2021-2022学年湘教版八年级上数学1.5可化为一元一次方程的分式方程 同步练习（word解析版）

《1.5可化为一元一次方程的分式方程》同步练习
一、选择题（
本大题共10小题，共40分）
1．（4分）已知实数x满足+（x2+3x）=4，则x2+3x的值为（　　）
A．1或3
B．1
C．3
D．﹣1或﹣3
2．（4分）解分式方程+=时，去分母后变形为（　　）
A．2（x2+6x+9）+4（x2﹣9）=1
B．2（x+3）+4（x﹣3）=（x﹣3）（x+3）
C．2（x﹣3）+4（x+3）=1
D．2（x+3）+4（x﹣3）=x+3
3．（4分）关于x的方程=+1无解，则m的值是（　　）
A．0
B．0或1
C．1
D．2
4．（4分）已知x=2是分式方程﹣=2的解，那么实数k的值为（　　）
A．2
B．1
C．0
D．﹣1
5．（4分）小敏上月在某文具店正好用30元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小敏只比上次多用了6元钱，却比上次多买了8本，若设她上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程为（　　）
A．﹣=1
B．﹣=1
C．﹣=1
D．﹣=1
6．（4分）甲车行驶40km与乙车行使30km所用的时间相同，已知甲车比乙车每小时多行驶15km．设甲车的速度为xkm/h，依题意，下列所列方程正确的是（　　）
A．=
B．=
C．=
D．=
7．（4分）爸爸3h清点完书房书籍的一半，小明加入清点另一半书籍的家务，两人合作2h清点完另一半书籍．若设小明单独清点这批书籍需要xh，则下列方程不正确的是（　　）
A．+（+）×2=1
B．（+）×2=
C．×2+×2=
D．+=
8．（4分）张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米．某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分，7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上．已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x米/分，则可列得方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（4分）某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同．若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为（　　）
A．=
B．=
C．=
D．=
10．（4分）某班举行趣味项目运动会，从商场购买了一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品．若每副羽毛球拍的价格比乒乓球拍的价格贵6元，且用400元购买乒乓球拍的数量与用550元购买羽毛球拍的数量相同．设每副乒乓球拍的价格为x元，则下列方程正确的是（　　）
A．=
B．=
C．=
D．=
二、填空题（
本大题共5小题，共20分）
11．（4分）关于x的方程+1无解，则a的值是　
　．
12．（4分）若解分式方程=产生增根，则增根可能是　
　．
13．（4分）已知方程﹣=2，如果设=y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是　
　．
14．（4分）某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．设此商品的进价是x元，则可列方程　
　．
15．（4分）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，则乙施工队单独完成此项工程需　
　天．
三、解答题（
本大题共5小题，共40分）
16．（8分）解分式方程：
（1）﹣=1；
（2）﹣=．
17．（8分）列方程解应用题：
某商场用8万元购进一批新款衬衫，上架后很快销售一空，商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一次的2倍，但进价涨了4元/件，结果共用去17.6万元．
（1）该商场第一批购进衬衫多少件？
（2）商场销售这种衬衫时，每件定价都是58元，剩至150件时按八折出售，全部售完．售完这两批衬衫，商场共盈利多少元？
18．（8分）某校数学兴趣班上学期共有32名学生，本学期又有若干名学生新加入了该兴趣班，王老师上学期和本学期各买了a本笔记本配件分给全班学生，与上学期相比，本学期全班学生人数增加的百分率恰好是每名学生分得的笔记本减少的百分率的．
（1）当a=160时，
①上学期该兴趣班每名学生分得的笔记本数是　
　；
②求本学期新加入该班的学生的人数．
（2）当a≠160时，本学期新加入该班的学生的人数与①②中求出的结果是否相同？请通过计算说明理由．
19．（8分）列方程解应用题：
港珠澳大桥跨越伶仃洋，东接香港，西接广东珠海和澳门，总长约55公里，是粤港澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程，也是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道．据统计，港珠澳大桥开通后的首个周日经大桥往来三地的车流量超过3000辆次，客流量则接近7.8万人次．当天，甲乙两辆巴士均从香港国际机场附近的香港口岸人工岛出发，开往珠海洪湾．甲巴士出发11分钟后乙巴士才出发，结果两车同时到达，已知两辆巴士的速度比是5：6，求两车的平均速度各是多少？
20．（8分）阅读下列材料：
关于x的分式方程x+=c+的解是x1=c，x2=；
x﹣=c﹣，即x+=c+的解是x1=c，x2=﹣；
x+=c+的解是x1=c，x2=；
x+=c+的解是x1=c，x2=．
（1）请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程x+=c+（m≠0）的解是什么？并利用方程解的概念（使得方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解）进行验证．
（2）根据以上的规律方法解关于x的方程：x+=a+
参考答案与试题解析
一、选择题（
本大题共10小题，共40分）
1．（4分）已知实数x满足+（x2+3x）=4，则x2+3x的值为（　　）
A．1或3
B．1
C．3
D．﹣1或﹣3
【分析】设t=x2+3x，则原方程转化为关于t的分式方程，通过解新的分式方程求得t的值．
【解答】解：设t=x2+3x，则+t=4，
整理，得
（t﹣1）（t﹣3）=0，
解得t=1或t=3．
经检验，t=1或t=3都是原方程的根．
即x2+3x的值是1或3．
故选：A．
【点评】本题主要考查换元法在解分式方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
2．（4分）解分式方程+=时，去分母后变形为（　　）
A．2（x2+6x+9）+4（x2﹣9）=1
B．2（x+3）+4（x﹣3）=（x﹣3）（x+3）
C．2（x﹣3）+4（x+3）=1
D．2（x+3）+4（x﹣3）=x+3
【分析】分式方程去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：分式方程去分母得：2（x+3）+4（x﹣3）=（x﹣3）（x+3），
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
3．（4分）关于x的方程=+1无解，则m的值是（　　）
A．0
B．0或1
C．1
D．2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：x2﹣2x+1=mx﹣2m+x2﹣3x+2，
整理得：（m﹣1）x=2m﹣1，
由分式方程无解，得到m﹣1=0且2m﹣1≠0，即m=1；
当m≠1时，=1或=2，
解得：m=0．
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程无解即为最简公分母为0．
4．（4分）已知x=2是分式方程﹣=2的解，那么实数k的值为（　　）
A．2
B．1
C．0
D．﹣1
【分析】把x=2代入方程，计算即可求出k的值．
【解答】解：把x=2代入分式方程得：﹣=2，即2k﹣k=2，
解得：k=2，
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
5．（4分）小敏上月在某文具店正好用30元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小敏只比上次多用了6元钱，却比上次多买了8本，若设她上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程为（　　）
A．﹣=1
B．﹣=1
C．﹣=1
D．﹣=1
【分析】设她上月买了x本笔记本，则她本月买了（x+8）本笔记本，根据单价=总价÷数量结合每本比上月便宜1元，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设她上月买了x本笔记本，则她本月买了（x+8）本笔记本，
根据题意得：﹣=1．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（4分）甲车行驶40km与乙车行使30km所用的时间相同，已知甲车比乙车每小时多行驶15km．设甲车的速度为xkm/h，依题意，下列所列方程正确的是（　　）
A．=
B．=
C．=
D．=
【分析】设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为（x﹣15）km/h，根据时间=路程÷速度结合甲车行驶40km与乙车行使30km所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为（x﹣15）km/h，
根据题意得：=．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（4分）爸爸3h清点完书房书籍的一半，小明加入清点另一半书籍的家务，两人合作2h清点完另一半书籍．若设小明单独清点这批书籍需要xh，则下列方程不正确的是（　　）
A．+（+）×2=1
B．（+）×2=
C．×2+×2=
D．+=
【分析】先设小明单独清点这批图书需要的时间是x小时，根据“爸爸3小时清点完一批图书的一半”和“两人合作2小时清点完另一半图书”列出方程，即可得出答案．
【解答】解：设小明单独清点这批图书需要x小时，
根据题意，得2（+）=，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．
8．（4分）张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米．某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分，7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上．已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x米/分，则可列得方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】设张老师骑自行车的速度是x米/分，则李老师骑自行车的速度是1.2x米/分，根据题意可得等量关系：张老师行驶的路程3000÷他的速度﹣李老师行驶的路程3000÷他的速度=5分钟，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设张老师骑自行车的速度是x米/分，由题意得：
，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出李老师和张老师各行驶3000米所用的时间，根据时间关系列出方程．
9．（4分）某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同．若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为（　　）
A．=
B．=
C．=
D．=
【分析】设乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲每小时搬运（x+30）件电子产品，根据300÷甲的工效=200÷乙的工效，列出方程．
【解答】解：设乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲每小时搬运（x+30）件电子产品，
依题意得：=
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题的等量关系是甲工人做90个零件所需要的时间和乙工人做120个零件所需要的时间相同．
10．（4分）某班举行趣味项目运动会，从商场购买了一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品．若每副羽毛球拍的价格比乒乓球拍的价格贵6元，且用400元购买乒乓球拍的数量与用550元购买羽毛球拍的数量相同．设每副乒乓球拍的价格为x元，则下列方程正确的是（　　）
A．=
B．=
C．=
D．=
【分析】设每副乒乓球拍的价格为x元，则每副羽毛球拍的价格（x+6）元，根据用400元购买乒乓球拍的数量与用550元购买羽毛球拍的数量相同列出方程．
【解答】解：设每副乒乓球拍的价格为x元，则每副羽毛球拍的价格（x+6）元，
依题意得：=
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出方程．
二、填空题（
本大题共5小题，共20分）
11．（4分）关于x的方程+1无解，则a的值是　1或2　．
【分析】根据解分式方程的步骤，可求出分式方程的解，根据分式方程无解，可得a的值．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣2），得ax=4+x﹣2，
（a﹣1）x=2，
∵关于x的方程+1无解，
∴x﹣2=0，a﹣1=0，
解得：x=2，a=1，
把x=2代入（a﹣1）x=2，得：（a﹣1）×2=2，
解得：a=2，
综上，a=1或2；
故答案为：1或2．
【点评】本题考查了分式方程的解，把分式方程转化成整式方程，把分式方程的增根代入整式方程，求出答案．
12．（4分）若解分式方程=产生增根，则增根可能是　x=﹣4　．
【分析】根据分式方程增根的定义，最简公分母为0的x的值，进行求解即可．
【解答】解：∵分式方程=有增根，
∴x+4=0，
∴x=﹣4
故答案为x=﹣4．
【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义是解题的关键．
13．（4分）已知方程﹣=2，如果设=y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是　3y2+6y﹣1=0　．
【分析】根据=y，把原方程变形，再化为整式方程即可．
【解答】解：设=y，
原方程变形为：﹣y=2，
化为整式方程为：3y2+6y﹣1=0，
故答案为3y2+6y﹣1=0．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，掌握整体思想是解题的关键．
14．（4分）某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．设此商品的进价是x元，则可列方程　=﹣80　．
【分析】设此商品的进价是x元，根据第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利1200元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元，可列出方程．
【解答】解：方程为：=﹣80，
故答案为：=﹣80．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是以销售量作为等量关系列方程，求出进价和销售多少件．
15．（4分）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，则乙施工队单独完成此项工程需　20　天．
【分析】设甲施工队单独完成此项工程需x天，依据等量关系列方程求解．等量关系为：甲10天的工作总量+乙12天的工作总量=1．
【解答】解：设甲施工队单独完成此项工程需x天，则乙施工队单独完成此项工程需x天．
根据题意得：+=1．
解这个方程得：x=25．
经检验：x=25是所列方程的解．
∴当x=25时，x=20．
∴乙施工队单独完成此项工程需20天．
故答案为：20．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
三、解答题（
本大题共5小题，共40分）
16．（8分）解分式方程：
（1）﹣=1；
（2）﹣=．
【分析】（1）先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可；
（2）先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）方程两边都乘以（x+3）（x﹣3）得：（x﹣2）（x﹣3）﹣3（x+3）=（x+3）（x﹣3），
解得：x=﹣，
检验：当x=﹣时，（x+3）（x﹣3）≠0，
所以x=﹣是原方程的解，
即原方程的解为：x=﹣；
（2）原方程化为：﹣=，
方程两边都乘以x（x﹣2）得：（2x+2）（x﹣2）﹣x（x+2）=x2﹣2，
解得：x=﹣，
检验：当x=﹣时，x（x﹣2）≠0，
所以x=﹣是原方程的解，
即原方程的解为：x=﹣．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
17．（8分）列方程解应用题：
某商场用8万元购进一批新款衬衫，上架后很快销售一空，商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一次的2倍，但进价涨了4元/件，结果共用去17.6万元．
（1）该商场第一批购进衬衫多少件？
（2）商场销售这种衬衫时，每件定价都是58元，剩至150件时按八折出售，全部售完．售完这两批衬衫，商场共盈利多少元？
【分析】（1）设该商场第一批购进衬衫x件，则第二批购进衬衫2x件，根据单价=总价÷数量结合第二批比第一批的进价涨了4元/件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）用（1）的结论×2可求出第二批购进该种衬衫的数量，再利用总利润=销售收入﹣成本，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该商场第一批购进衬衫x件，则第二批购进衬衫2x件，
根据题意得：﹣=4，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是所列分式方程的解，且符合题意．
答：商场第一批购进衬衫2000件．
（2）2000×2=4000（件），
（2000+4000﹣150）×58+150×58×0.8﹣80000﹣176000=90260（元）．
答：售完这两批衬衫，商场共盈利90260元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．
18．（8分）某校数学兴趣班上学期共有32名学生，本学期又有若干名学生新加入了该兴趣班，王老师上学期和本学期各买了a本笔记本配件分给全班学生，与上学期相比，本学期全班学生人数增加的百分率恰好是每名学生分得的笔记本减少的百分率的．
（1）当a=160时，
①上学期该兴趣班每名学生分得的笔记本数是　5　；
②求本学期新加入该班的学生的人数．
（2）当a≠160时，本学期新加入该班的学生的人数与①②中求出的结果是否相同？请通过计算说明理由．
【分析】（1）①根据每个学生分得的笔记本数=解答；
②设本学期全班学生人数增加的百分率为x，根据“本学期全班学生人数增加的百分率恰好是每名学生分得的笔记本减少的百分率的”列出方程并解答；
（2）设本学期全班学生人数增加的百分率为x，根据“本学期全班学生人数增加的百分率恰好是每名学生分得的笔记本减少的百分率的”列出方程并解答．与上一题的结果进行比较即可．
【解答】解：（1）①依题意得：=5（本）．
故答案是：5；
②设本学期全班学生人数增加的百分率为x，
依题意得：×=x，
解得x1=25%，x2=0（舍去）．
所以该学期新加入该班的学生数为25%×32=8（人）．
（2）由题意得：×=x，
化简得：4x2=x，
解得x1=25%，x2=0（舍去）．
所以该学期新加入该班的学生数为25%×32=8人，结果与上述相符．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
19．（8分）列方程解应用题：
2018年10月23日上午，港珠澳大桥开通仪式在广东珠海举行．国家主席习近平出席仪式并宣布大桥正式开通．港珠澳大桥跨越伶仃洋，东接香港，西接广东珠海和澳门，总长约55公里，是粤港澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程，也是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道．据统计，港珠澳大桥开通后的首个周日经大桥往来三地的车流量超过3000辆次，客流量则接近7.8万人次．当天，甲乙两辆巴士均从香港国际机场附近的香港口岸人工岛出发，开往珠海洪湾．甲巴士出发11分钟后乙巴士才出发，结果两车同时到达，已知两辆巴士的速度比是5：6，求两车的平均速度各是多少？
【分析】设甲巴士速度为5x
km/h，乙巴士速度为6x
km/h，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设甲巴士速度为5x
km/h，乙巴士速度为6x
km/h，
根据题意，列方程得
解得
x=10
经检验：x=10是原方程解，且符合题意
∴5x=50
6x=60
答：甲巴士速度为50
km/h，乙巴士速度为60
km/h．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
20．（8分）阅读下列材料：
关于x的分式方程x+=c+的解是x1=c，x2=；
x﹣=c﹣，即x+=c+的解是x1=c，x2=﹣；
x+=c+的解是x1=c，x2=；
x+=c+的解是x1=c，x2=．
（1）请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程x+=c+（m≠0）的解是什么？并利用方程解的概念（使得方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解）进行验证．
（2）根据以上的规律方法解关于x的方程：x+=a+
【分析】（1）观察已知分式方程及解的特征确定出所求方程解即可；
（2）已知方程变形后，利用得出的规律求出解即可．
【解答】解：（1）关于x的方程x+=c+（m≠0）的解为x1=c，x2=；
验证：把x=c代入方程得：左边=c+，右边=c+，即左边=右边，符合题意；
把x=代入方程得：左边=+=c+=右边，符合题意；
（2）方程整理得：x﹣1+=a﹣1+，
可得x﹣1=a﹣1或x﹣1=，
解得：x1=a，x2=．
【点评】本题考查了解分式方程以及分式方程的解，掌握解分式方程和检验分式方程的解是解题的关键．
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