3.1 椭圆—2021-2022学年上学期人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

3.1
椭圆
一、单选题
1．方程，化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知椭圆的左焦点为，则（
）
A．2
B．3
C．4
D．9
3．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知为椭圆上一点，若到一个焦点的距离为1，则到另一个焦点的距离为（
）
A．3
B．5
C．8
D．12
5．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（
）
A．
B．或
C．
D．以上都不对
6．已知两定点、和一动点，若是与的等差中项，则动点的轨迹方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知是椭圆上一点，和是焦点，若，则的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知方程，则下列说法中正确的有（
）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
10．若椭圆＝1的焦距是2，则m＝（
）
A．1
B．3
C．5
D．7
11．在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（
）
A．
B．
C．
D．
12．若为椭圆的方程，则（
）
A．3
B．6
C．8
D．11
三、填空题
13．过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
14．已知椭圆的一个焦点为，则______．
15．已知动圆与定圆内切，且动圆经过一定点．则动圆圆心的轨迹的方程是______．
16．已知椭圆的焦点为，，过的直线交于，，若，，则的方程为________．
四、解答题
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点；
（2）焦点在轴上，且经过两个点和；
（3）经过点和点.
18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点(2，)，；
（2）过点(，)，且与椭圆有相同的焦点．
19．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于?两点，求中点的坐标．
20．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积．
参考答案
1．C
【解析】由得，点的轨迹是以为焦点，10为长轴长的椭圆，设椭圆，，此时，
故，故椭圆方程为．故选：C．
2．B
【解析】焦点在轴上的椭圆的左焦点为，
可得，，解得．故选：B．
3．D
【解析】方程表示焦点在y轴上的椭圆,
，解得.故选：D.
4．B
【解析】椭圆的长轴长为，由椭圆的定义得：，
又因为到一个焦点的距离为1，即，所以到另一个焦点的距离为，故选：B
5．A
【解析】设经过两点和点的椭圆标准方程为
，
代入A、B得，
，解得
，∴所求椭圆方程为．
故选：A．
6．B
【解析】、，，
是与的等差中项，则，即，
点在以、为焦点的椭圆上，
，，，，因此，椭圆的方程是.故选：B.
7．C
【解析】由椭圆，得，，，，
在△中，由余弦定理得：
，
，得．
．故选：．
8．B
【解析】∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为．
∵∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，
故所求的椭圆的标准方程为．故选：B．
9．BCD
【解析】对于A，当方程可表示圆时，，无解，故A错误.
对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确.
对于C，当时.，，，表示焦点在轴上的双曲线，故C正确.
对于D，当方程表示双曲线时，；当方程表示椭圆时，，所以焦距均为10，故D正确.
故选：BCD
10．BC
【解析】当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4．又2c＝2，所以c＝1，所以m－4＝1，所以m＝5．当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，所以c2＝4－m＝1，所以m＝3．
故选：BC
11．BC
【解析】A选项，表示动点到定点和的距离等于，即，所以点的轨迹是线段，故A错；
B选项，表示动点到定点和的距离等于，即，满足椭圆定义，所以表示焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，故B正确；
C选项，由可得，整理得显然表示椭圆，故C正确；
D选项，由可得，则，显然不表示椭圆，故D错.
故选：BC.
12．AC
【解析】因为为椭圆的方程，所以解得或，
故选：AC
13．
【解析】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，
设它的标准方程为
(a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，
又点(，－)在所求椭圆上，即，
联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20，
所以所求椭圆的标准方程为.
14．6
【解析】∵椭圆的一个焦点为，∴焦点在轴，且，
，
∴，
15．
【解析】由可得
，圆心,半径，
动圆与定圆内切，且过
，.
动圆圆心P的轨迹E是以B、A为焦点,长轴长为6的椭圆.
设椭圆方程为，则.
椭圆的方程为.
16．
【解析】
如上图所示，设，则根据题意可得：，所以，，所以，且，所以，即，可得：点A为椭圆的上顶点；过点B作轴，所以，，所以B点坐标为
设椭圆方程为，将点代入椭圆方程得：，解得：，又因为，所以，所以椭圆方程为：
17．【解析】(1)由于椭圆的焦点在轴上，
∴设它的标准方程为()，∴，，
∴，故所求椭圆的标准方程为；
(2)由于椭圆的焦点在轴上，∴设它的标准方程为().
∴，，故所求椭圆的标准方程为；
(3)设椭圆方程为(，且)，
则得，∴所求椭圆的标准方程为.
18．【解析】（1）方法一　(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为
(a>b>0)．由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为
(a>b>0)．
由已知条件得解得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为.
方法二　(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
将两点(2，)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为
（2）因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，
所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为
(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点在椭圆上，所以，
即.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
19．
【解析】（1）由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，
由椭圆定义知，，
所以，所以，所求椭圆标准方程为．
（2）设直线与椭圆的交点为，，
联立方程，得，
得，．
设的中点坐标为，则，，
所以中点坐标为．
20．【解析】由椭圆有.
由椭圆的定义有，又
所以,,又.
在△中,
所以△为直角三角形,
△的面积为