3.1.2 椭圆的简单几何性质—2021-2022学年上学期人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的简单几何性质—2021-2022学年上学期人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 499.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-20 18:45:13 | ||
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文档简介
3.1.2
椭圆的简单几何性质
一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（
）
A．3
B．6
C．8
D．12
2．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（
）
A．4
B．5
C．7
D．8
4．已知椭圆有两个顶点在直线上，则此椭圆的焦点坐标是（
）．
A．
B．
C．
D．
5．已知椭圆的离心率为，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．设椭圆C：的左、右焦点分别为，过的直线与C交于A，B两点，若为等边三角形，则C的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
7．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知椭圆：（）的半截距为，是上异于短轴端点的一点，若点的坐标为，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．椭圆的离心率为，则的值可能为（
）
A．4
B．10
C．
D．
10．已知点在直线上，则圆锥曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
11．椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则（
）
A．此椭圆离心率为
B．的周长为定值
C．的最小值为
D．的最小值为
12．已知椭圆，下列说法正确的有（
）
A．焦点坐标分别是、
B．椭圆长轴长为
C．椭圆上的点的横坐标的范围是
D．椭圆离心率为
三、填空题
13．点是椭圆的一个焦点，则实数m的值为________．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若在椭圆上存在点使得，且的面积是2，则该椭圆的长轴长为__________.
15．短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为，过作直线交椭圆于、两点，则周长为_________．
16．已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_______．
四、解答题
17．已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长为，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的左，右焦点分别为，点P在C上，且位于第一象限，的面积为1，求点P的坐标．
18．根据下列条件，求椭圆的方程
（1）已知椭圆：（）的离心率，且长轴长等于4．
（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．
19．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）过点的斜率为2的直线交椭圆于、两点．求的面积．
20．已知椭圆的短半轴长为1，椭圆的一个焦点坐标为
（1）求椭圆的标准方程.
（2）经过点作直线与曲线相交于，两点，，当点在曲线上时，求直线的方程.
参考答案
1．B
【解析】椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以，，可得，，
所以，可得，所以该椭圆的短轴长，故选：B.
2．C
【解析】由化简可得，焦点为在轴上，
同时又过点，设，有，解得，故选：C
3．D
【解析】将椭圆的方程化为标准形式为，
显然，即，，解得.故选：D
4．A
【解析】在中，由得，由得，则该直线交x轴于点，交y轴于点，依题意得，，则，显然，椭圆焦点在x轴上，
所以椭圆的焦点坐标是.故选：A
5．B
【解析】，得，得，即．故选：B
6．A
【解析】由于为等边三角形，根据椭圆的对称性可知，
在中，，，所以.
故选：A
7．A
【解析】不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．
依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴，即椭圆的离心率.故选：A
8．D
【解析】将点的坐标代入的方程得，所以，整理得．又，所以，所以，即，所以椭圆的离心率，故选：D．
9．AC
【解析】当焦点在x轴上，有k+8>9，即k>1时，由椭圆的标准方程得，
则，所以椭圆的离心率为，解得k=4；
当焦点在y轴上，有0则，所以椭圆的离心率为，解得.
故选：AC
10．AC
【解析】∵在直线上，所以,
即,解得或,
当时，圆锥曲线,为中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率,当时，圆锥曲线,为中心在原点，焦点在轴上的椭圆，,
故选:AC.
11．BCD
【解析】由题，，则；故A错误；
的周长为，B正确；
当为左顶点时，最小，为，C正确；
当是短轴端点时最大，其余弦值最小，
，，D正确．
故选：BCD
12．BD
【解析】对于椭圆，，，.
对于A选项，椭圆的焦点坐标为、，A选项错误；
对于B选项，椭圆的长轴长为，B选项正确；
对于C选项，椭圆上的点的横坐标的范围是，C选项错误；
对于D选项，椭圆离心率为，D选项正确.
故选：BD.
13．3
【解析】依题意，知椭圆的焦点在y轴上，∴，且，
∴，解得（舍）或，∴.
14．
【解析】根据椭圆定义知，由，得为直角三角形，
，又的面积为2，，则，
，
可得，由可得，即，
，即.
15．
【解析】因为短轴长为，离心率，所以，，又，
解得，所以周长为，
16．．
【解析】由椭圆定义可知，，所以，
，当且仅当，即时取“=”.
又，所以.
所以，由勾股定理可知：，所以.
17．【解析】（1）由得，所以，
所以椭圆的标准方程为
（2）设，因为点P在C上，且位于第一象限，所以，由（1）得，且，得，所以，故
因为，解得，所以点的坐标.
18．【解析】（1）因为椭圆的离心率，长轴长，解得，
则，故椭圆方程为；
（2）设椭圆方程为（），
则离心率为，右焦点到右顶点的距离，则可解得，
则，
故椭圆方程为；
19．【解析】（1）由题意，，，
所以椭圆的标准方程为，离心率为；
（2）直线的方程为，代入椭圆方程得
设，则
∴，
又∵点到直线的距离，
，即的面积为.
20．【解析】（1）因为椭圆的短半轴长为1，椭圆的一个焦点坐标为，
所以，所以曲线的方程为.
（2）设，，由，知点的坐标为.
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入曲线的方程，
得，则，所以.
因为点在曲线上，所以，即，
解得，即，此时直线的方程为.
椭圆的简单几何性质
一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（
）
A．3
B．6
C．8
D．12
2．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（
）
A．4
B．5
C．7
D．8
4．已知椭圆有两个顶点在直线上，则此椭圆的焦点坐标是（
）．
A．
B．
C．
D．
5．已知椭圆的离心率为，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．设椭圆C：的左、右焦点分别为，过的直线与C交于A，B两点，若为等边三角形，则C的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
7．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知椭圆：（）的半截距为，是上异于短轴端点的一点，若点的坐标为，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．椭圆的离心率为，则的值可能为（
）
A．4
B．10
C．
D．
10．已知点在直线上，则圆锥曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
11．椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则（
）
A．此椭圆离心率为
B．的周长为定值
C．的最小值为
D．的最小值为
12．已知椭圆，下列说法正确的有（
）
A．焦点坐标分别是、
B．椭圆长轴长为
C．椭圆上的点的横坐标的范围是
D．椭圆离心率为
三、填空题
13．点是椭圆的一个焦点，则实数m的值为________．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若在椭圆上存在点使得，且的面积是2，则该椭圆的长轴长为__________.
15．短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为，过作直线交椭圆于、两点，则周长为_________．
16．已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_______．
四、解答题
17．已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长为，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的左，右焦点分别为，点P在C上，且位于第一象限，的面积为1，求点P的坐标．
18．根据下列条件，求椭圆的方程
（1）已知椭圆：（）的离心率，且长轴长等于4．
（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．
19．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）过点的斜率为2的直线交椭圆于、两点．求的面积．
20．已知椭圆的短半轴长为1，椭圆的一个焦点坐标为
（1）求椭圆的标准方程.
（2）经过点作直线与曲线相交于，两点，，当点在曲线上时，求直线的方程.
参考答案
1．B
【解析】椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以，，可得，，
所以，可得，所以该椭圆的短轴长，故选：B.
2．C
【解析】由化简可得，焦点为在轴上，
同时又过点，设，有，解得，故选：C
3．D
【解析】将椭圆的方程化为标准形式为，
显然，即，，解得.故选：D
4．A
【解析】在中，由得，由得，则该直线交x轴于点，交y轴于点，依题意得，，则，显然，椭圆焦点在x轴上，
所以椭圆的焦点坐标是.故选：A
5．B
【解析】，得，得，即．故选：B
6．A
【解析】由于为等边三角形，根据椭圆的对称性可知，
在中，，，所以.
故选：A
7．A
【解析】不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．
依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴，即椭圆的离心率.故选：A
8．D
【解析】将点的坐标代入的方程得，所以，整理得．又，所以，所以，即，所以椭圆的离心率，故选：D．
9．AC
【解析】当焦点在x轴上，有k+8>9，即k>1时，由椭圆的标准方程得，
则，所以椭圆的离心率为，解得k=4；
当焦点在y轴上，有0
故选：AC
10．AC
【解析】∵在直线上，所以,
即,解得或,
当时，圆锥曲线,为中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率,当时，圆锥曲线,为中心在原点，焦点在轴上的椭圆，,
故选:AC.
11．BCD
【解析】由题，，则；故A错误；
的周长为，B正确；
当为左顶点时，最小，为，C正确；
当是短轴端点时最大，其余弦值最小，
，，D正确．
故选：BCD
12．BD
【解析】对于椭圆，，，.
对于A选项，椭圆的焦点坐标为、，A选项错误；
对于B选项，椭圆的长轴长为，B选项正确；
对于C选项，椭圆上的点的横坐标的范围是，C选项错误；
对于D选项，椭圆离心率为，D选项正确.
故选：BD.
13．3
【解析】依题意，知椭圆的焦点在y轴上，∴，且，
∴，解得（舍）或，∴.
14．
【解析】根据椭圆定义知，由，得为直角三角形，
，又的面积为2，，则，
，
可得，由可得，即，
，即.
15．
【解析】因为短轴长为，离心率，所以，，又，
解得，所以周长为，
16．．
【解析】由椭圆定义可知，，所以，
，当且仅当，即时取“=”.
又，所以.
所以，由勾股定理可知：，所以.
17．【解析】（1）由得，所以，
所以椭圆的标准方程为
（2）设，因为点P在C上，且位于第一象限，所以，由（1）得，且，得，所以，故
因为，解得，所以点的坐标.
18．【解析】（1）因为椭圆的离心率，长轴长，解得，
则，故椭圆方程为；
（2）设椭圆方程为（），
则离心率为，右焦点到右顶点的距离，则可解得，
则，
故椭圆方程为；
19．【解析】（1）由题意，，，
所以椭圆的标准方程为，离心率为；
（2）直线的方程为，代入椭圆方程得
设，则
∴，
又∵点到直线的距离，
，即的面积为.
20．【解析】（1）因为椭圆的短半轴长为1，椭圆的一个焦点坐标为，
所以，所以曲线的方程为.
（2）设，，由，知点的坐标为.
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入曲线的方程，
得，则，所以.
因为点在曲线上，所以，即，
解得，即，此时直线的方程为.