专题24
三角函数中的化简求值
一、题型选讲
题型一
灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值
通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。
在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则
A．
B．
C．
D．
变式1、【2019年高考江苏卷】已知，则的值是
▲
.
变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=
A．–2
B．–1
C．1
D．2
变式3、（2018年江苏高考题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
变式4、、(2019通州、海门、启东期末）设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b.
(1)
求tan的值；
(2)
求cos的值．
题型二
探究角度之间的关系
在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。
应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
例2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若，则（
）．
A．
B．
C．
D．
变式1、【2020届广东省汕头市金山中学高三下学期第三次模拟】若，则______．
变式2、求值：．
变式3、(2017苏锡常镇调研）已知sinα＝3sin，则tan＝________.
题型三、运用构造法化简与求值
通过构造方程或者转化为关于的一元二次函数来解决。
例3、(2019扬州期末）设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝________．
变式、求函数的值域
二、达标训练
1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A．
B．
C．
D．
2、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
3、【2020年高考江苏】已知=，则的值是
▲
．
4、（2020届百校联盟高三复习全程精练）已知，则________．
5、（2020届全国100所名校高考模拟金典卷）若，则_________．
6、(2019镇江期末）若2cos2α＝sin，α∈，则sin2α＝________．
7、(2019无锡期末）已知θ是第四象限角，且
cosθ＝，那么的值为________．
8、(2016镇江期末）
由sin
36°＝cos
54°，可求得cos
2
016°的值为________．专题24
三角函数中的化简求值
一、题型选讲
题型一
灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值
通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。
在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A．
变式1、【2019年高考江苏卷】已知，则的值是
▲
.
【答案】
【解析】由，得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=
A．–2
B．–1
C．1
D．2
【答案】D
【解析】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D．
变式3、（2018年江苏高考题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
变式4、、(2019通州、海门、启东期末）设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b.
(1)
求tan的值；
(2)
求cos的值．
解析：(1)
因为a＝(sina，)，b＝，且a⊥b.
所以sina＋cosα＝，所以sin＝.2分
因为α∈，所以α＋∈，(4分)
所以cos＝，
故sin＝＝
所以tan＝.(6分)
(2)
由(1)得cos＝2cos2－1＝2×－1＝.(8分)
因为α∈，所以2α＋∈，
所以sin＝.(10分)
所以cos＝cos?]
＝coscos－sinsin(12分)
＝.(14分)
题型二
探究角度之间的关系
在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。
应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
例2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
．
故选．
变式1、【2020届广东省汕头市金山中学高三下学期第三次模拟】若，则______．
【答案】
【解析】已知，且，则，
故．
变式2、求值：．
【答案】
【解析】
因为
．
变式3、(2017苏锡常镇调研）已知sinα＝3sin，则tan＝________.
【答案】：2－4
解法1
由题意可得sin＝3sin，即sincos－cos·sin＝3sincos＋3cossin，所以tan＝－2tan＝－2tan＝－＝2－4.
解法2
tan＝tan＝＝2－.因为sinα＝3sinαcos＋3cosαsin，即sinα＝sinα＋cosα，即tanα＝，所以tan＝＝＝＝2－4.
题型三、运用构造法化简与求值
通过构造方程或者转化为关于的一元二次函数来解决。
例3、(2019扬州期末）设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝________．
【答案】、
【解析】解法1(方程法) 因为a，b是非零实数，由＝tan，得＝tan，解得＝，即＝tan＝tan＝.
解法2(系数比较法) tan＝tan＝＝，tan＝＝，所以＝.
变式、求函数的值域
【答案】、
【解析】=
=-2
所以函数的值域为：
二、达标训练
1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，，，又，，又，，故选B．
2、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，
，
.
故选：A
3、【2020年高考江苏】已知=，则的值是
▲
．
【答案】
【解析】
故答案为：
4、（2020届百校联盟高三复习全程精练）已知，则________．
【答案】
【解析】
5、（2020届全国100所名校高考模拟金典卷）若，则_________．
【答案】
【解析】．
故答案为：.
6、(2019镇江期末）若2cos2α＝sin，α∈，则sin2α＝________．
【答案】、
－
【解析】、解法1 设－α＝β，则α＝－β.由2cos2α＝sin，得2cos＝2sin2β＝4sinβcosβ＝sinβ，而sinβ≠0，故cosβ＝.所以sin2α＝sin＝cos2β＝2cos2β－1＝－.
解法2 由2cos2α＝sin得2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝(cosα－sinα)．又α∈，则cosα－sinα≠0，故cosα＋sinα＝.两边平方得sin2α＝－.
7、(2019无锡期末）已知θ是第四象限角，且
cosθ＝，那么的值为________．
【答案】
【解析】、因为θ是第四象限角，所以sinθ<0，
则sinθ＝－＝－，
所以＝＝＝＝＝.
8、(2016镇江期末）
由sin
36°＝cos
54°，可求得cos
2
016°的值为________．
【答案】、－
【解析】、由sin36°＝cos54°得sin36°＝2sin18°cos18°＝cos(36°＋18°)＝cos36°cos18°－sin36°sin18°＝(1－2sin218°)·cos18°－2sin218°cos18°＝cos18°－4sin218°cos18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，解得sin18°＝＝，cos2016°＝cos(6×360°－144°)＝cos144°＝－cos36°＝2sin218°－1＝－.
解后反思
本题主要将2016°转化利用36°进而利用18°的三角函数值求解，化繁为简
