠BOE=，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？
并求出最低总费用．
20．如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。
（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；
（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。
（第十九题图） （第二十题图）
如东县掘港高级中学高一第二学期第四次数学调研答题卡
一、填空题：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 . 11. 12. 13. 14 .
二解答题：15.
16.
17.
18.19、20
如东县掘港高级中学高一第二学期数学第四次调研考试
参考答案与评分标准
一．填空题：
1． 2． 3． 4．5 5．5x —12y—36=0；5x+12y+36=0 6． 7．；8． ； 9． ；10．112．，13．① ④，14
二．解答题：
15．解：解：（1）∵，∴,即，从而．…………4分
∴=……………7分
(2) 由及，得．………………………9分
又，∴，
∴,　……………………………………………10分
………………12分
∵，∴.．……………………………………………………………14分
16．.设圆C的圆心为(a，b )，则，…………7分
则有a=4，b=0，r=2或a=0，b=，r=6，
∴圆C的方程为(x－4)2+y2=4或.…………14分
17．解：（1）．…………4分
（2）…………9分
（3）…………14分
18．解：（1）由余弦定理及条件，得a2＋b2－ab＝4，absinC＝，即ab＝4．
联立方程组解得a＝2，b＝2．…………8分
（2）由题意，得eq \f(,2)＋sin(－2A)＝2sin2A．即sin(2A－)＝．
因为A∈(0，)，所以2A－∈(－，)．所以2A－＝或2A－＝．
则A＝，或A＝．…………16分
19.解：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE=，∴OE=.…………2分
在Rt△AOF中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO=，∴OF=.……………………4分
又∠EOF=90°，∴EF==,
∴
即．　　　　　　　　…………………………………………6分
当点F在点D时，这时角最小，求得此时=；
当点E在C点时，这时角最大，求得此时=．
故此函数的定义域为.……………………………………………………………8分
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可.
由（1）得，，
设，则，
∴……………………………………………12分
由，，得，∴，
从而，……………………………………………………………15分
当，即BE=25时，,
所以当BE=AE=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为元.…………16分
20．解：解：建立如图所示的直角坐标系，
⊙O的方程为，直线L的方程为。…………2分
（Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为，
∴，。
将x=4代入，得。∴MN的中点坐标为（4，0），MN=。
∴以MN为直径的圆的方程为。
同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是。…………8分
（Ⅱ）设点P的坐标为，∴（），∴。
∵，
将x=4代入，得，
。∴，MN=。
MN的中点坐标为。
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值。
∴⊙必过⊙O 内定点。…………16分
D
A
B
C
O
E
F
班级 姓名 学号
D
A
B
C
O
E
F