专题33
基本不等式中常见的方法求最值
一、题型选讲
题型一
、消参法
消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！
例1、【2020年高考江苏】已知，则的最小值是
▲
．
【答案】
【解析】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
例2、.【江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研】已知，且，则的最小值为_______________.
【答案】10
【解析】因为,所以,
所以
,
因为,所以,
当且仅当,解得,此时,
所以的最小值为:10.
故答案为10
例3、(2017苏北四市期末）.
若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
【答案】.
8
【解析】、解法1
因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，
所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8.
解法2
因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，
所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8.
题型二、双换元
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系
例4、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】已知，，且，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
设，则，
∵，，
∴
又
当时，，在题目要求范围内，
即
故答案为：
例5、（2013徐州、宿迁三检）若，且，则的最小值为
．
【答案】：
【解析】、
所以，
因为
所以
题型三、“1”的代换
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。
例6、（2020届山东省泰安市高三上期末）若，则的最小值为（
）
A．6
B．
C．3
D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，且，，
∴，
∴
，
当且仅当且即时，等号成立；
故选：C．
例7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△中，点是线段上两个动点，且
，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图可知x，y均为正，设，
共线，
，
，
则，
，
则的最小值为，故选D.
例8、（2020·全国高三专题练习（理））已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题意可知直线过圆心，即
当且仅当时，又
即时等号成立，
故的最小值为9.
故答案为：9
题型四、齐次化
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解。
例9、【2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题】已知为正实数，则的最小值为______.
【答案】.
【解析】解：令，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：.
例10、.【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】若实数满足：，则的最小值为____.
【答案】
【解析】由题意得：，
令，则，
，
设，可得：
，
令，可得，其中舍去，
可得当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
可得当时，原式有最小值，代入可得：
，
故可得的最小值为，
故答案为：.
二、达标训练
1、【2019年高考浙江卷】若，则“”是
“”的
A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件
C．
充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是(
)
A．1
B．
C．9
D．18
【答案】A
【解析】奇函数在R上单调，则
故即
当即时等号成立
故选：
3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（
）
A．10
B．12
C．16
D．9
【答案】D
【解析】由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，所以．
故选：D．
4、【2020年高考天津】已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
5、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数的最小值是__________.
【答案】
【解析】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.
故填：.
6、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知实数满足则的最大值为________.
【答案】
【解析】根据柯西不等式：，故，
当，即，时等号成立.
故答案为：.
7、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）若实数满足，且，则的最大值为______.
【答案】
【解析】实数x、y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则xy＝2，
则，
当且仅当x﹣y，即x﹣y＝2时取等号
故的最大值为，
故答案为．
8、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若正实数满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】令，则，
，即，
，且，
，即的最小值为.专题33
基本不等式中常见的方法求最值
一、题型选讲
题型一
、消参法
消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！
例1、【2020年高考江苏】已知，则的最小值是
▲
．
例2、.【江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研】已知，且，则的最小值为_______________.
例3、(2017苏北四市期末）.
若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
题型二、双换元
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系
例4、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】已知，，且，则的最小值是______.
例5、（2013徐州、宿迁三检）若，且，则的最小值为
．
题型三、“1”的代换
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。
例6、（2020届山东省泰安市高三上期末）若，则的最小值为（
）
A．6
B．
C．3
D．
例7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△中，点是线段上两个动点，且
，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
例8、（2020·全国高三专题练习（理））已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．
题型四、齐次化
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解。
例9、【2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题】已知为正实数，则的最小值为______.
例10、.【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】若实数满足：，则的最小值为____.
二、达标训练
1、【2019年高考浙江卷】若，则“”是
“”的
A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件
C．
充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是(
)
A．1
B．
C．9
D．18
3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（
）
A．10
B．12
C．16
D．9
4、【2020年高考天津】已知，且，则的最小值为_________．
5、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数的最小值是__________.
6、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知实数满足则的最大值为________.
7、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）若实数满足，且，则的最大值为______.
8、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若正实数满足，则的最小值为______．
