2021-2022学年人教版九年级数学上册22.1.2 二次函数y=ax^2的图像与性质 课后练习(word版含答案)

二次函数的图像与性质
一、单选题
1．关于函数y＝36x2的叙述，错误的是（　　）
A．图象的对称轴是y轴
B．图象的顶点是原点
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最大值
2．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S＝g
t2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．关于二次函数和的图象，下列叙述正确的有（
）
①它们的图象都是抛物线；②它们的图象都有最低点；③它们的图象都经过（0,0）；④二次函数的图象开口向上，二次函数的图象开口向下.
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
4．抛物线的顶点坐标是　　
A．
B．
C．
D．
5．已知点A（－1，y1）、B（－2，y2）、C（3，y3）在函数y＝ax2(a>0)的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　
）
A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y2＞y3＞y1
D．y3＞y2＞y1
6．已知是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝(　　)
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣1
7．已知函数上一点到轴的距离是2，则该点的横坐标是（
）
A．
B．1
C．1或1
D．2或2
8．抛物线不具有的性质是
（
）
A．开口向上
B．对称轴是轴
C．当时，随的增大而增大
D．顶点坐标是
9．已知二次函数有最小值，则有（
）
A．a
<
0
B．a
>
0
C．a
<-2
D．a
>
-2
10．下列二次函数的图象中，开口向下，且开口较大的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．二次函数，的图象如图所示，那么a1与a2的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
12．下列函数中：①y＝﹣ax2(a＞0)；②y＝(a﹣1)x2(a＜1)；③y＝﹣2x+a2(a≠0)；④．具有过原点，且当x＞0时，y随x增大而减小，这两个特征的有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
13．函数的图象的开口_______，对称轴是_______，顶点是________
．
14．若抛物线过点，则_____．
15．若点（2，y1）和点（4，y2）在函数y＝x2的图象上，则y1__y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
16．在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则的大小关系为___________（用“”连接）．
17．如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线的长为______．
三、解答题
18．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
．
19．已知二次函数，当时，．
（1）当时，求y的值；
（2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
20．已知是二次函数，
（1）若其图像开口向下，求k的值；
（2）若当时，y随x的增大而减小，求函数关系式．
21．如图，点是轴负半轴上的一点，经过点作直线，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），连接、，设点的横坐标为．
（1）若点的坐标为，求点的坐标；
（2）若，，求的值，并证明：；
（3）若，问“”这一结论还成立吗？试说明理由．
参考答案
1．D
解：∵函数y＝36x2的顶点在原点，
∴其对称轴是y轴，顶点是原点，故A、B正确；
∵函数y＝36x2的开口向上，顶点是原点，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，y有最小值，故C正确，D错误．
故选：D．
2．B
解：∵s＝gt2是二次函数的表达式，
∴二次函数的图象是一条抛物线．
又∵g＞0，
∴应该开口向上，
∵自变量t为非负数，
∴s为非负数．
∴图象是抛物线在第一象限的部分．
故选B．
3．B
解：①它们的图象都是抛物线，故①正确；
②有最低点，有最高点，故②错误；
③它们的图象都经过（0,0）；故③正确；
④二次函数的图象开口向上，二次函数的图象开口向下.故④正确；
所以正确的有3个，
故选择：B.
4．A
解：二次函数的图象的顶点坐标为．
故选：A．
5．D
解：∵点A（－1，y1）、B（－2，y2）、C（3，y3）在函数y＝ax2(a>0)的图象上∴点A（－1，y1）、B（－2，y2）、C（3，y3）都满足函数解析式y＝ax2(a>0)，
∴y1=a，y2=4a，y3=9a，
∵a>0,
∴a<4a<9a.
即y3＞y2＞y1
故选：D．
6．A
解：由二次函数的定义可知，k﹣1≠0，且k2﹣2＝2
∴k≠1，k＝±2，故C错误；
∵有最大值
∴k﹣1＜0
∴k＜1
∴k＝﹣2．
故选：A．
7．C
解：在中，
∴该抛物线开口向下，且在三、四象限
∵函数上一点到轴的距离是2
∴该点的纵坐标为：-2
将纵坐标代入解析式中得：
解得：
故选C.
8．A
解：∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，选项A选项说法错误；
∵抛物线顶点是原点，∴对称轴是y轴，B选项说法正确；
∵抛物线开口向下，根据对称性，当时，随的增大而增大，C选项说法正确；
∵抛物线顶点是原点，所以D选项说法正确.
故选A.
9．D
解：∵二次函数有最小值，
∴图象的开口向上，
∴a+2>0，
解得：a>-2，
故选D.
10．B
解：根据二次函数开口向下，则a＜0，故A、C错误；
根据|a|越小开口越大，，则开口较大，故选B.
11．A
解：∵都是开口向上，
∴都是大于0的数，
根据二次函数的图象开口越大，a越小，
∴，
故选择：A.
12．B
解：①∵y＝﹣ax2(a＞0)中a＞0，
∴﹣a＜0，
∴此函数图象过原点，且当x＞0时，y随x增大而减小，故本小题正确；
②∵y＝(a﹣1)x2(a＜1)，
∴a﹣1＜0，
∴此函数图象过原点，且当x＞0时，y随x增大而减小，故本小题正确；
③∵y＝﹣2x+a2(a≠0)中，a≠0，
∴此函数的图象不过原点，故本小题错误；
④∵中a≠0，
∴此函数的图象不过原点，故本小题错误．
故选：B．
13．向上
y轴
（0，0）
解：略
14．9
解：由抛物线过点，可得：该二次函数的对称轴为直线，点A、B关于二次函数的对称轴对称，
∴，解得：，
把代入抛物线解析式得：，
∴；
故答案为9．
15．＜
解：由函数y＝x2可知，图象开口向上，对称轴为y轴，
∵点（2，y1）到y轴的距离比点（4，y2）到y轴的距离近，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
16．．
解：∵二次函数y1=a1x2的开口最大，二次函数y3=a3x2的开口最小，
而抛物线的开口都是向上的，则二次项的系数都为正数，
∴，
故答案为：．
17．
解：连接OB，如图，
∵正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限部分，
∴可设B点坐标为（x，x2），且x＞0．
∵B点的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴x+x2=6，
解得x1=2，x2=-3（不合题意舍去），
∴B（2，4），
∴OB2=22+42=20，
∴
∵四边形OABC是正方形，
∴．
故答案为．
18．见解析
解：列表：
描点：见表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的线连接，如图所示：
19．（1）当时，；（2）函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是，当时，函数y随x的增大而增大．
解：（1）∵把代入得，解得，∴这个二次函数的解析式为．
当时，．
（2）∵，
∴函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是．
当时，函数y随x的增大而增大．
20．（1）k=-3；（2）．
解：（1）∵是二次函数，
∴，整理得，，解得，，
∵函数图象开口向下，
∴，即，
∴；
（2）∵当时，y随着x的增大而减小，
∴图象开口向上，
∴，则，
将代入原式，得到，即．
21．（1）；（2），证明见解析；（3）成立，理由见解析．
解：（1）当A（-4，-2）时，A在上，
∴，即a=-
∴；
（2）设
、
∴A（-1，a），C（0，a），
设AC的解析式为y=kx+b
则
，解得
∴AC的解析式为
∵AC：BC=1:2
∴
∴
∴B（-2m，4am2），A（2，4a）
∵AC：BC=1:2
∴AC2：BC2=1:4，即BC2=4
AC2
∴
，解得a=
∴A（-1，），B（2，）
∴AO2=
,
BO2=
,
AB2=
∴AO2+BO2=AB2
∴∠AOB=90°；
（3）成立，理由如下：
∵，则
A(m，am2)，B(-km，
ak2m2)，
∴
∴
，解得，即a=（a＜0）
∴A（m，
），B（-km，）
∴AO2=
,
BO2=
,
AB2=
∴AO2+BO2=AB2
∴∠AOB=90°；